2022年高考三個圓錐曲線大題命題思路的同一性

唐宜鐘

(漢中市龍崗學校,陜西 漢中 723103)

國家教育部教育考試院在《2022年高考數學全國卷試題評析》中提到:高考試卷“突出主干、重點內容的考查”“強調知識之間的內在聯系”“強調對通性通法的深入理解和綜合運用”“試題通過設置綜合性的問題和較為復雜的情境,加強關鍵能力的考查”“加強學科核心素養考查,強化數學思想方法的滲透,深入考查關鍵能力,優化試題設計,發揮數學科高考的選拔功能”[1].其中,函數(含方程、不等式)和圓錐曲線作為高中數學的主干知識.一個命題構想為:以圓錐曲線為載體,通過圓錐曲線中多個變量的性質特征,將解析幾何問題最終轉化為單變量函數(或多變量不等式)問題.從這類構想出發的數學命題,設置了復雜的綜合性問題,彰顯了知識之間的內在聯系,要求學生在作答時,對通性通法有深入地理解,并將相關知識綜合應用.同時,其加強了邏輯推理、數學運算等核心素養的考查,強化了數形結合、轉化、整體、類比等思想的滲透,低入口、多路徑、精準結果,也很好地發揮了數學科高考的選拔功能.因此,這類題目備受高考青睞.縱觀2022年全國高考圓錐曲線大題,筆者發現其中全國甲卷、浙江卷、北京卷,在圓錐曲線大題的設置上,從斜率視角出發,均體現了上述命題思路.

1 題目呈現

圖1 2022年浙江卷第2題圖

|CD|是一個關于k1,k2的雙變量函數,若能夠根據橢圓的相關性質,得出k1,k2之間的關系式,則為本題打開了思路.

即x2+12y2+24y=0.

代入橢圓方程齊次化,得

x2+12y2+(mx-48y)y=0.

即36y2-mxy-x2=0.

記kAP=k1,kBP=k2,由斜率的幾何意義可知

事實上,有如下結論:

思路2 有了k1,k2之間的關系,|CD|可以直接轉化為單變量函數,或者不等式進行求解.

又由柯西不等式,得

評注本部分重點考查對函數最值問題的理解,可以直接轉變為單變量函數,通過導數求最值.也可根據式子本身特點,用相關不等式求最值.因本題單變量函數求導較為復雜,故解答中未采用[2].

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點M,N.當|MN|=2時,求k的值.

(2)記kAB=k1,kAC=k2,則|MN|是一個關于k1,k2的表達式.若能根據橢圓的相關性質,尋找一個關于k1,k2的關系式,則可以直接解出相關量.

即x2+4y2+8y=0.

設lBC:mx+ny=8,又直線BC過點P(-2,0),故m=-4,lBC:-4x+ny=8.

代入橢圓方程齊次化,得

x2+4y2+(-4x+ny)y=0.

即(4+n)y2-4xy+x2=0.

記kAB=k1,kAC=k2,由斜率的幾何意義,得

故k1+k2=4k1k2.

結合圖象及題意可知

即k2-k1=2k1k2.

聯立k1+k2=4k1k2,得

故n=-1.

在新坐標系中,lBC:-4x-y=8,則所求k=-4.

評注從斜率視角看,本題為一個圓錐曲線和方程結合的問題,命題思路和浙江卷如出一轍.不過本題中k1,k2的關系并不如浙江卷“直白”.

事實上,有如下結論:

例3 (2022年全國甲卷20題)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0).過點F的直線交C于M,N兩點.當直線MD⊥x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β,當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

解析(1)y2=4x;

由(1)得F(1,0),D(2,0).

設lMA:x=my+2,

y2-4my-8=0.

故yM·yA=-8.

同理,yN·yB=-8,yM·yN=-4.

記kMN,kAB為k1,k2,則k1=2k2(k2>0).

2 復習建議

縱觀2022年高考數學試卷,其“選拔”功能更加明確,題目的綜合度、復雜度顯著增強,這提醒教師在復習過程中要注重主干知識、重點內容.如本文三個例題的主干知識為函數與圓錐曲線,重點內容為橢圓和拋物線的相關性質、基本不等式的運用.強調知識之間的內在聯系.如雙變量函數的最值問題,一種常見思路為找到兩個變量之間的關系,并轉化為單變量函數,再結合變量的取值范圍求得.而從斜率視角下看,圓錐曲線中提供了諸多雙斜率的等量關系,正好作為函數問題的良好“導入”.強調對通性通法的深入理解和綜合運用.如圓錐曲線的通性通法是直曲聯立,通過韋達定理和整體代換,將相關量用含k的式子表示出來.在本文的三個例子中,不僅要熟練運用通性通法,還要將不同的k1,k2之間建立等量關系,如果對通性通法沒有相當程度的理解,把握k1,k2之間的內在關系,就容易“迷失”解題方向.合理設置綜合性的問題,如函數的本質是一種對應,其與數列、方程、三角、不等式、解析幾何之間都可以建立起良好的綜合關系[3].在知識的相似、趨同、承接、對比處合理綜合,便于學生在各個知識間形成通路,促進各個知識的相互理解,構建知識的網狀結構.注重學科核心素養的培養,圓錐曲線問題是數學運算培養的良好模板,尤其是其提供了多個含參數的分式化簡,便于學生反復練習并對比糾錯.注重數學思想方法的滲透,在本文三個例子中,圓錐曲線和函數的結合,使得數形結合、轉化、整體等思想被發揮得淋漓盡致.