高中數學課堂中如何引導學生深度學習

皮冬林

一、什么是深度學習

深度學習是機器學習中一個非常接近AI（人工智能）的領域，其動機在于建立、模擬人腦進行分析學習的神經網絡。深度學習屬于無監督學習。深度學習的概念源于人工神經網絡的研究。

（一）深度學習的起源

1943年，美國心里學家麥卡洛克和數學邏輯學家皮茲發表論文《神經活動中內在思想的邏輯演算》，提出了MP模型。MP模型是模仿神經元的結構和工作原理，構成出的一個基于神經網絡的數學模型，本質上是一種“模擬人類大腦”的神經元模型。MP模型作為人工神經網絡的起源，開創了人工神經網絡的新時代，也奠定了神經網絡模型的基礎，基于神經網絡的深度學習開始受到人們關注。[1]

（二）深度學習的發展

2006年，杰弗里·辛頓對深度學習的提出以及模型訓練方法的改進打破了神經網絡發展的瓶頸，他在世界頂級學術期刊《科學》發表的一篇文章中詳細給出了“梯度消失”問題的解決方案——通過無監督的學習方法逐層訓練算法，再使用有監督的反向傳播算法進行調優。該深度學習方法的提出，立即在學術圈引起了巨大的反響，以斯坦福大學、多倫多大學為代表的眾多世界知名高校紛紛投入巨大的人力、財力進行深度學習領域的相關研究，而后又迅速蔓延到工業界中。

（三）教育領域對深度學習研究

教育領域中由美籍瑞典研究者馬頓和薩爾約率先開始對深度學習進行研究，并在1976年發表的《學習的本質區別：結果和過程》一文中，提出了“深度學習”的概念。該研究認為深度學習既是個體感知記憶、思維等認知過程，也是根植于社會文化、歷史背景、現實生活的社會建構過程。

我國對學生深度學習的研究源于2005年上海師范大學的何玲、黎加厚教授在《促進學生深度學習》的著作中提出的“深度學習”概念。該研究指出：深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中， 作出決策和解決問題的學習。

二、數學學科如何理解深度學習

布盧姆在認知學習領域中把教學目標分成識記、理解、應用、分析、綜合、評價六個層次， 其中，識記、理解屬于淺層學習，應用、分析、綜合、評價屬于深層學習。因此，對于高中數學學科而言，深度學習最基本的意義體現在能夠引導學生走出淺層學習的束縛，能夠讓學生在數學學習的過程中更多地重視思維，而不只是數學知識的記憶與運用。故數學深度學習是指向學生對數學本質理解、提升數學思維能力、促進學科核心素養獲得的學習過程。

基于數學核心素養的“深度學習”：是指學習者運用高階思維，將所學的知識和技能應用到新的復雜情境，逐步形成正確價值觀和必備品格的認知過程。

三、如何促進學生深度學習

根據高考評價體系的整體框架，結合《普通高中數學課程標準》提出的六大學科核心素養（數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析），高考數學提出了五項關鍵能力：邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力。我們的深度學習就要圍繞培養學生的這五項關鍵能力展開，借以培養學生數學學科核心素養。

研究表明高中數學深度學習包含：深度分析、深度設計、深度實踐、深度評價四個維度。下面以“直線與圓的位置關系”一課為例，跟大家交流一下數學教學中如何實施深度學習。

（一）深度分析，打造適合學生認知水平的教學情境

深度分析是深度教學的前提，深度分析是指教師基于一定的教學理論，在以學生的學習為中心的要求之下，對學生的學習環境、學習任務以及學生自身學習特點進行分析的過程。深度分析與以往數學教學中教師的教學思路對應，強調數學學習情境對學生構建數學知識的作用，研究者認為，只有學生在具體的情境中完成數學知識的建構時，才會認識到數學學科知識的價值，而這是數學學科核心素養形成的前提。

在“直線與圓的位置關系”教學中，學生已經學習了直線與圓有三種位置關系，劃分的標準是直線與圓的公共點的個數，從圖形上有一個感性的認識。但不會通過計算或數形結合思想對位置關系進行判定，因為初中學生沒有學習圓的方程，沒有學習解析幾何的研究思路，即用代數方法研究圖形的幾何性質，特別是數形結合的思想還不具備。鑒于此學情，需要在分析的基礎上設計出有效的情境，才能促進學生真正完成對坐標法和數形結合思想的理解。該教學情境的設計思路如下：在判定直線與圓的位置關系和求弦長問題中讓學生在具體的情境中體會聯立方程組求解、設而不求、數形結合等方法；在求與圓的位置關系相關的直線問題中（如：相切、相交等），讓學生在具體的情境中體會適當地利用圖形的幾何性質，有助于簡化計算；在直線與圓的位置關系的應用中，讓學生在具體的情境中體會直線與圓的位置關系知識在解決實際問題中的作用，增強學生用數學的意識。

（二）深度設計，促進學生對知識價值的識別理解

研究指出深度設計對應著教學方法的兩個轉變：一方面是從學習的“法則”向社會符號系統的“法則”的轉變，這意味著學習設計的資源需要從認知領域的知識素材尋找與準備，轉向從社會領域內的生活、認知素材的共同尋找與準備；另一方面是教師從“以教學為中心”轉向“以學習為中心”，這樣真正體現了以生為本的教育理念。有了這兩個轉變，學生就可以在具體的情境中識別數學知識的價值。

本節內容的重點如下：1.如何培養學生用坐標法解決直線與圓的位置關系問題；2.如何培養學生用數形結合思想解決直線與圓的位置關系問題；難點是直線與圓的位置關系的應用。因此，深度設計就要圍繞這些主線展開，如，在新知引入時可以引用自然或生活中的事例，日出或日落時太陽與地平線的關系、輪船在海島附近沿直線航行時是否有觸礁危險等；新知學習中可先復習圓的一般方程和標準方程，讓學生進一步認識圓的一般方程主要可用來進行代數運算，圓的標準方程主要可用來對圖形進行定位、定量。這樣設計可讓學生認識到數學與生活是緊密聯系的、數與形是可以相互轉化的，起到了從學生思維出發延伸課堂的作用。

（三）深度實踐，使學生在實踐中找到解決問題的“最優解”

深度實踐是深度設計在課堂上的行為表現，通常情況下只要設計到位且貼近學生的思維，那課堂就會按照預設的主線前進。當然，這里也會遇到一些生成，只要注意分析，就可以發現這些生成其實都是學生原有經驗與新的知識之間的沖突形成的。

本節內容中，學生用坐標法判定直線與圓的位置關系和求弦長時，會遇到消元時是消去x還是消去y的問題，消去的變量不同，得到的弦長公式是不一樣的，要讓學生去體驗與實踐，自主生成出結論；在對坐標法和數形結合法的優劣進行比較時也應讓學生根據計算過程自行做出判斷；在直線與圓的位置關系的應用問題中，建立平面直角坐標系的方式不一樣，計算量有很大區別，教學中應對學生中不同的建系方式進行比較，讓學生在實踐中掌握科學建系的方法。這些深度實踐的過程看似浪費時間，實則培養了學生的邏輯思維能力、運算求解能力、數學建模等能力，也為學生后面學習圓錐曲線知識打下堅實的基礎。

（四）深度評價，讓學生體會成功的喜悅

深度評價主要指深度學習中對學生數學學習全過程的評價，因此，評價方案要關注學生在整個深度學習過程中的表現及其變化。學生對問題的認識和理解、應用，都是有一定過程的，評價要持續關注學生參與活動過程中思維的變化、理解知識深度的變化、分析和解決問題能力的變化。部分教師要求學生“堂堂清”，意為每節課要把所學內容全部掌握，然而這樣的要求是不符合學生認知規律的，也更多指向了知識記憶和技能訓練。深度學習所關注的整體性恰恰為持續性評價提供了支持，不是急于作出最終結果的評價，而是重過程、重變化，評價呈現出階段性、層次性、發展性。

“直線與圓的位置關系”這一節中，首先是感性的認識，學生只知道直線和圓有三種位置關系，并不知道如何判定這三種位置關系；其次是坐標運算，用通過代數運算來判定直線與圓的位置關系、求弦長、求直線方程（求出交點坐標、Δ法、弦長公式等）；接著是數形結合（結合圖形的幾何性質用代數運算來判定）；再次是對合理建系的認識等，這一系列知識，教師不能憑幾節課節、幾道題目的對錯就對學生做出結果評價，而是要通過學生的學習過程或解題思路了解學生掌握到什么程度，進一步還可以達到什么程度。

實踐表明，通過深度評價，可以化解學生在數學學習中產生的畏難情緒，讓學生發現數學課程的價值與意義。而基于學生學習的評價，可突出學生在深度學習中的主體地位，使學生在深度實踐中提高素養，而這也正是學科核心素養的重要內涵。

參考文獻：

[1]沈亮. 高中數學深度學習四個維度的例析[J]. 數學教學通訊，2019（6）：2.