一種改進的基于奇異值分解的數字水印算法*

高 媛 孫躍偉 雷慶麗 劉 袁

（1.安徽建筑大學電子與信息工程學院 合肥 230601）

（2.安徽省建筑聲環境重點實驗室 合肥 230601）

1 引言

數字水印技術是將標識信息嵌入載體中，且不影響原載體的使用，水印也不易被察覺和更改的技術手段，數據接收方可以根據特定的提取方式進行水印提取，完成版權認證或秘密消息傳遞等。根據功能不同，水印方法可分為魯棒水印和脆弱水印，魯棒水印主要用于版權保護，嵌入魯棒水印的載體在遭受各種攻擊后，仍能提取出于嵌入水印強關聯的水印信息。 脆弱水印主要用于完整性保護，當內容發生改變時，水印信息會發生相應改變。面向圖像的魯棒性水印方法根據嵌入域不同，可分為空域嵌入方法和變換域嵌入方法，相比較空域嵌入而言，結合頻域變換或矩陣分解技術的變換域水印嵌入，在面對多種惡意攻擊時魯棒性更強。數字水印算法的核心問題是魯棒性和不可見性之間的平衡，利用矩陣分解可以明顯提高水印算法的魯棒性和不可見性［1］。用于魯棒水印方法的矩陣分解技術包括QR 分解、Schur 分解與奇異值分解等，其中利用奇異值分解嵌入水印的方法研究更熱門。劉瑞楨［2］等首次提出將SVD 分解技術應用到數字水印中，將水印信息嵌入到載體圖像分解的奇異值中，依靠最大奇異值的穩定性確保算法的穩定性。

現有的基于圖像小波域-奇異值分解的數字水印算法大多是通過對奇異值的修改實現水印嵌入，對奇異向量和特征向量的修改嵌入也有提出。基于奇異值的魯棒水印方案一般通過單獨或聯合修改U 矩陣［3］，S矩陣［4］或者V矩陣系數來實現水印嵌入。張建偉［5］等提出一種基于圖像小波域奇異值分解的分塊自適應水印方案，依靠U矩陣系數對之間的穩定關系嵌入水印數據，在閾值的控制下修改系數完成水印嵌入，但系數的修改為未考慮奇異矩陣的自身性質導致圖像嵌入水印后出現失真情況。文獻［3］對載體圖像矩陣進行SVD 分解后，通過實驗驗證得到U 矩陣的第二行第一列元素與第三行第一列元素之間的關系最為穩定，利用這一穩定關系嵌入水印。張琳琳［6］等提出構造魯棒零水印并嵌入到圖像小波變換子帶的分塊奇異值分解的U矩陣系數中，完成了數字圖像的全盲版權認證，但修改系數時同樣未考慮奇異矩陣的自身性質。

本文在對奇異值分解及其特性進行理論分析和實驗數據證明的前提下，具體分析張建偉［5］等提出的水印方法及其算法造成的圖像失真問題成因，并提出一種針對文獻［5］的缺陷的改進算法，實驗證明本文的水印算法魯棒性、透明性更好。

2 奇異值分解

從數學角度看，任一數字圖像都可以看成m*n的實數矩陣，對給定的實數矩陣A可以進行SVD 分解，可表示為

SVD在圖像處理時的優點：1）對所有實數矩陣都可以分解，不局限于正方形矩陣；2）原圖像與它的奇異值特征值有唯一對應關系，奇異值具有較好的穩定性，這決定了圖像在受到輕微擾動和處理時，不會大幅度地影響圖像的視覺質量；3）奇異值對應的是圖像的能量特性，U，V 矩陣對應的是圖像的幾何特性［7～8］。特別地，U 矩陣的U1向量在經過輕微圖像處理后，仍能保持系數之間關系的穩定性［5］?；赟VD 的優點，載體圖像可以做任意大小的規則分塊，水印信息通過不同的嵌入方式嵌入到奇異值或奇異向量中。

3 基于系數對穩定關系水印嵌入算法分析

3.1 離散小波逆變換造成圖像失真原因分析

從理論上來講，圖像的小波分解及其逆變換不會造成圖像失真，但在實際實驗中，由于某些細節問題會導致圖像失真［9～10］。從數學角度來看，小波分解是將信號在基小波的基礎上做拉伸變換，小波變換后的圖像與圖像相比，某些點的位置發生了變化，出現錯位情況，錯位造成逆小波變換恢復的原始圖像出現失真。以一維離散變換為例，長度為m的輸入序列與長度為n 的濾波器卷積，卷積后的輸出序列長度為（m+n-1），記為第一個數據到第（m+n-1）個數據。在圖像的二維離散小波變換中，為保證變換前后圖像的大小一致，要求卷積運算后的數據長度仍為m（與原始圖像數據大小一致），要從（m+n-1）個數據中選取m 數據。在小波變換的正逆變換中都有卷積運算，數據的選取不當就會造成圖像失真。文獻［5］水印方案對圖像做一級離散小波變換，選取低頻分量做分塊SVD 后，修改奇異矩陣系數嵌入水印，修改后經反奇異值分解還原的數據已與原始數據有差異，再經離散小波逆變換會使得數據出現二次差異。經反復實驗后，本文實驗方案在實算法改進之前決定舍棄對圖像做離散小波變換，以Lena圖為例得到的實驗結果對比如圖1。

圖1 與文獻［5］實驗結果對比

3.2 奇異向量矩陣的單位性質

基于奇異值分解的優點，在實驗中依據需要對圖像做任意大小分塊處理，水印信息通過加性嵌入等不同方式嵌入到奇異值或奇異向量中。文獻［5］通過一系列實驗證明U 矩陣第一列向量的U1(4)和U1(5)系數對，在經受多種不同輕微擾動或攻擊下都能保持穩定性，基于系數對穩定性，根據待嵌入水印比特位信息，在閾值t 的控制下修改U1(4)和U1(5)系數。表1（a）為原始數據塊的部分數據，表1（b）為SVD 的數據，表1（c）為差值較大時修改系數結 果，U1(4) 被 修 改 為-0.4813，U1(5) 被 修 改為-0.4753，表1（d）為U 矩陣修改系數正交化的結果，所有表格僅截取矩陣的第一列至第四列，第三至第六列數據。由此完成水印的嵌入。文獻［5］通過大量實驗得到圖像4×4 分塊的SVD 分解后的U矩陣第二行第一列與第三行第一列元素之間差異較小，文獻［6］依據這一性質設計了自嵌入魯棒水印方案。文獻［5～6］水印方案得到的結果整體上均能獲得較高的PSNR，提取的水印的質量BER 值也相對較低，但并未考慮修改后向量不尊重原有矩陣向量之間關系。

表1 實驗數據

實際上，奇異值分解得到的左右奇異向量矩陣均為單位正交矩陣，矩陣任意向量之間兩兩正交，同一向量之間內積為1，如式（2）所示。文獻［5～6］的算法均未考慮到向量單位性這一性質（式（6）～（8）針對文獻［5］），若在修改U1(4)系數時，按本文嵌入方案，待嵌入位為0 時，閾值t 為0.028，修改后的數據如表1（d）所示。U1(4) 修改完成后，在式（2）、（3）的約束下對U1(5)進行單位性調整，則能較好解決向量單位性問題，且使得其它系數列的系數幅度變化收窄，圖像的失真程度減弱。如表1 所示，U1(4) 被 修 改 為-0.0561，U1(5) 被 修 改 為-0.0738，保證了U1向量的單位性（），且收窄了其它大部分系數的修改幅度。約束條件如下：

<|＞表示內積運算，Ui，Uj表示U矩陣向量。

文獻［5］的部分修改系數方案如下：若s=1，b=1，U1(4)和U1(5)的修改閾值為t；若abs（d）大于給定的閾值t，則保持U1(4)和U1(5)不變，否則按下式修改U1(4)和U1(5)，使d不小于閾值t：

若b=0，d 的絕對值≥t，則通過下式修改U1(4)和U1(5)，使d不大于閾值t：

否則交換U1(4) 和U1(5) ；否則修改U1(4) 和U1(5)使d不小于閾值t。

可通過理論推導證明修改后的U1向量不滿足單位向量性質，同時不能滿足U矩陣是正交矩陣的性質。

證明：設U1列系數U1(1)，U1(2)…U1(8)

修改前：

令：

則：

修改后：

則：

要想修改后U1系數仍是單位向量，則必須，顯然，由以上證明，所以文獻修改后的U1向量不是單位向量。

4 本文算法

奇異值分解的最大奇異值穩定性最強，其對應的U 矩陣第一列向量穩定性最強，其中U1(4) 和U1(5)系數之間的大小關系在一系列的常規擾動攻擊之下都能保持其穩定性［5］，小幅度修改U1(4)和U1(5)系數對圖像的影響較小，最終實現水印信息的嵌入。考慮到矩陣奇異值分解后得到的左右奇異向量矩陣是單位正交矩陣，向量具有單位性，在嵌入參數t 的控制下同時保證單位性約束，選擇修改U1(4)系數，依據約束條件（也即）對U1(5)系數進行調整。

4.1 嵌入水印步驟

1）將載體圖像分為8×8大小的子塊。

2）對每一子塊做SVD 分解得到左奇異向量矩陣。

3）根據待嵌入水印位信息，選擇U1(4)和U1(5)系數對，按如下方式嵌入水印。為修改后系數，ω為待嵌入信息位，t為嵌入參數：

4）依據約束條件和式（12），對U1(5)系數進行修正，以確保向量的單位性。

5）由修改后的U 矩陣做奇異值分解的反變換重組圖像塊，得到含水印的載體圖。

4.2 提取水印步驟

提取水印無需原始圖像，與嵌入算法一致，對含水印的載體圖做8×8 分塊的奇異值分解，根據嵌入閾值t，選擇每一子塊分解得到U1的U1(4)系數，若 |mod(U1(4)，t)-t/2 |＜t/4，則此子塊提取的水印信息為1，否則為0。將所有提取的水印位按一定的順序排列，即得到提取的水印圖像。

5 實驗結果及討論

實驗采用標準512×512的標準灰度Lena，Barbara圖像為載體圖像，以32×32標準二值圖為待嵌入水印圖像。

圖2分別為Lena 和Barbara 原始載體圖及其水印原始圖像，圖3 為用本文方案（保證單位性）嵌入水印的Lena、Barbara 圖以及每幅嵌入圖提取出的水印。在參數t設置為0.028 時，圖3 含水印圖像峰值信噪比為42.3645dB，43.2426dB，與原圖像無明顯視覺差別，且PSNR 數值較高，圖像失真度小，提取的水印信息與待嵌入水印基本一致。

圖2 載體圖像及其待嵌入水印

圖3 含水印圖像及其提取的水印

經多次實驗，參數t 取值為0.028 時，算法的魯棒性最強，圖像失真度最小。通常用NC值（歸一化互相關函數）和水印BER 值（比特容錯率）作為水印魯棒性能的客觀評價標準［11～12］，在常見的攻擊干擾下，提取嵌入的水印W'，求取W 和原始水印之間的NC 值。通過大量文獻證明，如果在不同的干擾攻擊下，峰值信噪比在30dB 以上，NC 值能保持0.85以上且BER值低于15%，可認證該水印方案具有魯棒性［8］。

以嵌入水印的Lena 圖為例，做如下結果的測試。圖4 給出了本文算法下含水印的Lena 圖在不同壓縮比下提取的水印信息，圖4（a）～（c）分別為壓縮比90%、70%、60%情況下提取的水印圖像；圖4（d）是在0.2 噪聲密度的高斯噪聲攻擊下提取的水印圖像；圖4（e）是在0.2 噪聲密度的椒鹽噪聲攻擊下提取的水印圖像。

圖4 提取的水印信息

表2 給出本文算法與文獻［5］算法在同樣壓縮質量因子情況下提取的水印，各自與初始水印對比的峰值信噪比結果。正如肉眼所見，90%壓縮比下，提取出的水印質量均保持良好，在壓縮比70%、60%時，PSNR 數值都有增大，提取的水印失真度較文獻［5］有所下降。算法抗噪聲攻擊的能力較弱，但提取的水印信息仍可基本識別。

表2 不同算法的含水印圖像PSNR值

表3 給出了含水印Lena 圖像經過不同攻擊干擾后提取的水印與原始水印之間的NC 值。在JPEG 壓縮攻擊NC 值較噪聲攻擊下的提取的水印NC 值均在0.8 以上［13～15］，相較于噪聲攻擊，JPEG 壓縮下下提取的水印NC 值高于噪聲攻擊下的水印NC值，可見算法對壓縮攻擊具有較強魯棒性。

表3 不同攻擊下的NC值

表4 給出了含水印圖像經過不同攻擊干擾后提取的水印質量BER 值與文獻［5～6］的對比。實驗結果表明本文算法在嵌入水印后的載體圖像的PSNR 值較高，且在一般攻擊下提取的水印質量優于文獻［5～6］算法。

表4 不同算法的含水印圖像BER值

6 結語

在實際操作中，圖像的小波分解經過濾波器的處理在還原之后會造成圖像失真，對圖像系數修改后再經濾波器處理會造成圖像的二次失真，故選擇放棄對圖像做小波變換，僅對圖像做奇異值分解，修改奇異向量矩陣系數以實現水印嵌入。由于最大奇異值對應的圖像穩定性最強，其對應的U矩陣第一列向量穩定性亦最強，其中U1(4)和U1(5)系數對經實驗驗證在多種攻擊干擾下穩定性最強，選擇修改U1(4)和U1(5)系數對，考慮到奇異值分解的矩陣是單位正交矩陣，在修改系數的時候作單位性約束，能使得系數修改幅度收窄，圖像失真度降低，算法魯棒性更強。