素養(yǎng)導(dǎo)向下的“多邊形的面積”單元整合教學(xué)實(shí)踐

文|韓夢婷

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系?！倍鴨卧虒W(xué)可以聚焦學(xué)習(xí)困惑，并利用整合的方式，調(diào)整教學(xué)序列，將碎片化的知識(shí)連點(diǎn)成線、織線成網(wǎng)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)涵能有一個(gè)整體認(rèn)知和深度把握，并發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，拓展數(shù)學(xué)思維。接下來筆者就以“多邊形的面積”單元為例，闡述一下自己的思考。

一、聚焦困惑，明確單元教學(xué)內(nèi)容

學(xué)生在學(xué)習(xí)“多邊形的面積”過程中會(huì)有怎樣的困惑呢？教師如何基于學(xué)情展開適合的單元整合教學(xué)呢？基于以上思考，筆者進(jìn)行了相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐研究。

（一）“多邊形的面積”的單元起始課該從何開啟？

在“多邊形的面積”單元教學(xué)時(shí)，人教版的教材是按照“平行四邊形的面積——三角形的面積——梯形的面積”的順序進(jìn)行推導(dǎo)學(xué)習(xí)的?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e”因其教學(xué)起點(diǎn)低，轉(zhuǎn)化方便的特點(diǎn)常常作為本單元的起始課。但在長期的教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化用的是剪拼法，而三角形的面積轉(zhuǎn)化用的是倍拼法，這兩種方法切換跨度大，經(jīng)常讓學(xué)生難以理解。并且平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化方法單一，反而不利于學(xué)生體驗(yàn)多樣的轉(zhuǎn)化方法，容易造成學(xué)生思維上的定勢。基于以上，筆者思考“平行四邊形的面積”作為單元起始課是否真的利于學(xué)生對(duì)于面積的理解呢？

對(duì)比不同版本的教材我們發(fā)現(xiàn)，蘇教版和北師大版都不約而同地將“方格圖中的圖形”作為單元起始課，之后再進(jìn)行其他基本圖形的學(xué)習(xí)。這樣的呈現(xiàn)給了筆者新的啟發(fā)。方格圖作為面積度量媒介，不僅能讓學(xué)生體會(huì)面積單位的密鋪，更能從不同圖形中揭示面積的本質(zhì)就是面積單位的累加，實(shí)現(xiàn)直觀到抽象的轉(zhuǎn)化。學(xué)生可以通過不同圖形的轉(zhuǎn)化，體驗(yàn)多樣的轉(zhuǎn)化方法，積累不同的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，讓思維更開放，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。因此，筆者認(rèn)為將“面積單位的度量”作為單元起始課是可行的。

（二）平面圖形的面積公式需要相互聯(lián)通嗎？

以往的教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于面積公式的運(yùn)用總是會(huì)有搞錯(cuò)搞混的現(xiàn)象。當(dāng)然通過一定程度的記憶和背誦，這樣的現(xiàn)象會(huì)逐漸減少，但學(xué)生是否真的明白這些面積公式間的聯(lián)系呢？其實(shí)面積的教學(xué)是有很多共通之處的。從學(xué)習(xí)本質(zhì)上，所有圖形面積的本質(zhì)都是面積單位的累加。從思想方式上，這三種圖形都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，可以將未知的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形。比如，平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長方形，三角形可以轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形，梯形也可以轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形。甚至，這三種圖形都可以以長方形為依托進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化。從學(xué)習(xí)方法上，它們都可以用切割、拼貼的方法進(jìn)行探究。從教學(xué)工具上，都可以選擇方格圖，因?yàn)榉礁駡D不僅是學(xué)生們熟悉的面積度量工具，更是聯(lián)通不同圖形面積關(guān)系的重要媒介。在擁有如此多共同性的情況下，學(xué)生如果要準(zhǔn)確把握平面圖形的面積本質(zhì)，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，面積公式間的聯(lián)通非常有必要。有了這樣的思考，筆者將五年級(jí)下冊“多邊形的面積”單元進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化整合（如下表）。

整合前整合后教學(xué)內(nèi)容調(diào)整后的教學(xué)目標(biāo)平行四邊形的面積面積單位的度量利用方格圖，掌握不同的轉(zhuǎn)化方法，積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，并通過探索、歸納，深入理解面積的本質(zhì)，培養(yǎng)空間觀念。三角形的面積自主探索平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算，理解面積公式的含義。體會(huì)圖形間的聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展推理能力和空間觀念。梯形的面積平行四邊形、三角形、梯形的面積三角形、平行四邊形、梯形的面積練習(xí)溝通三角形、平行四邊形、梯形的面積公式間的聯(lián)系，加深理解面積公式，并能靈活運(yùn)用公式，解決相關(guān)的實(shí)際問題。

筆者通過重組序列，調(diào)整了教學(xué)內(nèi)容，但總課時(shí)依然不變。筆者希望能在結(jié)構(gòu)化整合后進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑，提升學(xué)生在探索面積公式時(shí)的自主性和進(jìn)階性，讓學(xué)生在激活轉(zhuǎn)化、提煉面積公式后溝通平面圖形面積間的聯(lián)系，讓學(xué)生能夠深入面積的本質(zhì)，達(dá)到學(xué)生知識(shí)和技能方面的提升，更培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、探究能力，形成系統(tǒng)性、深刻性、靈活性的多元思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。接下來就以“多邊形的面積”為例具體闡述筆者是如何實(shí)施單元教學(xué)的。

二、調(diào)整序列，定位教學(xué)實(shí)施策略

（一）激活：探索中積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)

1.等積變形，感悟面積度量本質(zhì)

數(shù)學(xué)上常常會(huì)用任務(wù)驅(qū)動(dòng)，結(jié)合結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)素材驅(qū)動(dòng)學(xué)生展開想象，使學(xué)習(xí)能力不同的學(xué)生能有不同的學(xué)習(xí)收獲。以“面積單位的度量”為例，為了達(dá)成“深入理解面積本質(zhì)”“掌握不同轉(zhuǎn)化方法”的學(xué)習(xí)目標(biāo)，筆者作了如下設(shè)計(jì)（如下表）。

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)素材目標(biāo)指向下面圖形的面積哪個(gè)最大？哪個(gè)最??？請說明你的理由。（每個(gè)小方格的面積是1cm2）②①④③⑥⑤⑧⑦⑨①不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，將不完整方格轉(zhuǎn)化成完整方格，并進(jìn)行疊加。②割補(bǔ)法，感悟面積是面積單位的累加。③⑥等底同高，可以重看比較。且底和高都為奇數(shù)，體現(xiàn)割補(bǔ)法的局限性，突顯倍拼法。④與③⑥同為等底的直角三角形，但高是偶數(shù)。⑤是圖形比較的基礎(chǔ)。⑦⑧⑨割補(bǔ)法和倍拼法，實(shí)現(xiàn)靈活轉(zhuǎn)化。

這些圖形之間既有關(guān)聯(lián)又有區(qū)別，有利于學(xué)生的對(duì)比和分析。通過一個(gè)開放性和挑戰(zhàn)性的任務(wù)，有些學(xué)生會(huì)犯難不規(guī)則的圖形面積怎么比；看上去差不多大的面積如何比；怎樣比才最方便；割補(bǔ)完之后發(fā)現(xiàn)面積不準(zhǔn)確又怎么辦？在完成任務(wù)時(shí)，不斷的疑惑驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考，引發(fā)了學(xué)生的求知欲，并在不斷的“問題——解決”中，讓學(xué)生感悟到面積的本質(zhì)，優(yōu)化了面積單位的數(shù)法。

2.化零為整，體驗(yàn)多樣轉(zhuǎn)化方法

學(xué)生的生成資源是寶貴的財(cái)富，教師只有用好這些學(xué)習(xí)素材，才能讓學(xué)生更易理解、更易接受。就如“面積單位的度量”的任務(wù)中，學(xué)生的反饋也是有層次的。從觀察法到重疊法，當(dāng)兩種方法都沒法比的時(shí)候，就出現(xiàn)了數(shù)格法。又從一個(gè)一個(gè)拼這樣零散的數(shù)，到之后學(xué)生認(rèn)為這樣的方法太麻煩，產(chǎn)生了學(xué)習(xí)沖突，從而優(yōu)化到整塊的割補(bǔ)。再到直角三角形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不論零散的拼、割補(bǔ)的拼都不夠精確時(shí)，感受到割補(bǔ)法也是有局限的，迫使學(xué)生創(chuàng)造出翻倍的拼。這樣的優(yōu)化、創(chuàng)造正是學(xué)生在不斷地認(rèn)知矛盾中，化零為整，逐步完善的過程。而之后的每個(gè)圖形，學(xué)生通過類比、推理等方式，出現(xiàn)了多樣的轉(zhuǎn)化方法。甚至學(xué)生在理解之后發(fā)現(xiàn)等底不同高也能比，出現(xiàn)了更多的比法。這是學(xué)生在積累之后的應(yīng)用，更是學(xué)生思路開闊的體現(xiàn)。

3.問題驅(qū)動(dòng)，領(lǐng)悟面積關(guān)鍵要素

“轉(zhuǎn)化之后的圖形與原來的圖形有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？”這一問題驅(qū)動(dòng)了學(xué)生對(duì)面積的深入思考，讓學(xué)生帶著目的重新去看這些圖形，會(huì)給學(xué)生不一樣的感受。通過交流思辨，學(xué)生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化方法是不同的，一開始是一個(gè)一個(gè)拼，又因?yàn)椤捌雌饋砺闊保兂闪恕罢麎K割整塊補(bǔ)”，之后發(fā)現(xiàn)整塊割補(bǔ)不夠準(zhǔn)確，出現(xiàn)了“倍拼”。但在不同中又有相同，首先轉(zhuǎn)化前后的面積是相同的，并且不論如何轉(zhuǎn)化都是為了將“不完整的格子”變成“完整的格子”，方便數(shù)數(shù)。這里的指向就是面積的本質(zhì)——面積單位的累加。其次學(xué)生發(fā)現(xiàn)不論如何轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為長方形是最方便數(shù)的。之后再追問，“變成長方形后，什么沒變？”學(xué)生通過一一對(duì)比知道，長方形的長就是底，而寬就是高。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了直角三角形等底不同高的秘密，有了新的感悟。至此，面積計(jì)算的關(guān)鍵要素——底和高，也在交流與思辨中被學(xué)生領(lǐng)悟。

（二）內(nèi)化：化歸中提煉面積公式

1.選取，基于思辨之后的取舍

方格圖是學(xué)生測量面積的重要依托，但是脫離方格圖之后，學(xué)生能否選擇合適的度量工具以及合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行面積的計(jì)算，這對(duì)于學(xué)生來講又是一個(gè)挑戰(zhàn)。因此，筆者設(shè)計(jì)了以下學(xué)習(xí)任務(wù)。

面對(duì)這樣的任務(wù)，學(xué)生的第一反應(yīng)就是量。那么量什么呢？有些學(xué)生將每條邊的邊長量了出來，有些學(xué)生量了所有的底和高，有些學(xué)生只量了一組底和高。對(duì)比不同的量法，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)以下問題進(jìn)行思考：計(jì)算面積需要量出所有的邊嗎？為什么要量出底和高呢？每一組的底和高都要量嗎？學(xué)生們的回答令人欣喜，在這樣的思辨當(dāng)中他們將如何選取數(shù)據(jù)、如何轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化前后的關(guān)系越辨越明了。選取背后是學(xué)生對(duì)于面積的理解。通過思辨，明晰了面積轉(zhuǎn)化的過程，加深了底和高對(duì)于面積計(jì)算的重要性，正確地取舍更是學(xué)生在深入理解后產(chǎn)生的自然結(jié)果。

2.規(guī)范，基于分析之后的明晰

面積公式是數(shù)學(xué)上的規(guī)定，我們常常需要告知學(xué)生這些規(guī)定，但有時(shí)規(guī)定是在自然而然中形成的。就像特級(jí)教師俞正強(qiáng)曾說：“數(shù)學(xué)上有許多規(guī)定，這些規(guī)定似乎是硬邦邦的，需要被重復(fù)、被強(qiáng)化。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的許多規(guī)定是有道理的，而且道理是十分有意思的?！蔽覀冎灰o足時(shí)間讓學(xué)生充分探索、互相交流，明晰其中的道理，規(guī)定自然會(huì)出現(xiàn)在學(xué)生的心里。

在知道底和高的重要性之后，學(xué)生需要的就是根據(jù)圖形的特征和轉(zhuǎn)化的過程進(jìn)行面積的計(jì)算。而三角形和梯形的面積計(jì)算中出現(xiàn)了“÷2”，根據(jù)不同的轉(zhuǎn)化方法，學(xué)生知道了，有時(shí)除以2 是高折半，有時(shí)除以2是底折半，有時(shí)除以2 是面積折半，但不管是哪種情況造成的結(jié)果都是“底×高÷2”。在如此分析之后，學(xué)生對(duì)于面積公式的產(chǎn)生有了深刻的感悟，面積公式的規(guī)范就是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的明晰。

（三）聯(lián)通：比較中聯(lián)通內(nèi)在聯(lián)系

1.在橫向聯(lián)系中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

經(jīng)歷多種圖形的轉(zhuǎn)化后，學(xué)生需要利用多個(gè)素材的異同對(duì)比，激發(fā)深層次的思考。通過幾個(gè)面積公式比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“面積都與底和高相關(guān)”“面積都可以通過翻倍和割補(bǔ)將原圖形轉(zhuǎn)化成長方形”“三角形和梯形的面積要除以2，而平行四邊形的面積不需要除以2”。其實(shí)不管怎么拼，都是為了方便面積單位的“數(shù)”。既然有這么多關(guān)聯(lián)，這些面積公式能否用同一個(gè)公式來替代呢？學(xué)生的選擇是（上底+下底）×高÷2，因?yàn)殚L方形、正方形、平行四邊形的上底和下底是相等的，三角形的上底為0。

教師的對(duì)比質(zhì)疑、反思總結(jié)是互聯(lián)的手段，用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析思考、引領(lǐng)點(diǎn)撥，可以加深學(xué)生對(duì)面積公式的理解，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考、深入研究，幫助學(xué)生找到知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，明晰知識(shí)背后的內(nèi)在規(guī)律，建立起結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。

2.在拓展延伸中打破思維定勢

知識(shí)間的聯(lián)系不僅在反思總結(jié)中存在，也可以在練習(xí)拓展中進(jìn)行延伸，因此筆者設(shè)計(jì)了以下練習(xí)。

練習(xí)拓展：佩奇一家要去采桃子，有下面四塊菜地，怎樣才能最快找出最大的菜地呢？

這個(gè)練習(xí)的關(guān)鍵在于“比”。如何比？以往學(xué)生會(huì)選擇“算”，因?yàn)樗阕詈唵?，只需機(jī)械重復(fù)的應(yīng)用公式就可以了。但是這里的比是需要學(xué)生進(jìn)行分析與思考的，在理解知識(shí)的本質(zhì)與關(guān)聯(lián)后才能找到同高的“秘密”，且下底也是相同的，那只要比較上底就好了，而上底最大是6，最小是0，這就是對(duì)于面積同一公式的靈活運(yùn)用。練習(xí)的意義在于提升和拓展，學(xué)生從“算”到“不算”其實(shí)就是打破思維的慣性，明晰內(nèi)在的規(guī)律，學(xué)會(huì)應(yīng)用的體現(xiàn)。

綜上所述，單元教學(xué)是在充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑后，利用知識(shí)間的關(guān)聯(lián)重新整合，調(diào)整教學(xué)序列，通過激活學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化學(xué)生的度量方法，聯(lián)通知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，使學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，讓數(shù)學(xué)變得更有道理！

【本文為“第十五屆全國小學(xué)教學(xué)特色設(shè)計(jì)論文大賽”獲獎(jiǎng)作品】