在數學教學中正確把脈“錯誤”資源

☉錢 堯

數學是理性的，數學是建立在邏輯思維基礎上的抽象學科。很多小學生在學習數學時，會出現錯誤。錯誤是客觀的、無法避免的。但對于錯誤的態度，教師更要認真對待。學生在解題中出現了錯誤，反映出學生對數學問題的理解存在偏頗，教師要將這些“錯誤”看作寶貴的資源，正確、合理、有效地利用這些“錯誤”，讓學生知“錯”能改。［1］教學中，筆者著力激發學生對“錯誤”的反思意識，點燃學生數學思維的火花。

一、挖掘錯題資源，正確對待解題“錯誤”

在平時學生解答數學題時，因粗心、對知識點理解偏差、思維定勢等諸多原因，一些“錯誤”會反復出現。面對這些“錯誤”，教師應該怎么做？

（一）正確對待“錯誤”，促進師生教學相長

面對“錯誤”，很多教師感到著急。對于學生不認真等出現的錯誤，一些教師可能會斥責學生；對于學生不理解、不懂的問題而出現錯誤，一些教師可能會不管不問。事實上，由于學生年齡小，在解題時出現“錯誤”，是難免的。教師不應該為此而斥責或懲罰學生，而是要認真反思，為什么學生會出現解題“錯誤”？為什么學生一再犯“錯”？如何才能讓學生減少解題“錯誤”？在新的教育觀下，學生的錯題現象，反映了學生對數學知識的掌握情況，更重要的是這些“錯誤”是寶貴的“資源”，教師要深入探究學生出錯的原因，給予學生理解和寬容，針對學生的不同錯誤，改進教法，促進師生教學相長。教師只有正確面對學生的“錯誤”，反思并糾正學生的不良解題習慣，學生才能獲得二次學習、成長的機會，數學課堂自然充滿活力。

（二）選擇科學方法，增進學生數學信心

在數學教學中，一些教師認為，學生出現錯誤會對成績帶來不良的影響，于是，在整理數學知識點、探索不同數學解法時，會仔細推敲，確保無誤后再給學生授課。這種嚴于律己的教法固然不錯，但對于學生的一些解題“錯誤”，教師會感到手足無措，不敢正視學生的錯誤。事實上，教師在平時，要多留心學生錯誤的問題，多深入探究出現錯誤的原因。科學選擇教學指導方法，讓學生能夠從中分析原因，主動改正。

例如，在教學《兩位數與兩位數退位減》時，結合課例講解后，我們可以設計如下減法題：“51 － 13 ＝（ ）”，讓學生自己去解，并對解題結果進行交流、探討。有學生在講解自己的解題思路時，受到一些學生的嘲笑。原因是，該學生用減數個位上的“3”，去減被減數個位上的“1”，得到“2”。這時，教師如果直接糾正該學生的解法，或許課堂效率會提高，但卻有可能阻礙學生求異思維的發展。教師在面對該學生的解法時，給予鼓勵，并讓該生將解題思路完整表達出來。于是，學生講解了自己的思路。在面對被減數上的數字不夠減數減時，該生認為，用“1－3”不夠減，可以用“3－1”來減，說明被減數個位上缺“2”。為此，向被減數借“2”，被減數變為“49”，這時，再用“49－11”得到“38”。這一完整的解題思路，也是很有創意，且易于理解。教師應該給予贊賞，鼓勵學生主動思考、樂于創新的精神。

（三）妙用“錯誤”引探，促進學生建構知識

“學源于思，思源于疑”。在數學教學中，對于“錯誤”要多反思，多引導學生參與錯誤原因的探究，幫助學生獲得真切的數學學習體驗，最終完成數學知識的自主建構。例如，在學習《小數除法》時，我們給出一道題“248÷16”，有學生在面對該題時，所得結果為“155”，顯然，該題是解錯了。教師并未直接指明這一解法是錯誤的，而是以“商×除數＝被除數”這一驗證法則，讓學生對自己的計算結果進行驗算。學生在驗算后發現，155×16 的結果不等于248。教師這時引導學生進行思考，為什么驗算時會出錯？通過對比分析，在248÷16 時，被除數直接添“0”，會改變被除數的大小，只有在“248”和“0”之間增加小數點，被除數的大小才能不改變。原來，該學生的錯誤是忘記增加“小數點”，導致計算錯誤。利用學生的“錯誤”，讓學生深刻體會到增加小數點的重要性，也讓學生能夠從中領悟到數學知識的嚴謹性。

二、正確對待學生的“錯誤”，探析數學錯因

在學習數學時，出現錯誤是常有的。如粗心、不認真、沒有正確理解題意等等，導致解題錯誤。面對學生的錯誤，一些教師會責罵學生，而不能正視學生的“錯誤”，學生會感到數學難學，甚至產生消極的心態。

（一）對概念理解偏差，積極反思教學不足

數學課堂上，概念是基本內容。數學中的概念，多反映數量關系、空間形式的本質屬性。小學生還處于形象化思維階段，面對抽象的數學概念，易混淆，搞不清其數學內涵，導致出錯。舉例來講，對于“百分數”的教學，通過解釋和說明“百分數”概念，一些學生卻將“百分數”看作兩個具體的數量。在解題中，漫畫書比科學書多25%，一些學生認為漫畫書的數量，比科技書的數量多25 本。25%是個百分數，其本質是一個數是另一個數的百分之幾，是兩個數量之間的關系，不能將之等同于兩個具體的數量。由此，在講解“百分數”時，可以通過實例對比的方式，讓學生辨析其概念，避免理解偏差。

（二）受原有經驗影響，導致思維定勢

在數學學習中，數學知識之間具有一定的邏輯關系。一些學生在面對數學問題時，習慣于利用自我的認知經驗來思考問題，導致思維定勢，反而干擾正常的數學思維。舉例來講，860÷40，觀察該題，屬于“除數是兩位數的除法”，在解析該題時，需要學生關注商的變化規律。有學生將之解為860÷40 ＝21……2。顯然，學生在理解該題的余數時出現了錯誤。請學生思考：“860÷40”這個算式中，被除數、除數都是整十數，這時我們在求解時會怎樣？學生想到都去掉一個零再計算。很好，但請同學們思考，運用“商不變性質”，當被除數、除數都縮小10 倍，其商不變。對該題在求余數時，與86÷4 ＝21……2 相同嗎？我們可以通過驗算來判斷結果是否正確。通過計算，除數乘以商，再加上余數，是否等于860？顯然是不等的。問題錯在哪里？原來，余數為“2”是錯誤的，應該是“20”。

（三）缺乏數學認知力，導致數學解析錯誤

解數學題，需要具備一定的數學知識、方法和能力。一些學生數學認知力薄弱，缺乏數學分析、數學想象能力，對問題的解決缺乏正確思路。舉例來講，某題中，有120cm 的鐵絲，想做長方體框架，長、寬、高的比為3∶2∶1，問該長方體的長、寬、高是多少厘米？題意條件有總長度120cm，長、寬、高的比為3∶2∶1。該題考查的是對“比的意義和性質”的認識。很多學生在解題時，解法如下：對于長，表示為120×3／（3＋2 ＋1）＝60 厘米，同理，得到寬為40 厘米、高為20 厘米。分析學生的解題思路，學生認為，既然是長、寬、高的比為3∶2∶1，則可以將棱長總和看作“3 ＋2 ＋1 ＝6”份，計算出每一份的長度為20 厘米，則可以得到長、寬、高。學生的思路看來很清晰，但如果將之進行計算棱長總和，得到的結果為（60 ＋40 ＋20）×4＝480（厘米），看來與題意中的120 厘米是不符的。問題出在哪里？通過剖析和梳理，對于長方體的長、寬、高，各個棱長總和是4 倍的“長＋寬＋高”，還需要再除以4，才能計算正確。學生對立體圖形缺乏空間想象力，導致解析錯誤。

三、把握學生數學“錯誤”，關注數學思維的發展

針對學生數學中的錯誤，對錯因進行分析，教師要全面地把握學生的“錯誤”，學會容錯、用錯、誘錯，立足數學思維的培養，發展學生數學思辨力。［2］

（一）學會容錯，激活學生對數學的好奇心

對待學生的錯誤，教師要學會包容。小學生心智不成熟，面對數學題目，無論是哪種錯誤，教師都要理性對待，要包容學生的錯誤。舉例來講，認識“圓柱體”，對于圓柱體，我們先準備兩張相同的長方形紙板，讓學生思考，能否將之折成圓柱體，有幾種折法？接著，鼓勵學生以分組方式開展“圓柱體”制作活動。學生在動手中，嘗試不同的折法。對折好的圓柱體，我們再延伸問題：請同學們思考，這兩個圓柱形容器，如果來裝沙子，它們所裝沙子的容量是否相等？很多學生認為，這兩個不同的圓柱體所裝沙子的量是相同的。理由是，這兩個圓柱，都是由完全相等的長方形紙板做出的。對于學生的推論，教師并不直接下結論，而是鼓勵學生自己動手操作，來驗證自己的猜測。事實上，學生在驗證結果時，卻得到不同的答案。為什么？帶著學生的疑問，我們展開話題討論，抓住了學生數學學習注意力。同樣，在學習“平行四邊形的面積”時，對于“底與高相乘”與“底與鄰邊相乘”兩種不同的計算方法，請同學思考，為什么有兩種不同的計算方法，哪種方法是錯的？請找出原因。通過探究發現，在“底與鄰邊相乘”條件下，平行四邊形必須是長方形時才能成立；否則，“底與鄰邊相乘”，不能作為平行四邊形的面積，必須是“底與高相乘”。從學生的常見錯誤中，讓數學思維自然發生。

（二）學會用錯，引領學生開啟數學智慧

對于錯誤，心理學家貝恩布里奇提出：“錯誤人人皆有，教師要善于把握學生思維過程中出現的錯誤，巧妙地利用這些錯誤，促進學生糾正錯誤，邁入知識的殿堂。”也就是說，對于學生的錯誤，教師要巧加利用，開啟學生的數學心智。在數學解決問題中，對于行程問題的討論，一些學生會理解為1÷（1／x ＋1／y）。從A 地到B 地，大客車走完行程需要1／2 小時，小汽車需要1／3 小時。如果兩車同時從A、B 兩地相對開出，問什么時候相遇？對于該題的求解思路，一些學生的解法為：1÷（1／2 ＋1／3）＝6／5。這一結果顯然是不當的。為什么兩車相對而行，時間比單獨走完全程還要多？由此，通過剖析學生的錯誤解法，找準錯因，讓學生正確理解行程問題，掌握解題的方法。

（三）嘗試誘錯，讓學生從錯誤中洞開心智

很多時候，教師擔心學生出現錯誤。很多學生在解題時，也擔心自己出錯。面對錯誤，師生不能淺層地認為“錯誤是不對的”，而是要將錯誤看作發展學生數學思維、提升學生數學解題力的資源。從學生的錯誤表現中，粗心、不認真、空間想象力不夠等原因都不是關鍵，關鍵是教師要讓學生能夠認識到自己的“錯誤”，能夠從“錯誤”中學會改正。

在教學分數乘法時，學生已經掌握一些簡便的計算方法。如，（1／3 ＋3／8）×24，可以對題目進行變形。對于算式（8／7 ＋3／5）×7×5，有學生會這樣解題，將8／7×7 ＋3／5×5，顯然，這一解法是錯誤的，錯在因數與括號內的數，分別相乘。重新剖析乘法分配律，讓學生認識“7×5”，可以看作是一個“數”，再進行乘法分配律計算。同樣，對于“能被3整除數的特征”探討時，當個位是“0、2、4、6、8”的數時，能被2 整除；當個位是“0、5”的數時，能被5 整除；對于個位是哪些數時，能被3 整除？很多學生張口就來“3、6、9”的數，能被3 整除。我們列出“23”“16”“29”等數，請學生驗證自己的推測。顯然，這幾個的個位符合“3、6、9”要求，但卻不能被3 整除。再觀察能夠被3 整除的數，例如“30、42、36、45”等，通過討論發現，各個數位上的和能夠被3整除，那么這個數也能被3整除。

總之，在小學數學學習中，出錯是正常的。面對錯誤，教師和學生都要正確對待。教師要立足學情，反思學生的錯誤，找準錯因，有的放矢，才能讓學生從“錯誤”中獲得數學綜合能力的提升。教學中，教師要正確對待學生的錯誤，反思學生錯誤的原因，將錯誤看作資源，改進教法，促進教學相長。