基于運算一致性 凸顯乘法運算本質
——《分數乘整數》素養進階習題展評及教學建議

文|孫衣云

一、習題展評

●習題一

1.習題內容

涂一涂，填一填，算一算，說一說。

2.能力指向

考查學生多元表征分數乘整數的意義和算理并進行正確計算的能力。學生通過“涂一涂，填一填，算一算，說一說”，進一步體會到分數乘整數的計算模型——計數單位不變，計數單位個數相乘。通過面積模型圖和線段圖讓學生多元表征分數乘整數的意義和算理，展示多種計算方法。從算式到圖，再從圖到算式，進一步鞏固分數乘整數的算理。通過溝通對比，比較算法之間的相互關聯，尋找共同點。

3.學情分析

對學生進行后測，大部分學生能在不同的模型圖上表征分數乘整數的算理并正確計算，但基于計數單位說出算理還有一定困難。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）頒布之前沒有特別強調用計數單位為要素來表達算理，也沒有溝通整數、小數和分數乘法運算本質的一致性，教學大多呈現出數與運算線性結構和知識之間割裂現象，從而使得學生前面知識學習和現行要求有脫節。

●習題二

1.習題內容

2.能力指向

考查學生分數乘法的綜合應用意識，體會分數乘整數在生活中的意義，并解決相關問題。通過進一步解決生活中的數學問題，鞏固分數乘整數的意義和算理，體會分數在生活中的應用，學生通過辨析比較分數乘法的不同表征，充分理解分數乘法在不同情境中的意義和內涵。選項“D”為分數除法的學習做了鋪墊。

3.學情分析

選項“D”對學生充分辨析分數乘法和分數除法的意義起到了很好的干擾項作用，部分學生對分數乘法的意義理解不是很扎實，在具體情境中的意義表達不夠清楚。學生畫圖并計算分數乘整數的正確率比較高，但表達算理需進一步加強。

●習題三

1.習題內容

杯中原來盛有1400 毫升水，倒完水后情況如下圖。從杯中倒出多少毫升水？還剩多少毫升水？

2.能力指向

考查學生綜合解決數學問題的能力，再次鞏固分數乘整數的運算方法。鼓勵學生在生活情境中，綜合自己對于題意、運算及算法的理解，靈活解決問題。此題是開放題，可以用多種方法來解決。

3.學情分析

二、教學建議

1.重視教學內容整體性，進行結構化學習

落實對運算一致性的理解，對于現行用舊教材的學生有一定困難。要突破此問題，核心是凸顯知識之間的內在聯系，體現結構化。因此，在目前新課標、舊教材的背景之下，需重視教學內容的整體性，用結構化理念組織教學內容應該是我們的首選。為了喚醒學生的類比經驗，把零散的乘法內容構建成一個整體，從整數乘法教學開始，教師就要幫助學生理解計數單位累加的過程。如兩位數乘一位數，可以運用計數單位累加幫助學生理解算理：18×4=10×4+8×4=（1×4）×（10×1）+（8×4）×（1×1）=72。學生理解乘法運算是計數單位累加的過程，通過點子圖等數形結合的方法來理解算理。弄懂弄通整數乘法算理算法，就可以遷移到小數乘法和分數乘法，感悟運算的一致性。這樣，整個小學階段的乘法運算就一脈相承，具有整體性和結構性了。乘法運算算理都可以概括為：其一是尋找新的計數單位，其二是統計有多少個這樣的單位。

2.重視溝通與關聯，把握運算一致性

在習題練習中，發現學生對乘法運算本質的一致性還是比較陌生的。教學分數乘整數時，讓學生經歷多元表征表達算理、溝通對比理解算理、抽象提煉歸納算法。分數乘整數教學要體現“重視溝通、整體聯系”，要用計數單位累加來表達與轉化計算過程，發現運算的內在關聯。使學生初步領悟整數、小數、分數乘法都是基于計數單位和計數單位相乘，得到新的計數單位，計數單位個數和計數單位個數相乘，得到新的計數單位個數，其運算本質是一致的。如圖進行以下的溝通與對比，發現乘法運算本質的一致性，都是基于計數單位累加的過程。

3.重視運算交流與表達，加強算理理解

新課標實施以來，乘法運算主要以計數單位為基本要素的累加的過程。教師要重視學生對這樣數的運算意義的交流與表達。在新理念現行教材下，學生知識的形成主要是借助對意義的理解和直觀情境，但數運算本質的一致性理解需要一定的形式化表達與轉化，這方面是小學生的弱項，所以需要提高學生在這方面的數學能力，在形式化的層面上基于“計數單位”的累加來推導分數乘法的運算過程。