二維單向強退化拋物型方程的參數識別反問題

洪宇翔 王澤文 徐定華

摘 要： 針對矩形區域內兩種形式的強退化擴散系數，研究了二維單向強退化拋物型方程中擴散項的參數識別反問題。首先，利用H?lder不等式等證明了擴散項參數識別的唯一性和條件穩定性；然后，給出了數值計算強退化拋物型方程正問題的一種交替方向有限差分隱格式；最后，通過將退化擴散項的參數識別反問題歸結為泛函優化問題，提出了基于遺傳算法的退化項參數識別方法。計算模擬結果表明，退化項參數能被附加的測量數據有效識別出來，且提出的基于遺傳算法的退化項參數識別方法具有很強的魯棒性。

關鍵詞：強退化；拋物型方程；參數識別；有限差分；遺傳算法

中圖分類號：O175.26

文獻標志碼：A

文章編號：1673-3851 （2023） 05-0388-08

引文格式：洪宇翔，王澤文，徐定華. 二維單向強退化拋物型方程的參數識別反問題［J］. 浙江理工大學學報（自然科學），2023，49（3）：388-395.

Reference Format： HONG Yuxiang， WANG Zewen， XU Dinghua. Inverse problems of the parameter identification for two dimensional one-way strongly degenerate parabolic equations［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2023，49（3）：388-395.

Inverse problems of the parameter identification for two dimensionalone-way strongly degenerate parabolic equations

HONG Yuxiang¹， WANG Zewen¹， XU Dinghua²

（1.School of Science， East China University of Technology， Nanchang 330013， China; 2.School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： The inverse problems of the parameter identification of diffusion terms in two-dimensional unidirectional strongly degenerate parabolic equation were studied for two forms of strongly degenerate diffusion coefficients in the rectangular domain. Firstly， the uniqueness and conditional stability of the parameter identification of the diffusion terms were proved by using such mathematical tools as H?lder inequality. Then， an alternating direction finite difference implicit scheme was proposed for the numerical calculation of the forward problem of strongly degenerate parabolic equations. Finally， a parameter identification method of degenerate terms based on genetic algorithm was proposed by reducing the inverse problems of the parameter identification of degenerate diffusion terms to a functional optimization problem. The simulation results show that the degenerate parameters can be effectively identified by the additional measurement data， and the proposed method based on genetic algorithm has strong robustness.

Key words：strongly degenerate; parabolic equation; parameter identification; finite difference; genetic algorithm

0 引 言

本文主要考慮帶強退化擴散系數拋物型方程的退化項參數識別問題，此類問題在金融數學、流體力學、車輛工程等許多應用科學領域有重要意義。Rao等^［1］研究了一維退化拋物型方程源項反問題，證明了該反問題的唯一性，同時給出了正問題的有限體積計算方法，然后利用Landweber迭代方法重建源項。類似地，Yang等^［2］研究了重建退化拋物型方程初始分布的反問題，其中正問題采用有限差分方法計算；相關方法被作者推廣到二維退化拋物型方程初始分布的反演問題上^［3］。Kamynin^［4］研究了非局部附加數據下源項系數的反演問題，證明了反問題解的唯一性和穩定性。Kawamoto^［5］研究了多維線性退化拋物方程和強耦合系統的反問題，通過適當子邊界上的測量數據和任意固定時刻的測量數據來確定源項，并基于Carleman估計討論了反源問題的Lipschitz類型的穩定性結果。Ivanchov等^［6］研究了一類二維矩形域內退化項系數與時間變量有關的強退化拋物方程，通過將反問題歸結為關于退化系數的方程，應用Schauder不動點定理，證明了反問題解的存在性，同時給出了唯一性的證明。近期，Cannarsa等^［7］研究了一維拋物方程中識別退化項參數的反問題，證明了反問題的唯一性和Lipschitz穩定性。關于非退化拋物型方程反問題受到了眾多學者的關注和研究，相關研究參見文獻［8-12］及其參考文獻。

本文在Cannarsa等^［7］的啟發下，在矩形區域內考慮二維單向強退化拋物型方程的退化項參數識別反問題，針對兩種形式的強退化擴散系數，研究了在適當的測量數據下退化項參數識別反問題的唯一性和條件穩定性。然后，針對考慮的退化項參數識別反問題，提出了基于遺傳算法的參數識別方法，即將參數識別歸結為泛函優化問題，并利用遺傳算法求解該優化問題。本文將退化項參數識別相關研究結果推廣到二維強化退化拋物型方程的情形，為強退化拋物型方程退化擴散項參數識別反問題相關研究提供參考。

1 問題描述

本文考慮二維單向強退化拋物型方程定解問題Ⅰ（簡稱退化問題Ⅰ）和其定解問題Ⅱ（簡稱退化問題Ⅱ）：

上述兩個定解問題之所以稱為是強退化的，是因為在x=0處擴散系數的值為0，且當x→0時擴散系數趨于0的速度大于或等于x趨于0的速度。

本文考慮的退化項參數識別反問題是：

a）參數識別反問題Ⅰ。已知初始分布u₀（x，y），給定附加的測量數據?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀），識別退化擴散項中的參數a，其中：（x，y）∈（0，l）×（0，l），t₀∈（0，T］是某個固定時刻。

b）參數識別反問題Ⅱ。已知初始分布u₀（x，y），給定附加數據?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀），識別退化擴散項中的參數γ，其中：（x，y）∈（0，l）×（0，l），t₀∈（0，T］是某個固定時刻。

本文主要研究在二維矩形區域內上述兩個參數識別反問題的唯一性和條件穩定性，以及能有效識別參數a和γ的反演方法。

2 參數識別的理論分析

對任意l>0，（x，y）∈（0，l）×（0，l），記H=L²（（0，l）×（0，l））。對于γ∈［1，2），記函數空間

2.1 參數識別反問題Ⅰ的唯一性和穩定性

定理1 設u₀（x，y）∈L²（（0，l）×（0，l））且u₀（x，y）≠0，u₁∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））和u₂∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））分別對應退化問題Ⅰ中01<∞和02<∞的解，且存在μ>0使得

2.2 參數識別反問題Ⅱ的唯一性和穩定性

定理2 設00（x，y）∈L²（（0，l）×（0，l））且u₀（x，y）≠0，u₁∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））和u₂∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））分別對應退化問題Ⅱ中γ₁和γ₂的解，且存在μ>0使得

∫^l₀∫^l₀x^γ_i|?_xu_i（x，y，t）|²dxdy≥μ，i=1，2（12）

對t₀∈（0，T］，若?_tu₁（x，y，t₀）=?_tu₂（x，y，t₀）、?_xu₁（x，y，t₀）=?_xu₂（x，y，t₀）、?_yu₁（x，y，t₀）=?_yu₂（x，y，t₀）對所有（x，y）∈（0，l）×（0，l）成立，則γ₁=γ₂。

證明 不失一般性，假設γ₁<γ₂，令w（x，y，t）=u₂（x，y，t）-u₁（x，y，t），則有

?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw）=?_x（（x^γ₂-x^γ₁）?_xu₁）。

上式等號兩邊分別乘以u₁后在區域（0，l）×（0，l）上積分，注意到邊界條件，經分部積分得

∫^l₀∫^l₀（?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw））u₁dxdy=∫^l₀∫^l₀?_twu₁dxdy+∫^l₀∫^l₀x^γ₂?_xw?_xu₁dxdy+∫^l₀∫^l₀?_yw?_yu₁dxdy（13）

∫^l₀∫^l₀?_x（（x^γ₂-x^γ₁）?_xu₁）u₁dxdy=∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy（14）

已知?_tu₁（x，y，t₀）=?_tu₂（x，y，t₀）、?_xu₁（x，y，t₀）=?_xu₂（x，y，t₀）、?_yu₁（x，y，t₀）=?_yu₂（x，y，t₀）對所有（x，y）∈（0，l）×（0，l）成立，即得

∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁（x，y，t₀）|²dxdy=0。

又因x^γ₁>x^γ₂，x∈（0，l），故有

?_xu₁（x，y，t₀）=0，

從而

∫^l₀∫^l₀x^γ_i|?_xu₁（x，y，t₀）|²dxdy=0。

這與定理的假設條件相矛盾，故γ₁=γ₂，即唯一性得證。

定理3 設00（x，y）∈L²（（0，l）×（0，l））且u₀（x，y）≠0，u₁∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））和u₂∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））分別是對應于退化問題Ⅱ中γ₁和γ₂的解，且存在μ>0使得

∫^l₀∫^l₀x^γ_i|?_xu_i（x，y，t）|²dxdy≥μ，i=1，2（15）

則存在大于0的常數C使得

|γ₂-γ₁|≤C∫^l₀∫^l₀|?_tu₁（x，y，t₀）-?_tu₂（x，y，t₀）|²dxdy¹²+

∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xu₁（x，y，t₀）-?_xu₂（x，y，t₀）|²dxdy¹²+

∫^l₀∫^l₀|?_yu₁（x，y，t₀）-?_yu₂（x，y，t₀）|²dxdy¹²（16）

證明 不失一般性，不妨設1≤γ₁<γ₂<2，并令

w（x，y，t）=u₂（x，y，t）-u₁（x，y，t）。

于是，由定理2中的證明及l<1，即知

∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy=∫^l₀∫^l₀（1-x^γ₂^-γ₁）x^γ₁|?_xu₁|²dxdy≥（1-l^γ₂^-γ₁）∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy。

注意到1≤γ₁<γ₂<2和0

1-l^γ₂^-γ₁=∫¹_lddss^γ₂^-γ₁ds=（γ₂-γ₁）∫¹_ls^γ₂^-γ₁^-1ds≥（γ₂-γ₁）l（1-l）。

于是，有

（γ₂-γ₁）l（1-l）∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy≤∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy。

另一方面，由式（13）和H?lder不等式，得

∫^l₀∫^l₀（?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw））u₁dxdy≤∫^l₀∫^l₀|?_tw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|u₁|²dxdy¹²+∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xu₁|²dxdy¹²+∫^l₀∫^l₀|?_yω|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|?_yu₁|²dxdy¹²。

注意到

∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xu₁|²dxdy=∫^l₀∫^l₀x^γ₂^-γ₁^+γ₁|?_xu₁|²dxdy≤l^γ₂^-γ₁∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy

和

∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy=∫^l₀∫^l₀（?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw））u₁dxdy，

易知

（γ₂-γ₁）l（1-l）∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy≤∫^l₀∫^l₀|?_tw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|u₁|²dxdy¹²+l^γ₂^-γ₁₂∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy¹²

+∫^l₀∫^l₀|?_yw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|?_yu₁|²dxdy¹²。

由u₁∈H¹_γ，結合條件（15）可知式（16）成立。定理3得證。

3 強退化方程正問題的數值方法

綜上，即得到強退化方程正問題數值求解的交替方向隱格式。

4 基于遺傳算法的參數識別方法

遺傳算法^［14-16］源于對生物系統的計算機模擬研究，是一種隨機搜索全局最優解的方法。它的基本步驟可以概括為：從任意初始種群出發，設計適應度函數，設定控制參數；通過隨機選擇、交叉和變異操作，產生更適合環境的個體；數代進化繁衍，直至收斂到問題的最優解。與傳統優化算法相比，其不依賴于步長信息，對參數的初始解不敏感，而且無需計算目標函數的導數，從而某種程度上避免了數值求解的不穩定性。利用遺傳算法識別退化項參數的步驟如下：

第一步，將退化項參數識別反問題歸結為函數優化問題（20）。

第二步，將J（θ）作為適應度函數，利用遺傳算法求解優化問題（20）。其中，J（θ）中的?_tu（x，y，t₀;θ），?_xu（x，y，t₀;θ），?_yu（x，y，t₀;θ）是待識別參數取遺傳算法迭代值θ后，由正問題的有限差分格式（17）—（18）計算得到。

眾所周知，當搜索種群足夠大、繁衍代數足夠多時，理論上遺傳算法可以收斂到優化問題的最優解。因此，只要優化問題（20）存在唯一的極小元，則上述方法是收斂的。顯然，優化問題（20）極小元的存在唯一性蘊含在定理1—定理3的結論中。但是，因參數識別反問題的強非線性性，本文未能給出優化問題（20）極小元的存在唯一性的嚴格證明。

另一方面，本文對基于遺傳算法的退化項參數識別進行計算模擬實驗，以此來驗證方法的收斂性和穩定性。在計算模擬中，空間區域為［0，1］×［0，1］，內部某一測量時刻t₀=0.1。取a或γ的精確值，由差分格式（17）—（18）求解正問題。加上隨機噪聲后得到符合式（19）的測量數據β^δ（x，y）、ζ^δ（x，y）和η^δ（x，y），其中帶噪聲的測量數據描述為β^δ（x，y）=β（x，y）（1+εr（x，y）），r（x，y）是一個服從均值為0，方差為1的Gauss隨機噪聲，噪聲水平?_tu（x，y，t₀）分別取0.10、0.05、0.01、0.005和0.001進行計算。參數識別時，設置遺傳算法的進化代數為100，重復計算5次取平均作為參數識別反問題的解。

算例1 參數識別反問題Ⅰ。取精確值a=0.2， 1.0， 1.7，不同噪聲水平下的識別結果見表1。從表1的計算結果可以看出：由?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀）的測量數據能有效識別出退化擴散項中的參數a，且識別結果的相對誤差均小于數據的相對誤差水平。

算例2 參數識別反問題Ⅱ。取精確值γ=1.1， 1.6， 1.9，不同噪聲水平下的識別結果見表2。從表2的計算結果可以看出：由?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀）的測量數據能有效識別出退化擴散項中的參數?_yu（x，y，t₀），且所有情形的識別結果的平均相對誤差為0.7078%，故該識別結果的總體精度要比算例1的要高些。

5 結 論

本文研究了一類矩形區域內二維強退化拋物型方程中兩種退化擴散項的參數識別反問題。首先，利用H?lder不等式等數學工具分析了兩個參數識別反問題解的唯一性和條件穩定性；然后，將參數識別反問題歸結泛函優化問題，利用遺傳算法求解該優化問題，結合退化拋物型方程正問題的有限差分格式，給出退化擴散項參數識別的方法；最后，通過計算模擬實驗來驗證所提出的參數識別方法的有效性。本文的研究結果表明，某個時刻空間域上的數據?_yu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀）和?_yu（x，y，t₀）可以唯一識別退化擴散項ax中的未知參數a，而在邊長小于等于1的矩形域中這些數據可以唯一識別退化擴散項x^γ中的未知參數γ；計算模擬結果表明，基于遺傳算法的參數識別方法具有很強的魯棒性和識別精度。本文考慮的是退化項中的單個參數識別的反問題；對于多個參數同時識別的反問題以及非單側退化的拋物型方程退化項參數識別的反問題等，有待后續研究。

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（責任編輯：康 鋒）