回歸“數數”源頭 凸顯運算一致
——《乘法的初步認識》教學實踐與思考（一）

文|張聰聰

【教學內容】

人教版二年級上冊第四單元第一課時。

【課前思考】

在理解加減法模型后，認識“乘法”是學生對運算理解的一次小步跨越。乘法模型有多種樣態，《乘法的初步認識》一課主要是從一般的等組模型入手（如圖1），逐漸進入到排列規律的矩陣模型（如圖2），三年級還要進一步認識和理解倍比模型（如圖3）。無論是哪種運算模型，都離不開運算的本質——“數的累加”，《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中就提到要“感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”。

圖1 一般的等組模型

圖2 矩陣模型

圖3 倍比模型

筆者了解到學生對乘法的認識并非是一張白紙，為準確了解學生究竟理解到哪個水平，特對目前所任教的兩個班共81 名學生做了學前測查，結果如表1。

表1

仔細分析前測結果可知，接近一半的學生能夠根據實物圖用乘法算式去表示幾個幾相加的和，但反過來要解釋3×2 的含義，僅有3.7%的學生能夠表示出兩種含義，接近60%的學生僅能表示出一種含義，說明學生對乘法意義的理解是片面的。

再結合筆者以往的執教經歷，發現學習了“乘法”單元之后，學生對乘法的認知似乎還不夠透徹：

一方面，在看圖時，學生往往習慣先寫出乘法算式（每組幾個，有幾組），再寫加法算式，這也因乘法的簡潔性導致學生更喜歡先寫簡單的算式。也正因如此，可能會弄混“幾個幾”。例如：把“8 個4”寫成“4 個8”。

由此可見，“幾個幾”中的“幾個”和“幾”究竟對應的是哪個量，學生沒有真正從“數”的角度去理解，是4 個4 個地數，數了8 次，還是8 個8 個地數，數了4 次？這是需要引導學生去“數”出來、“算”明白的。

另一方面，在無圖時，學生由于學習了乘法后有了思維定勢，沒有牢固建立乘法模型，導致把本該用加法來解決的問題，也誤用乘法去解決。例如“有8 排課桌，每排5 張，一共有幾張？”“有2 排課桌，一排8 張，另一排5 張，一共有幾張？”第一問用乘法8×5 或5×8解決，第二問應該用8+5 解決，但有的學生“不假思索”地用8×5 去解決，盡管學生在閱讀時存在不仔細的情況，但筆者認為這也是乘法模型建立不深刻導致的。

根據前測結果和教學經驗，本節課的學習目標定位在：

1.在“數數”的情境下概括和抽象出乘法，理解同數連加與乘法之間的聯系，感悟運算的一致性。

2.通過語言、符號表征，深刻建立乘法運算的模型，理解乘法的意義，感受乘法算式的簡潔。

3.會讀、寫乘法算式，知道乘法算式各部分的名稱。

因為建立乘法模型、理解乘法意義是本節課的重點，所以在數、說、畫等學習活動中，要重點培養學生仔細觀察（是否符合乘法模型）、深入分析（分析數量關系解釋乘法意義）等好習慣。

【教學過程】

一、引入“數數”，順其自然重溫數數方法

師：秋天到了，小熊去樹林里摘了許多蘋果，他一共摘了多少個蘋果呢？請你拿出信封中的紙片蘋果，幫小熊數一數吧。

師：你是怎么數的？

生：我是1 個1 個地數，1、2、3……一共有30 個。

生：我是2 個2 個地數，2、4、6……一共有30 個。

生：我是先5 個5 個地放一堆，再數5、10……一共也是30 個。

師：大家都在數蘋果的總個數，但數的方法有些不同。

【思考：加法運算模型是“數”的累加，乘法是同數連加運算的簡便形式，它的本質就是同數累加。從數數引入，讓學生第一次感受在數的時候，是1 個1 個、2 個2 個或5 個5 個……地累加，為下一環節理解“幾個幾”做鋪墊。】

二、展開“數數”，對比分析理解“幾個幾”

1.引出乘法，暴露問題

師：黑板上有三幅圖，哪幅圖能更快知道一共有30 個蘋果？你能用一個算式來表示嗎？

生：第三幅圖，是5+5+5+5+5+5=30。

生：五乘六也可以。

師：怎么寫？

（學生到黑板上寫出“5×6”）

師：你能教大家讀一讀嗎？

（學生示范，其余學生跟讀）

師：中間的運算符號讀作“乘”，這是一道乘法算式。以前我們都是用加法解決“一共有多少”的問題，乘法也能解決嗎？看到這個算式，大家有什么想問的嗎？

生：5 是5 個蘋果，6 是什么意思？

生：中間的“叉”是什么意思？

生：怎么計算？

師：我們就帶著這些疑問繼續學習。

【思考：這里同時引出“加法”和“乘法”，主動把提問權交給學生，提高學生的問題意識。學生問題的暴露始終聚焦在學生的短板上，學生想要了解的就是學生未知的，因此，這樣順學而教更加契合學生的學習規律?！?/p>

2.溝通加法，理解乘法

師：誰能解答這些疑問呢？

生：我知道6 就是有6 個部分。

師：誰能說得更明白？

生：一堆蘋果是5 個，有這樣的6 堆。

師：像這樣一組5 個，有6組。一起來數一數，1 個5——

生：2 個5、3 個5、4 個5、5 個5、6 個5。

（學生齊數，教師邊指邊圈并板書：每組5 個，有6 組）

師：一共數了幾次？

生：6 次。

師：也就是表示有“6 個5”。

師：觀察加法算式和乘法算式，它們有什么相同和不同嗎？

生：都有5。

生：都能表示每組是5 個蘋果。

生：加法算式中沒有6，乘法算式中有6。

生：加法算式中雖然沒有直接寫6，但是寫了6 個5，就是乘法算式中的“6”。

師：所以加法算式也表示6個5 相加，它們的意義是相同的。

生：沒錯，都表示6 個5 相加，只是乘法算式更簡單。

師：簡單在哪？

生：加法算式要寫很多個5，乘法算式寫兩個數就可以。

師：寫成5×6 確實看上去更簡潔，還可以寫成6×5。交換兩個數的位置，6 和5 的含義有沒有發生變化？

生：沒有，6 還是表示有6 組，5 還是每組5 個。

師：說得真好！兩個數可以交換位置，含義不變。這兩個數在乘法算式中都叫作“乘數”，中間這個符號就是“乘號”，得數和上面的加法算式一樣也是30，它是5 個5 個累積起來的結果，這個得數就叫作“積”。

小結：不管是5+5+5+5+5+5，還是5×6 或6×5 都表示6 個5 相加。

【思考：聯系加法與乘法的“同”與“不同”，讓學生認識乘法運算本質上也是數的累加，體現運算的一致性。這里第二次數蘋果的個數，用數數的方式讓學生初步理解算式中兩個乘數的實際含義，引導學生初次建立乘法模型。在初次感受到乘法算式的簡潔性后，乘法算式各部分的名稱采用直接講授式教學，也可以讓學生自學課本習得?！?/p>

3.對比研究，理解意義

生：5×6 表示6 個5 相加，6×5為什么不能表示5 個6？

師：這個問題提得很好！6×5能不能表示5 個6 呢？你能用手上的紙片蘋果研究一下嗎？

生1：我覺得不可以，因為這里就是6 個5 啊，你看，1 個5，2個5，3 個5……

生2：我覺得可以，只要把蘋果重新分一下，6 個放一堆。

師：這也能用6×5 表示？

生：是的，6 就是每組有6 個，5 就是有5 組。

師：真的是這樣嗎？我們一起來數一數，1 個6——

生：2 個6、3 個6……5 個6。

師：為什么6×5 一會兒表示6個5，一會兒又表示5 個6 了呢？

生：因為蘋果分得不一樣。

生：因為數的方法不一樣。前面我們是5 個5 個地數，這次我們是6 個6 個地數的。

師：6 個6 個地數，數5 次，累積起來也就是6×5=30。

生：或者5×6=30。

師：你補充得真好！那這里的5 和6 還是剛才的含義嗎？

生：這里5 就是有5 組，6 是每組6 個。

師：怎么分得不一樣，算式卻一樣？這兩種分法意義也一樣嗎？

生：意義不一樣，前面加法算式是5+5+5+5+5+5，這里加法算式是6+6+6+6+6。

師：這樣分蘋果，擺得看上去有點亂，你能不能試著把蘋果擺整齊，也能看出5 個6 或者6 個5？

師：看似相同的乘法算式，背后的意義卻不一樣，這里的意義是由誰決定的？

生：怎么“數”決定的。如果橫著6 個6 個地數，就是5 個6，豎著5 個5 個地數，就是6 個5。

生：也可以說是加法算式決定的，5+5+5+5+5+5 就是6 個5，換成6+6+6+6+6 就是5 個6。

師：所以乘法算式就是對加法算式的改寫。它表示“幾個幾”相加，“幾個”是加法算式里的哪個數？

生：加數的個數。

師：后面這個“幾”呢？

生：加數是“幾”就是“幾”。

師：總結歸納得真棒！

【思考：學生的一個提問引發了激烈的討論和思考，逐漸看到了乘法的本質意義，就是“幾個幾相加”，這里的“幾個”和“幾”對應的量，會根據“數”的方式不同而改變，學生通過觀察、對比、分析、操作、表達，促進了對乘法意義的深入理解。這里并未強調“同數連加”，為接下來學生自主建構乘法模型埋下伏筆?！?/p>

三、拓展“數數”，深入建構乘法模型

1.自主探索，直觀建構乘法模型

師：通過討論，我們認識了乘法，也知道了乘數的實際含義。30個蘋果，除了可以擺成5 個6 或6個5 的形式，還可以怎么擺？能用怎樣的乘法算式來表示？

（小組討論，動手操作，集體反饋）

生：剛才我們2 個2 個地數過，可以擺整齊一些，就是2×15或者15×2。

師：你能分別說說2 和15 的含義嗎？

生：2 就是每組2 個，有15 組。

生：我覺得2 也可以是有2組，每組15 個。

生：橫著數和豎著數表示的意思不同。橫著數是15+15，算式比較簡單，但豎著數是2+2+2……要加很多個2，算式比較麻煩。

師：從不同角度觀察，數的次數不同，意義就不同，但都可以用2×15 或15×2 來表示。

生：還可以這樣擺，橫著數3次就是3 個10，豎著數10 次就是10 個3，都能用3×10 或10×3 來表示。

師：你說得非常清楚！

師：可以7 個7 個地數嗎？

生：可以，但最后會剩下2 個。

師：這種情況用什么算式表示？

生：可以用7+7+7+7+2，但是乘法好像不行。

師：為什么不行？

生：數到最后會多出幾個，不是剛好幾個幾。

生：每組里面一樣多才行，這樣數，最后一組不是7 個。

師：每組一樣多才能直接用乘法表示，你們的發現很了不起。

【思考：通過擺一擺30 個蘋果的操作活動，讓學生建立清晰的乘法模型——即“每組幾個，有幾組”的等組模型（矩陣模型），學生說的“每排一樣多”實際就是“同數”，達到了理解同數連加和乘法之間建立直接聯系的目的。在本課中，學生還沒有“乘加”的概念，自然不必展開，但也為后續學習“乘加”埋下種子。】

2.拓展練習，深入理解乘法模型

（1）下面兩幅圖分別可以用怎樣的式子來表示？連一連。

師：這兩幅圖都有8 根香蕉，表示的意義相同嗎？

生：左圖是4 個一堆，數2 次就夠了，是4+4，也可以用乘法2×4，或4×2。

師：你說的這三個算式都表示幾個幾相加？

生：2 個4 相加。

師：誰來說說右圖？

生：2、4、6、8，數了四次。4 個2，也是2×4 或4×2。

生：但是加法算式是2+2+2+2。

師：看來2×4 或4×2 既可以表示2 個4 相加，還可以表示——

生：4 個2 相加！

（2）2×2 和4×4 表示什么？請你選擇一個算式，畫一畫。

師：2×2 和4×4 這兩個算式不能連，你明白它們的意義嗎？請你選擇其中一個算式，把它的意義畫出來。

（學生動手畫一畫并展示。學生作品有實物圖、圓圈圖等）

師：4×4 中的兩個“4”表示的意義一樣嗎？

生：不一樣，一個“4”表示每組4 個，另一個“4”表示有4 組。

師：這樣擺，不管橫著數，豎著數，都是4 個4，意義是相同的。

生：老師，我發現其實2×2 也只有一種說法，那就是2 個2，也能擺成正方形的樣子。

師：怎樣的乘法算式能用小正方形表示成這樣的大正方形呢？

生：兩個乘數一樣。

師：是啊，這樣的乘法算式計算的結果被叫作“正方形數”，感興趣的同學下課以后可以繼續研究。

【思考：兩個練習實際上是從兩個維度出發檢驗學生對乘法意義的理解。一是從直觀到抽象，讓學生根據圖示選擇算式；二是再從抽象回到直觀，讓學生用符號表征算式的意義，加深學生對乘法模型的體驗?！?/p>

四、課堂小結（略）