構建微專題，讓復習更高效

祁勝林

摘要：在“雙減”政策的背景下，教師只有實施精準化教學，才能實現減負高效提質的目標.而精準化教學的組織方式多種多樣，其中微專題教學是值得推崇的一種教學方法.尤其是在學期末的總復習階段，實施微專題復習模式，會使復習更有針對性、更易于操作，效率也會更高.

關鍵詞：微主題；中點；輔助線；復習

1背景分析

進入八年級，學生的學習進入了關鍵時期.尤其是數學學科，與七年級階段的基礎性內容偏多相比，八年級是整個初中階段學習難度提升較大的一年.具體體現在要求學生掌握的知識點增多，尤其是幾何部分中性質定理的抽象性、幾何圖形的復雜多變性，對學生分析和解決問題的能力、抽象概括能力、邏輯推理能力、證明和表達的能力提出了更高的要求.因此，八年級是初中生學習的分水嶺，一些能力較好的學生能迎難而上、攻克難關，而許多學生由于基礎較薄弱，容易出現畏難情緒，數學成績走下坡路.人教版八年級上冊涉及的幾何部分有《三角形》《全等三角形》《軸對稱》，在期末復習階段，這些內容涉及的概念、性質、定理以及應用是復習的重難點，當這些知識點糅合在一起對學生進行考查時，條件相對隱蔽和復雜，綜合性強，靈活性大，往往需要教師撥開迷霧，指點迷津，輔之以總結方法，提煉思想.例如輔助線的作法和構造技巧，是這學期學生需要掌握的重難點，需要教師騰出較多的時間，給學生作專題復習.然而專題復習要求教師全面系統地歸納總結知識點和各類題型，提煉數學思想和方法，需花費大量時間準備，教學實施起來也需要大量時間和精力.為了在有限的時間里實現精準化教學，提高課堂教學的效率，不妨把這種專題細化成一個個微小專題，即現在提倡的微專題教學.

2構建微主題，實施高效復習策略

與傳統的大專題復習相比，微專題復習的教學容量少，往往只是針對某一個知識點展開的，其講授形式上可以多樣化，時間上也不受限制，針對性強，易于操作，是一種精準化教學模式.從人教版八年級數學上冊的幾何部分的內容來看，有關輔助線的作法和構造技巧在內容上可以細分為中點的處理技巧、線段和差的處理技巧、角平分線問題的處理技巧、半角與倍角的處理技巧、一線三垂直模型的作法、利用等腰三角形“三線合一”的性質作輔助線的方法、構造全等三角形和等腰三角形的技巧.下面就以中點的處理技巧——與中點有關的輔助線作法為一個微專題，具體談談如何實施微專題教學.

2.1復習作法，確立微專題

在期末總復習階段，教師首先需要幫助學生整合各章節(jié)的知識點，將平時學到的零散的、零碎的知識，尤其是一些有某種關聯性的知識點，通過縱橫比較、歸納與總結，有機地整合在一起，建立知識網絡，形成結構體系.復習的過程，也是學生對之前學習的知識的重新認識和進一步深化和鞏固，還可以幫助學生查漏補缺.

在教學實施中，教師可以通過提出問題：在這學期我們學習了哪些中點類問題呢？我們又是怎么處理這些問題的呢？幫助學生簡單地回顧一些有關的知識點.從《三角形》章節(jié)中中線的概念和性質，到《全等三角形》章節(jié)中的遇到中線，如何作輔助線構造全等三角形，再到《軸對稱》章節(jié)中的線段垂直平分線、等腰三角形、等邊三角形，每一章里都涉及了中點、中線，整個學習過程從簡單的三角形過渡到特殊三角形，在逐漸深入的探索和應用中，中線的性質也逐漸豐滿起來.中線這一知識點無疑可以形成一個大板塊的專題，而與中點有關的輔助線的作法是其中的一個細微又重要的專題，它是一種構圖法，是基于中線的性質，再綜合一些輔助線，構建基本圖形的方法.大體上講，可以歸納為四種方法.

如圖1-3，已知△ABC，D為BC的中點.

方法1：倍長中線法，如圖1，延長中線AD，使DE=AD，連接CE，可得△ABD≌△ECD（SAS）.

方法2：作平行線法，如圖2，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于E，可得△ABD≌△ECD（AAS）.

方法3：作垂直法，如圖3，過點B作BF⊥AD交AD于F，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于E，可得△BDF≌△CDE（AAS）.

這三種方法都能將題目條件轉化到同一對三角形中來處理問題，可用于構造全等三角形、平行線、相等線段.

方法4：等腰三角形的“三線合一”法，如圖4，已知等腰三角形ABC，且AB＝AC.取底邊BC的中點D，連接AD，則AD⊥BC，且AD平分∠BAC.

事實上，在△ABC中，① AB＝AC；② AD平分∠BAC；③ BD＝CD；④ AD⊥BC.對于以上四條語句，任意選擇兩個作為條件，都能推出另外兩個結論，即“知二得二”.

2.2典例應用，鞏固微專題

教師在選擇例題時，可以先選擇一些經典的、基礎的、示范性的例題，若能將與中點有關的輔助線的多種作法用于解決同一題，實現一題多解，則可以幫助學生深入理解所學的知識.

例1如圖5，在△ABC中，AD為中線，E為AB上一點，AD與CE交于F，且AE=EF，求證：AB=CF.

證法一：延長FD至G，使FD=DG，連接BG，如圖6，

顯然△BDG≌△CDF（SAS），∴∠G=∠CFD，CF=BG.

∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE.

∵∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠G，

∴AB=BG，∴AB=CF.

證法二：如圖7，延長AD至P，使AD=DP，連接CP.

顯然△BDA≌△CDP，所以AB=CP，∠BAD=∠P，根據AE=EF，有∠EAF=∠AFE.又根據對頂角相等，故∠P=∠CFP.所以CP=CF，所以AB=CF.

證法三：過點B作BH∥CF，交AD的延長線于H，如圖8，

顯然△BDH≌△CDF（AAS），∴CF=BH.∠H=∠CFD.

∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE.∵∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠H，∴AB=BH，∴AB=CF.

證法四：如圖9，過點C作CQ∥AB交AD的延長線于Q.顯然△BDA≌△CDQ，所以可得∠BAD=∠Q，AB=QC，根據AE=EF，有∠EAF=∠AFE.又根據對頂角相等，故∠Q=∠CFQ.所以CQ=CF，所以AB=CF.

證法五：如圖10，過點B作BM⊥AD于M，過點C作CN⊥AD，交AD的延長線于N.

顯然△BDM≌△CDN（AAS），∴BM=CN.

∵AE=EF，∴∠BAM=∠AFE.又∵∠AFE=∠CFN，

∴∠BAM=∠CFN.再證△BAM≌△CFN（AAS）.

∴AB=CF.

這是一道典型的與中點有關的題目，證法一和證法二都運用了倍長中線法.由于存在中點，則必有一組邊相等和中點處的對頂角相等，將中線或部分中線延長一倍，通過證明全等，從而實現相等線段和相等角轉化的目的.證法三和證法四運用了作平行線法，由于有中點存在，則有一組邊相等和中點處的對頂角相等，通過作平行，可得另一對角相等，根據“ASA”或“AAS”證明全等，為解決問題打開思路并提供必備條件.證法五則是運用了作垂直法.同樣由于中點的存在，有一組邊相等和中點位置的一對對頂角相等，通過作垂直，也可構造全等三角形繼而解決問題.

將與中點有關的輔助線的三種作法靈活巧妙地運用于同一道題的解決中，體現了題目不在多而在精的原則，有利于學生比較這三種方法的區(qū)別和聯系，進一步鞏固所學的知識，在一題多解中打開思路，提高學習熱情，體會數學解題的妙處.

2.3變式探究，深化微專題

變式探究題涉及的知識點多，綜合性強，難度頗大，需要對已知條件的多方位挖掘，對幾何圖形的直觀把握，對作輔助線的方法和技巧的熟練運用，這要求學生有較高的分析和綜合運用所學知識解決問題的能力.

例2如圖11，△ABC為等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°，M，N為直線BC上兩點，BN=CM.連接AM，過C作CD⊥AM交直線AB于D，連接DN.

（1） 如圖12，當M，N重合時，求證：∠AMC=∠DNB.

（2） 當M，N不重合時，（1）中結論還成立嗎？試說明理由.

（3） 如圖14，當M，N分別在BC，CB的延長線上時，作圖并直接寫出∠AMC與 ∠DNB之間的數量關系.

解析：（1） 作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖10，根據等腰直角三角形的“三線合一”的性質得到∠ACF=∠BCF=45°.因為CD⊥AM，所以∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，根據余角的性質得到∠1=∠2，推出△AGC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，證得△CGM≌△BDN（SAS），所以∠AMC=∠DNB.

（2） 結論還成立.作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖15，同理（1），可以推出△AGC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，再證得△CGM≌△BDN（SAS），根據全等三角形的性質即可得到結論.

（3） 如圖16，過點C作CF⊥AB交AM的延長線于G，由CH⊥AM，得到∠GHC=∠GFB=90°，由于∠GCH=∠FCD，得到∠G=∠CDB，根據鄰補角的性質得到∠ACG=∠CBD=135°，推出△ACG≌△CBD（AAS），得到BD=CG.證得∠MCG=∠NBD=45°，又由已知的BN=CM，推出△CGM≌△NBD（SAS）.于是得到∠GMC=∠N，由于∠AMC+∠GMC=180°，等量代換得到∠AMC+∠DNB=180°.

例3已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接BE，CD，O是BE的中點，連接AO.

（1） 特例探究：如圖17，當點D，E分別在AB，AC上時，線段AO與CD的數量關系是________，位置關系是________.

（2） 深入探究：如圖18，當點D，E不在AB，AC上時，試判斷（1）中的兩個結論是否成立，若成立，請證明你的結論;若不成立，請說明理由（僅就圖② 的情形）.

解析：（1） 由已知條件，先證明△DAC≌△EAB（SAS），所以CD=BE，∠ACD=∠ABE.再過點B作BF∥AE交AD的延長線于F，如圖19，可得到△AOE≌△FOB（AAS），所以AE=FB，∠OAC=∠F，繼而證得△ABE≌△BAF（SAS），所以AF=BE，所以AO=1/2AF=12BE=1/2CD，即AO=OE=OB，所以∠OAE=∠OEA=∠ADC.又∠DAO+∠OAE=90°，所以∠DAO+∠ADC=90°，所以AO⊥CD.

（2） 如圖20，延長AO到G，使OG=AO，連接BG，EG.顯然可以得到△AOE≌△GOB（SAS），所以AO=GO，AE=GB，∠OAE=∠BGO，所以AE∥BG，所以∠ABG+∠BAE=180°.又∠DAE+∠BAC=180°，即∠DAC+∠BAE=180°，所以∠ABG=∠DAC.故可以得到△ABG≌△CAD（SAS），所以AG=DC，所以AO=1/2CD.因為∠BAG+∠CAG=90°，所以∠ACD+∠CAG=90°，所以AO⊥CD.

例2是對等腰三角形“三線合一”法的綜合應用，例3是以等腰直角三角形為背景的對中點輔助線的作法——作平行線法和倍長中線法的應用.兩道題都是先從特殊情況著手，再過渡到一般情形的探究，雖然已知條件和圖形變得更加復雜、抽象，但是特殊情形的解答過程往往隱含著一般情形的解決方法，所以只要厘清題目的條件，抓住問題的本質，找尋解決問題的突破口，確定基本的解題思路，解決問題也是水到渠成的.

像這種變式探究的綜合題，作對輔助線是解決問題的突破口，一般來說需要借助輔助線巧妙地構造出全等三角形.有時會出現多根輔助線，和多次證明全等三角形的情況，這需要解題者步步為營，可以從待求的結論出發(fā)，采用逆向思維來推理，為含有結論的兩個全等三角形找對應相等的邊角關系.總之，基本的思路可以概括為從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.

3關于微主題復習的教學思考

以提升能力為目標的微專題復習是對重難點知識和重點題型的集中突破，是專題復習的進一步深化，是實現從學生已經掌握的知識或思想方法向實際解題能力轉化的重要手段.

微主題的內容需要教師基于教情、學情、考情有針對性地選取材料，可以是教學的重點、難點，學生的易錯點、易混點、疑問點，考試的高頻知識點、易錯點.這個“點”是建立在學生已具備初步的知識和能力的基礎上的，它的切口要小，以便于在課堂有限的時間內進行具體地實施.

習題的講解是實施微專題的關鍵環(huán)節(jié)，要以學生最近的能力生長點為落腳點，解法的依據是教材中要求掌握的知識點和基本數學思想方法，是學生必須具備的解題方法和技巧，切忌搞偏題怪題以及古怪的解法，否則就失去了微專題的構建意義.如果說知識點是微專題復習的圓心，那么習題是微專題復習的圓環(huán).題目的講解過程要呈現一個“圓形”的路徑，從最基本的知識點出發(fā)，經過對題目的一系列分析和求解之后，再回過頭來指導學生反思這些基本的知識點是如何應用于解題的.

微專題復習中引導學生進行思考，進行深度學習，把知識目標轉化為能力目標，讓學生有積極的情感體驗，是教師的重要任務.教師除了需要在教學內容的呈現上要多加琢磨外，教學方式方法和教學評價上也要仔細研究.復習最忌一味地灌輸式的講解，其過程是可以豐富多彩的，如多媒體的介入，小組之間的合作與交流，講練結合都可以讓復習過程更有趣.

總之，微專題復習是一個系統的過程，從教學目標到內容設計，再到具體實施過程，都是需要教師精心準備和預設的.也只有這種有針對性、靈活性的微專題復習，才能提高復習的效率，提升學生的能力，培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng).參考文獻：

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