明題意 理關(guān)系 建模型

屈婷

《用百分?jǐn)?shù)解決問題》是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第六單元《百分?jǐn)?shù)（一）》例5的內(nèi)容，旨在讓學(xué)生用百分?jǐn)?shù)解決“兩次增減變化”問題，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，提高學(xué)生解決問題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合，夯實(shí)審題基礎(chǔ)

提取題目中的有效信息、明晰數(shù)據(jù)所表達(dá)的意思，才能看到問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圖示表征題意的過程，促進(jìn)學(xué)生理解問題。

課始，筆者創(chuàng)設(shè)以下問題情境：“某商品4月的價(jià)格比3月降了20%，5月的價(jià)格比4月漲了20%。張阿姨和李阿姨分別在3月和5月購買了該商品。誰買得便宜？”學(xué)生猜想結(jié)論后，筆者讓學(xué)生畫圖表征題目信息，并收集了兩件有代表性的學(xué)生作品（如下圖）。

學(xué)生認(rèn)為兩件作品都表示出商品3月、4月、5月的價(jià)格，降的20%和漲的20%也表示得很清楚。筆者引導(dǎo)：為什么要先畫商品3月的價(jià)格？學(xué)生回答：因?yàn)?月的價(jià)格是標(biāo)準(zhǔn)，畫線段圖時(shí)要先畫標(biāo)準(zhǔn)量，再畫比較量。接著，筆者讓學(xué)生分析兩幅作品有什么不同。學(xué)生發(fā)現(xiàn)作品①?zèng)]有關(guān)注“降20%”和“漲20%”的線段長度，而作品②將表示3月價(jià)格的線段平均分成5份，其中1份與表示“降20%”的線段一樣長。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生討論“降20%”是誰與誰比、這部分線段是不是隨便畫多長都可以，并讓學(xué)生思考哪幅作品能更準(zhǔn)確地表示商品4月的價(jià)格比3月降低20%。學(xué)生討論后明確：“降20%”表示“4月與3月相比，商品價(jià)格少了，少的數(shù)量是3月商品價(jià)格的20%”，用分?jǐn)?shù)表示是五分之一，這部分線段的長短不能隨意畫，作品②的畫法更準(zhǔn)確。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考表示“漲20%”與“降20%”的線段長度是否一致，怎樣確定“漲20%”的線段畫多長。通過交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“漲20%”表示“5月與4月相比，商品的價(jià)格漲了，漲的數(shù)量是4月商品價(jià)格的20%”，畫圖時(shí)需要把表示4月價(jià)格的線段平均分成5段，其中一段的長度就是“漲20%”對(duì)應(yīng)的長度；由于比較的標(biāo)準(zhǔn)不一樣，“降20%”與“漲20%”的線段長度是不同的。

二、理順關(guān)系，強(qiáng)化思路分析

本課要解決的是多步復(fù)合應(yīng)用題，學(xué)生既要以兩次增減的百分?jǐn)?shù)的意義作支撐來建立數(shù)量關(guān)系，又要借助假設(shè)法輔助思考。教師要關(guān)注學(xué)生解決問題的思維路徑，幫助學(xué)生理順信息之間的邏輯關(guān)聯(lián)，理清數(shù)量關(guān)系。

課堂上，筆者先引導(dǎo)學(xué)生解決列算式解決問題時(shí)會(huì)遇到的具體價(jià)格不明的問題。對(duì)此，學(xué)生提出借鑒解決工程問題的做法，假設(shè)一個(gè)價(jià)格。筆者追問：要假設(shè)商品幾月的價(jià)格？假設(shè)成多少合適？學(xué)生提出要假設(shè)3月的價(jià)格，可以假設(shè)成50元、100元、1000元等方便計(jì)算的數(shù)。筆者讓學(xué)生列算式解決問題，而后呈現(xiàn)以下兩種方法：

①50×（1-20%）=40（元）? 40×（1+20%）=48（元）

②50-50×20%=40（元）? 40+40×20%=48（元）

筆者提問：方法①和方法②有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？學(xué)生回答：兩種方法都是把商品3月的價(jià)格假設(shè)成50元，分別算出4月和5月的價(jià)格；不同的是方法①先算4月價(jià)格占3月價(jià)格的百分率，方法②先算4月比3月降低的具體錢數(shù)。筆者追問：為什么都要先算出4月的價(jià)格？學(xué)生回答：5月的價(jià)格是以4月的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)變化的，只有先求出4月的價(jià)格，才能求出5月的價(jià)格。

接著，筆者呈現(xiàn)方法③：100×（1-20%）=80（元），80×（1+20%）=96（元）。筆者問學(xué)生方法③與前兩種方法比有什么不同，它可以跟哪種方法歸為一類。學(xué)生認(rèn)為方法③和方法①是同一類，都是先算商品4月的價(jià)格是3月的百分之幾，只是假設(shè)的3月價(jià)格不同。

然后，筆者呈現(xiàn)方法④：1×（1-20%）=0.8，0.8×（1+20%）=0.96。筆者設(shè)疑：這種方法與前面的方法相同嗎？學(xué)生認(rèn)為方法④與方法①、方法③相同，只是沒寫單位名稱，并提出前面的方法假設(shè)的是具體價(jià)格，方法④中的“1”表示商品3月的價(jià)格對(duì)應(yīng)的分率，直接算分率不用寫單位名稱。筆者肯定了學(xué)生的想法，并進(jìn)一步引導(dǎo)：小剛用“1”表示商品3月的價(jià)格，列出算式“1-20%+20%=1”，有道理嗎？學(xué)生回答：線段圖中漲的20%和降的20%不一樣長，不能直接加或減。筆者引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合線段圖思考：如果用“1”表示商品3月的價(jià)格，商品4月的價(jià)格怎樣表示？學(xué)生討論后認(rèn)為，用“1×（1-20%）”和“1-20%”表示都對(duì)。筆者繼續(xù)引導(dǎo)：商品5月的價(jià)格由幾部分組成？加的20%是“1”的20%嗎？學(xué)生恍然大悟：加的應(yīng)該是商品4月價(jià)格的20%，而“（1-20%）×20%”等于16%，所以應(yīng)該用“1-20%+16%”計(jì)算。

最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生算出5月與3月相比的降價(jià)幅度，并提問：為什么假設(shè)的數(shù)據(jù)不同，結(jié)果卻相同？學(xué)生發(fā)現(xiàn)降價(jià)幅度是一個(gè)百分率，降價(jià)錢數(shù)與假設(shè)錢數(shù)的關(guān)系是不變的，所以結(jié)果相同。

以上教學(xué)，學(xué)生體會(huì)到不論用哪種方法解題，都要先算商品4月的價(jià)格，它是“漲20%”的標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)隱藏較深的單位“1”是正確解題的關(guān)鍵。

三、題組對(duì)比，助力模型建構(gòu)

教師構(gòu)建變式題組，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比理解同類題目的數(shù)學(xué)本質(zhì)，掌握這類問題的基本結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生明確解決復(fù)雜百分?jǐn)?shù)問題的一般方法與策略。

筆者先呈現(xiàn)第一組題，讓學(xué)生獨(dú)立解答。

（1）某商品4月的價(jià)格比3月降了10%，5月的價(jià)格比4月漲了10%。5月的價(jià)格和3月相比，是漲了還是降了？

（2）某商品4月的價(jià)格比3月漲了10%，5月的價(jià)格比4月降了10%。5月的價(jià)格和3月相比，是漲了還是降了？

學(xué)生列式計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩道題的結(jié)果相同。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察算式，思考“先降再漲”和“先漲再降”結(jié)果相同的原因。學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩道題都有乘（1-10%）和（1+10%），只不過先后順序不同。筆者引導(dǎo)學(xué)生把分步算式改寫成綜合算式，從新的角度觀察。學(xué)生改寫后發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)綜合算式中，只是帶括號(hào)算式的位置不同，只要降和漲的百分率一樣，不論是先降再漲還是先漲再降，5月的價(jià)格都比3月的價(jià)格低，因?yàn)榻?0%的單位“1”的量比漲10%的單位“1”的量大。

然后，筆者呈現(xiàn)第二組題，引導(dǎo)學(xué)生猜一猜哪些題目的結(jié)果可能相同。

（1）某商品的價(jià)格是a元，4月的價(jià)格比3月漲了25%，5月的價(jià)格比4月降了20%。5月的價(jià)格和3月相比，是漲了還是降了？

（2）某商品的價(jià)格是a元，4月的價(jià)格比3月降了25%，5月的價(jià)格比4月漲了20%。5月的價(jià)格和3月相比，是漲了還是降了？

（3）某商品的價(jià)格是a元，4月的價(jià)格比3月降了20%，5月的價(jià)格比4月漲了25%。5月的價(jià)格和3月相比，是漲了還是降了？

有的學(xué)生認(rèn)為3道題中降的百分率與漲的百分率不同，結(jié)果未必相同；有的學(xué)生認(rèn)為第（1）題和第（3）題都是“漲25%”“降20%”，只是順序發(fā)生了變化，結(jié)果可能相同。筆者引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想，助推學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫出含有未知數(shù)（字母a）的式子。經(jīng)過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第（1）題和第（3）題與第一組題的規(guī)律相同，算得的結(jié)果都是a；第（2）題的算式“a×（1-25%）×（1+20%）”所得結(jié)果是0.9a，與漲和降的百分率相同的情況相比，漲的百分率少，降的百分率多，5月的價(jià)格會(huì)更低。通過對(duì)比分析，學(xué)生逐步理解了多種假設(shè)法的合理性及其內(nèi)在一致性。

（作者單位：宜城市窯灣小學(xué)）

責(zé)任編輯? 劉佳