讀懂學生思維路徑 提升概念理解水平
——以《小數的意義》教學為例

文|陳 昱（特級教師） 袁 玲 張 艷

【教學理念】設計表現性任務凸顯小數概念本質

荷蘭數學家西蒙·斯蒂文說過：“創造小數就是為了把分數變得像整數那樣，從而避免分數的復雜計算?！笨梢哉f，小數的出現將分數和整數在計數法和計算法層面達成了統一，即小數是數概念基于十進位值制的一次拓展。本課核心學習目標是利用“畫小數”等活動引導學生聚焦小數的十進制計數法層面的意義理解。

圍繞核心目標，本課設計了三個表現性任務（如表1），主要是“畫小數”及相關活動?！爱嬓怠庇兄T多好處：其一，對學生個體來說，“畫小數”其實是個體對概念的理解和表征，在這個過程中，學生會整理和深化對概念的理解，從而使他們有機會將原本可能模糊的、不夠精準的、不夠深入的甚至錯誤的理解逐漸清晰化、深刻化，達成一種概念理解的自我完善——所以作品往往呈現鮮明的個性化、原生態特點。其二，“畫小數”將學生對小數概念的內隱性理解變得清晰可見，從而促使學習交流和“融錯”基礎上的認知生長真正發生。教師通過學生的畫小數表現可以讀取學生的思維，尤其是發現思維的疏漏之處，從而為富有針對性的學習指導提供依據；學生之間的作品展評則可以引導學生看見不一樣的思路，拓寬概念理解的視界，豐富概念的內涵和外延，在多元呈現基礎上的比較促使學生不斷優化對概念的理解，提升原先的思維層次和理解水平——從這一點看，“數學畫”具有很強的多元性和生長性特點。

表1 《小數的意義》學習任務設計表（蘇教版五年級上冊第三單元第1 課時）

下面是任務一中的教學片斷，其亮點是學生在“畫0.3”的任務驅動下“再創造”出十分位，隨后在學生互動評議中適時引出十進制計數法中數位及其計數單位之間的關系，完成向小數部分的拓展，這是本節課的關鍵部分。

【教學片斷】利用探究性畫圖引出十進位值制

師：之前我們畫過這樣的數，今天我們繼續來畫數。只不過今天增加了一種新的方式，咱們要在計數器上畫數。

（出示計數器圖，學生依次畫5、15）

師：畫15 時，為什么不在個位上畫15 顆珠子呢？

生：因為在個位上畫夠10 顆珠子就可以進位了。如果畫15，就要在十位上撥1 顆珠子，再在個位上撥5 顆珠子。

師：大家聽明白他的意思了嗎？

生：個位滿10 要向十位進1。

（板書：滿10 進1）

師：大家知道個位上的計數單位是多少嗎？十位、百位上呢？

……

師生互動，完成板書：

師：從右往左看，是滿10 進1，那從左往右呢？

引出“退1 當10”，并完成板書：

師：這就是整數計數單位之間的關系。我們再來畫數，你能在計數器上畫0.3 嗎？

（學生完成《學習單》上的任務，教師巡視指導，了解學情）

師：先來看這幅作品（出示圖1），他在個位上畫3顆珠子，大家有沒有什么想法？

圖1

生1：為什么要在個位上畫3 顆珠子？1 顆在個位上是1，畫3 顆不就是3 了嗎？

師：3 個一表示3。好像畫得有點問題，是0.3 嗎？

生：不是0.3，是3。

師：再來看一看這個同學的作品（出示圖2），請說說你的想法。

圖2

生2：我是想，0.3 是1 平均分成10 份，其中的3份，所以就要從1 里取3 份。

師：原來你畫的是1 顆珠子的十分之三，大家有什么意見？

生：他畫的十分之三不準確，看上去像二分之一。

生：雖然可以這樣畫，但是實際上沒有十分之三的珠子，沒法撥出來！

師：（出示圖3）這個小作者畫的是什么意思？

圖3

生3：我想既然小數不是個位上的數，它應該是比個位小的數，所以我就再退位。

師：有沒有聽懂？他覺得這個計數器上連個位都不能畫出0.3 這個一位小數，需要再怎么樣？

生：退位。

師：所以又往后畫了一格，那這一顆珠子表示多少？

生3：這一顆珠子表示0.1，3 顆珠子就表示0.3。

師：看一下這位同學的（出示圖4），給大家介紹一下你的想法。

圖4

生4：0.3 應該是在個位后一位的。這后一位的1顆珠子表示十分之一，這一位就叫作十分位。在十分位上畫1 顆珠子表示0.1，3 顆就表示0.3。

師：太厲害了！他不僅知道需要一個新的數位，而且還知道這個數位叫什么？大家來大聲地讀一下。

生：十分位。

師：十分位的計數單位是多少？1 顆珠子表示多少？

生：0.1 或十分之一。

師：（課件呈現數位）你知道在十分位的右邊又是哪一位嗎？計數單位是什么？再后面呢？它們之間有什么關系？

引出：

師：現在你會將計數器改造一下再畫0.3 嗎？

（學生修改作品）

【作品分析】從學生作品看小數概念理解的思維路徑

1.從一幅作品說起

在前測和課堂活動中均有學生畫出像圖5 這樣的作品，經過訪談得知學生有此表現主要出于兩種情況：其一，提前學過，知道兩位小數表示百分之幾；其二，由一位小數表示十分之幾推測出兩位小數表示百分之幾。所以，像圖5 這樣的作品雖然是正確的，但它反映的只是一個結果，學生對兩位小數意義的正常的探尋過程被屏蔽了，它的作者要么是被告知了這個意義，要么在推理或探索時跳過了自主思維中最關鍵的部分。盡管作者畫出了一幅并沒有錯的作品，但是不一定真正理解兩位小數的本質。那么，正常情況下，學生會怎么思考呢？

圖5

2.還原真實的思維過程

首先看圖6，小作者是怎么畫0.23 的？依據訪談和課堂反饋，得知她的大體思維路徑：（1）先畫0.2，將正方形看作1，十等分后涂出，這是一位小數的意義，她是已經理解了的；（2）根據需要再接著畫0.03，比0.1 更小的一個數，因為有畫零點幾的經驗，她很快就會類推：需要把0.1 再次十等分，每一份就是0.01，涂出這樣的3 份就是0.03；（3）將0.2 和0.03 合起來就是0.23，也就是。圖7 的思路差不多：0.05比0.1 小，先畫出0.1，再繼續十等分畫出0.05。實際教學中發現，對部分學生來說，0.05 其實比0.23 更難理解、難畫，因為后者的組成里有個0.2 很容易看出來，而且這是已經會畫的一位小數，而0.05 難在需要先想到0.1。還有一點值得注意，由圖7 要得出0.05就是，一般還需要圖8 這樣的直觀引導。當然也會有部分學生雖然知道從小數的組成來理解其意義，但是因為一位小數學習時就理解不到位，所以也不能成功畫出兩位小數，病根在一位小數意義的理解上（如圖9）。

圖6

圖7

圖8

圖9

3.洞穿錯例背后的理解偏差

圖9 這樣有錯的作品，從某種意義上說，是教學真正發生的契機?！皵祵W畫”作品能使學生的思維清晰可見，能夠暴露學生的問題，能讓教師看見學生的錯誤和困惑。圖9 還說明了一個問題：即便學生已經清楚一個小數的組成（具體表現之一是能夠在計數器上準確表示出這個小數），他也不一定理解這個小數的意義。圖10～12 也佐證了以上問題：圖10 的作者清楚0.11 含有1 個0.1 和1 個0.01，但卻不清楚0.1 和0.01的具體意義，把0.11 畫成了；圖11 則將0.03 混同于0.3，但至少小作者知道小數需要將計數單位十等分，筆者認為他可能是理解一位小數的意義的，只是在知識遷移時出現了問題；圖12 的錯誤可能首先在數的組成理解上出現了偏差，百分位與百位發生混淆，此外他對于0.02 表示的意義是不清晰的，可能只是模糊地知道是個比較小的數，加上之前百位的知識干擾，就阻礙了他對0.02 的正確理解。

圖10

圖11

圖12

以上四個錯例，其實指向一個共同的錯因，即學生對先前學習的一位小數的意義等基礎概念理解不深刻，對小數是十進分數的認識不到位，盡管他們都經歷了任務一的學習。這樣的錯誤其實是正常的，畢竟這是小數意義單元的第一課時，任務一是學生初次接觸和體會小數是十進分數，不可能所有學生的認識都能一次到位，這也體現了任務二、任務三設計的合理性和必要性。學生需要反復經歷這樣的學習任務，認識才能真正提升，才能完成對一個新概念的意義建構。

【課堂展評】以分層交流提升概念理解水平

筆者根據上述學習目標和前測分析建立“畫兩位小數作品評價框架”（如表2），為學生作品的課堂展評提供支撐。課堂上如何展評學生作品？并無標準答案，這里留給教師非常廣闊的教學空間，可以根據課堂實際情況靈活把握。比如本課任務二作品的展評就可以采用如下方案：

表2 畫兩位小數作品評價框架

1.展評水平1 作品

出示圖5，學生說一說想法，教師追問：你怎么知道0.03 表示

2.展評水平2 作品

出示圖9，先請學生評價，再請小作者說一說想法，指出其錯誤。

3.展評水平3 作品

（1）出示圖6，互動評議，理解小作者的思維路徑。

（2）追問：如果用這種方法畫0.05 你會嗎？學生思考后（有時間則嘗試畫一畫，沒時間則腦中畫圖），出示圖7，請學生說一說：你看懂了嗎？0.05 表示什么？

（3）出示圖8：你還能看懂嗎？0.02 表示什么？并看圖5：現在你知道這個0.03 為什么表示了嗎？

4.展評部分錯例

依次出示圖10、11、12（也可以整體呈現），請學生小組內說說有什么問題、可以如何改進，再全班交流。

5.完善作品

請學生修改完善自己的作品，同桌互查。

6.小組討論

根據自己的探究，結合同學的作品，說一說兩位小數表示什么意義。再全班反饋，得出：兩位小數表示百分之幾。

以上設計指向提升學生對兩位小數意義的理解水平，具有鮮明的特點：

特點1：注重作品展評的層次性

圖5 呈現的是兩位小數意義理解的結果，首先展評，便于引發學生的疑問和興趣；圖9 雖有呈現思維過程的努力，但出現錯誤沒有成功，更能激起學生的探究興趣；此時展評圖6～8，水到渠成，而且依次出示圖6、7、8，也是本著“先易后難，先局部再整體”的認知原則；最后展評錯例，有了前面的理解基礎，學生才能更好地找出錯因，做出修改。

特點2：注重體現學教評一致性

首先學生的學習、教師的教學和對學習的評價都指向相同的目標，即引導學生深刻理解兩位小數的意義，發展數感；其次課堂上的過程性評價實時評估和保障學生的學習行為一直沿著目標指引的道路不斷進階，比如用“你怎么知道0.03 表示”課堂提問指出圖5 的不足，引出能展現真實探究過程的作品，并在圖6 與圖7 展評之間提問“如果用這種方法畫0.05 你會嗎”，根據實際學情決定紙上或腦中嘗試畫圖；此外，很重要的一點是堅持“以評促學、以評促教”，對學生作品的分析和展評是為了促進學生的學習和改進教師的教學，比如設計中展評錯例和完善作品的環節能夠促使學生在比較和反思中提升理解水平，而教學實施過程可能出現的預設外生成將會作為教學反思的重點，為教師的教學改善提供資源。原本的設計并不是先展評圖5，而是將其歸入水平3 作品中，正是在試教課堂的展評中發現圖5 的作者并不真正理解0.03 的意義，從而調整了教學。

這也提醒我們，“數學畫”的直觀性雖然比較容易讓教師和同伴讀懂學生個體的思維，但是這種“讀圖”還需要小作者“說圖”和同伴“評圖”的加持才能做到精準。以上所有均是核心素養導向下的“數學畫”教學與課程體系的重要組成部分，一起服務于學生的數學學習。