“正方體截面的探究”教學設計

李新國 _ 北京市鐵路第二中學

案例分享

教學目標

結合正方體截面設計的一系列問題，引導學生完成探究、發現、證明新問題的過程，積累數學探究的經驗。

教學情境

用一個平面截正方體，思考截面的形狀將會是什么樣的。學生自主或在教師引導下提出問題，解決問題，培養深刻思考的能力。

教學過程

1.知識準備

復習相關概念：截面、截面的邊、平面與平面平行的性質定理、等角定理等。

問題：用一個平面去截一個正方體，會得到什么形狀的截面圖形？

分析：如果構成多邊形，平面與正方體最少有3條交線，最多有6條交線，所以，截面圖形可以是三角形、四邊形、五邊形和六邊形。

設計意圖：為后面邏輯推理作鋪墊。

2.教學過程

【探究1】若截面圖形是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？

分析：如圖1所示，可以是等邊三角形，也可以是非等邊的等腰三角形，不可以是直角三角形和鈍角三角形。直角三角形不成立的證明，可以使用反證法，利用線面垂直推導出矛盾，也可以使用余弦定理證明截面三角形只能是銳角三角形。

圖1

【探究2】

問題1：截面圖形是否可以是平行四邊形？若成立，可以截出幾類不同的平行四邊形？

分析：如圖2所示，可以截出正方形、矩形、菱形和一般的平行四邊形。

圖2

問題2：截面圖形是否可以是梯形？若成立，可以截出幾類不同的的梯形？

分析：截面圖形可以是一般的梯形，可以是等腰梯形（如圖3所示），但不能是直角梯形，證明方法類似截面不能是直角三角形。

圖3

問題3：截面圖形是否可以是一般的四邊形？

分析：不可以，由于正方體六個面中，上下、左右、前后兩個面互相平行，若一個平面與四個面相交，至少與其中一對平行平面相交，則至少有一組對邊平行，所以只能得到梯形和平行四邊形。

設計意圖：先從簡單的四邊形入手，從易到難，從特殊到一般，學生容易理解，然后再理性思考截面四邊形為什么一定是平行四邊形和梯形。

【探究3】若截面圖形是五邊形，則五邊形的邊、角之間有什么特征？

分析：若截面圖形是五邊形，需要和正方體的五個面相交，其中一定和上下、左右、前后中的兩對平行，平面相交，所以，得到的五邊形有兩組對邊平行，根據等角定理得到兩個角相等（如圖4所示），不能是正五邊形。

圖4

【探究4】若截面圖形是六邊形，則六邊形的邊、角之間有什么特征？

分析：類比探究3可知，截面六邊形有三組對邊平行，三對角相等，可以是正六邊形（如圖5所示）。

圖5

設計意圖：由于有截面是四邊形的研究過程作鋪墊，比較容易過渡到五邊形和六邊形截面問題，引導學生利用兩個平面的交線準確作圖，畫出五邊形和六邊形。

3.拓展探究

【探究5】若與正方體對角線垂直的平面截正方體，截面面積最大的圖形是什么圖形？為什么？

設計意圖：截面面積最大的圖形是類似圖5的正六邊形。探究5是一個綜合性較強的問題，若學生認知水平比較高，可以在前4個探究問題的基礎上進一步深入；若學生接受起來比較困難，可以將該問題放置在以后的教學中再進行探究。

教學反思

1.教學中要幫助學生建立直觀想象

可以利用幾何畫板、玲瓏3D幾何、GeoGebra等軟件，做好動態演示的課件，作為輔助學生理解的材料，讓學生通過信息技術軟件進一步直觀理解正方體的截面形狀。

2.要由直觀想象過渡到邏輯推理

觀察不能代替嚴格的數學證明，探究的難點是分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或一定不存在，此時需要用學過的數學理論知識進行證明。在研究中，鼓勵學生通過操作觀察形成猜想，然后給出證明結論，完成從感性認知到理性思考的過程，對前面所學的空間中平行和垂直關系的判定和性質有進一步認識。

3.問題的設置要循序漸進、因材施教

在教學前要復習回顧之前學過的知識，在探究的過程中遵循先易后難、由特殊到一般的順序。正方體的截面問題可以引申出很多問題，這是一個跨度很大的系列問題，在教學過程中，要針對學生的情況選擇適合學生認知水平的內容。

聞巖老師點評

高中數學必修部分立體幾何內容的學習，重點是對空間圖形性質的研究，通過直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算，可以實現由表及里、從定性到定量的認識，使學生逐步建立空間觀念。其中，作圖是立體幾何學習中培養直觀想象素養的重要契機。立體幾何教學要求學生“認真讀題，根據題意先作出直觀圖”，并且要把圖畫得盡量準確，以利于看出，進而理性分析、論證各種關系。這節課的教學設計借助解決正方體截面問題，開展問題探究活動，學生可以直接進行抽象研究，也可以借助技術演示進行直觀觀察、理性分析，但都需要學生認真作圖，完成“在研究問題的過程中，要給出合理的作圖；并結合幾何圖形，對結論給出合理解釋”的任務。

本節課研究的內容不是一個題的解法，而是對一個“數學問題”的研究，這在數學教學中意義重大。立體幾何往往要研究某一類幾何圖形的結構特征，一般情況下，要通過對具體實例的組成元素及其相互關系的觀察、分析，歸納出共性，再概括到一般，形成一類幾何圖形的定義，在此基礎上給出“三種語言”進行表示，并從“特殊的組成元素”“特殊的位置關系”入手，對這類幾何圖形進行更細致的分類。本節課中正方體截面的研究過程就體現了立體幾何中數學問題的一般性的研究規律。

本節課的教學內容也非常適合改寫成學習資源，供學生在單元學習時使用。