小初數學銜接教學：從何與如何

吳立寶 劉穎超

【主持人語】 中小學各學段課程內容及其實施的上下貫通和有機銜接，有助于形成符合教育規律和人才培養規律的協同育人格局。這需要全科推進、全程推進、全員推進。近年來，江蘇省蘇州市姑蘇區小學數學團隊聚焦數學學科的小初銜接，以“教學內容不越界，課業負擔不加重”為基本原則開展了專項研究，為初中數學學習做準備。本期《關注》呈現相關實踐研究成果，并邀請高校專家做更具理論深度和視野寬度的思想引領，旨在為義務教育一體化的高質量發展提供可借鑒的經驗和有價值的思考。

——蔡宏圣

摘要：做好學段銜接是深化課程改革、落實協同育人的必然要求。小學與初中數學銜接教學應遵循數學學科知識結構上、學生學習心理和方式轉變、思維發展及素養進階的邏輯。在此基礎上，明確小初數學銜接教學的路徑：貫通數學知識內容，建立整體結構脈絡；著力提升學生的自主力，疏通學習心理和方式轉變的堵點；做好關鍵節點的教學，實現思維發展與素養進階。

關鍵詞：小初銜接；數學教學；知識結構；自主學習；核心素養

本文系天津市教育科學規劃2021年重點課題“中小學生綜合素質評價研究”（編號：BHE210014）的階段性研究成果。

2014年，《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》提出：“進一步明確各學段各自教育功能定位，理順各學段的育人目標，使其依次遞進、有序過渡……要增強整體性，強化各學段、相關學科縱向有效銜接和橫向協調配合。”［1］《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在“前言”部分提出：“遵循學生身心發展規律，加強一體化設置，促進學段銜接，提升課程科學性和系統性。”［2］并進一步明確了“小初銜接”的要求：“依據學生從小學到初中在認知、情感、社會性等方面的發展，合理安排不同學段的內容，體現學習目標的連續性和進階性。”［3］做好學段銜接是深化課程改革、落實協同育人的必然要求。本文主要談一談小初數學銜接教學“從何銜接”和“如何銜接”的問題。

一、 從何銜接：小初數學銜接教學的邏輯

開展小初數學銜接教學，需要從根源出發厘清從何銜接。一方面，立足數學學科知識特征，剖析由小學到初中知識的延伸；另一方面，以學生發展為本，分析由小學到初中數學學習心理和方式轉變以及思維發展、素養進階的邏輯，從而探尋小初數學銜接教學存在的銜接點——一致性與進階性表現。

（一） 知識結構上的邏輯

新課標對課程內容的主題進行了調整和重組，體現了知識的系統性與結構性。下面，主要分析數與代數、圖形與幾何、統計與概率領域的知識結構，說明小初數學銜接教學中知識結構上的邏輯。

1. 數與代數領域知識結構上的邏輯

在數與代數領域，初中階段“數與式”是小學階段“數與運算”的延伸。一方面，由整數、小數和分數的學習拓展到有理數、實數的學習，以此實現數系的擴充；另一方面，由數的學習到式的學習，是實數系向代數式體系的推廣，式的概念是通過字母表示數，在數及其運算的基礎上建立起來的。［4］“數與式”“數與運算”的小初一致性體現在“計數單位”上。整數的計數單位是10n-1（ｎ為正整數，后同），分數的計數單位是1n，小數的計數單位是10-n，初中階段代數式的計數單位可看作“同類項”，數與式的運算本質上都是計數單位的個數累加。因此“數與式”不僅是“數與運算”的發展，而且與“數與運算”有相通的本質內核。

初中階段“方程與不等式”“函數”是小學階段“數量關系”的延伸，即從常量相等關系的學習過渡到含有未知量的相等關系和不等關系以及變量之間數量關系的學習。對于“方程與不等式”，小初銜接點體現在，小學階段等式的基本性質、等量的等量相等的基本事實等內容是初中階段“方程與不等式”的基礎：小學階段的學業要求是在具體情境中感受等式的基本性質，而初中階段的學業要求是掌握等式的基本性質并運用其進行等式的變形、解方程，即進行結構化變形而非程序化運算。這也體現了算術思維向代數思維的過渡。對于“函數”，小學階段是在具體情境中認識、感悟數量的變化，探索規律或變化趨勢，初中階段則是抽象概括出函數的定義，以動態的變化觀理解變化過程中的變量關系，研究其幾何特征與數量特征。

此外，數與代數領域小初轉變的關鍵點是對“字母”一般性理解程度的加深：小學階段強調在具體情境中用字母表示關系和規律，初步感受其一般性；而初中階段強調能夠用字母進行形式化的操作和推理，關注結論的一般性。這也是算術思維向代數思維過渡的關鍵所在。

2. 圖形與幾何領域知識結構上的邏輯

在圖形與幾何領域，初中階段“圖形的性質”是小學階段“圖形的認識與測量”的延伸。一方面，從感知圖形的特征、組成圖形的要素特征的學習過渡到從基本事實出發，通過直觀感知、操作驗證、推理論證，研究圖形的組成要素、性質及圖形與圖形的關系的學習，抽象概括和推理論證能力要求提高，并逐步發展公理化思想，構建幾何基本體系。另一方面，在直觀度量研究圖形特征的基礎上進一步一般化，從推理的角度發現圖形組成要素及圖形之間的關系。

初中階段“圖形的變化”“圖形與坐標”是小學階段“圖形的位置與運動”的延伸。小學階段“圖形的運動”認識圖形的三種剛體變換，即平移、旋轉和軸對稱，體會變化過程中的不變量；初中階段“圖形的變化”提升要求，理解三種圖形運動，探索其基本性質，同時加入相似變換等，由歐式幾何擴展到仿射幾何，初步接觸射影幾何。在小學階段“圖形的位置”借助方格紙上點的位置與數對的關系積累的坐標學習經驗的基礎上，初中階段“圖形與坐標”引入平面直角坐標系，理解平面上的點與坐標一一對應，利用代數思維、數形結合方法研究幾何。“圖形的運動”和“圖形的變化”是從變化的角度研究圖形，“圖形的位置”和“圖形與坐標”是從解析幾何的角度研究圖形的運動變化。

圖形與幾何領域的一致性體現在其本源是“度量”：圖形的概念可以在度量中建立，圖形的大小可以度量，圖形的位置及其變化關系也是在度量基礎上研究的。［5］因此，“度量”不僅有利于銜接學段間的聯系，還可以溝通“圖形與幾何”各主題的聯系。

3. 統計與概率領域知識結構上的邏輯

對于統計內容，初中階段“抽樣與數據分析”是小學階段“數據分類”“數據的收集、整理與表達”的延伸。小學向初中轉變的關鍵點是由描述性統計轉變為更關注數據分析的推斷性統計，滲透歸納的統計思想，利用樣本的數字特征來估計總體的數字特征和變化趨勢，更加全面地感受數據的數字特征。統計解決問題包括收集數據、整理數據、描述數據和分析數據的過程。在收集數據的過程中，小學階段主要感受生活中大量存在的數據，利用調查、實驗、測量、查閱資料等方法收集數據，更多地體會數據中蘊含的信息——對于小初銜接而言，注意在小學階段就為初中大樣本數據收集的學習積累客觀經驗；初中階段則進一步感受現實數據的不確定性，要求學會用簡單隨機抽樣的方法收集數據，體會抽樣不同導致得到的數據結論不同，感受統計中或然推理的歸納思想，對數據收集方法做合理決策。關于數據的整理與描述，第一步是數據的分類，從小學階段要求對物體、圖形或數據按一定的標準進行分類轉變為初中階段對數據按照組內離差平方和最小的原則進行分類，事物的物理屬性逐漸被過濾，數據觀念進一步凸顯出來；同時，小學階段要求在數據分類的基礎上，繪制條形圖、折線圖等統計圖表來表達數據，并認識扇形統計圖，借助圖形直觀感知數據的特征，初中階段除這三類統計圖外，增加扇形統計圖和頻數分布直方圖的繪制，強化統計圖的意義表達，增強對數據理性刻畫能力的要求。關于數據分析，小學階段學習反映數據集中趨勢的平均數和表達確定數據及隨機數據的百分數，初中階段感知用平均數進行統計推斷的結論對一些情況已不能有力地幫助決策，進而過渡到更加全面地學習反映數據集中趨勢、離散程度以及分布位置的數等，并用樣本從特殊到一般地估計總體，初步滲透數理統計的思想，從對數據的局部認知發展到全局認知。

對于概率內容，初中階段“隨機事件的概率”是小學階段“隨機現象發生的可能性”的延伸。從定性描述延展到定量刻畫從而深入理解“隨機性”，是小初銜接的關鍵節點：小學階段在定性層面感知隨機現象發生的可能性，通過實例豐富感受隨機現象及其結果發生的可能性的體驗；初中階段在定量層面了解隨機現象的意義和本質，通過量化隨機現象的可能性推斷不確定性背后的規律性。

（二） 學習心理和方式轉變的邏輯

一方面，從小學到初中，數學知識的抽象性跨度較大，推理論證的規律性、邏輯性和理性程度提高，以及學習內容難度、深度和廣度的變化，會給學生帶來困難和挑戰，使學生產生畏難心理乃至自卑心理，導致學生學習積極性減弱，不習慣、不適應新的學習內容和學習環境，造成學習上的心理障礙。但是另一方面，步入初中階段，學生的自主性和獨立性增強，面對新的知識境脈，對抽象內容的興趣也會提高，渴望從更具一般性的角度認識事物，透過具體的表象去認識數學知識的本質規律；同時，對教師的依賴有一定程度的降低，更想整理和分析自己的感性經驗，由表及里地思考具體和個別事物背后的一般規律，并概括其本質特征，從而深化和豐富對一類事物的認識。因此，只要合理鋪設抽象知識形成過程的臺階，調動學生的主動性和求知欲，便會激發學生積極的學習心理變化，借助非智力因素的影響為小初數學銜接的有效教學實施打好基礎。

學習心理的變化也決定著學習方式的轉變。小學階段的學習方式主要是模仿性學習，即慣性地跟隨教師的思維進行思考。初中階段，學生獨立自主的需要迅速萌生，自我意識逐漸覺醒，他們力求成為主動的探索者、發現者和選擇者，更加獨立地觀察和思考，從而形成自己的見解。［6］尤其在綜合與實踐領域，學習方式由小學的跨學科主題式學習轉變為初中的跨學科項目式學習，提升了對自主合作和探究能力的要求，注重經歷發現問題、實踐探究、最終解決問題的動腦思考、動手操作、用心體悟的交互過程。學生自主學習能力的提升要求教師在小初數學銜接教學時，處理好“導”與“學”的關系，為學生提供自主探究和獨立思考的學習機會，激發學生的主體意識，采用研究性學習、項目式學習、問題式學習和合作學習，促進模仿性學習轉變為主動性學習及創造性學習。

（三） 思維發展的邏輯

小初數學銜接教學的另一難點是學生思維的變化和發展。從小學到初中思維變化和發展的總體特征為由具體形象思維到抽象邏輯思維：小學階段以具體表象與思維關聯形式為主導，初中階段以概念、判斷、抽象、概括、推理的形式進行思維為主導。具體表現在以下三個方面：

一是算術思維向代數思維的發展。算術思維是利用數和數量進行計算、求得結果的過程，采用的是操作性觀念；而代數思維是對結構和關系的一般化思考，表現為結構性觀念。算術思維向代數思維轉換的關鍵，一方面是對潛在代數結構的識別，轉變算術中執行程序化計算的思想，以聯系性和結構性的視角發現潛在的代數結構關系、變化規律，并以一般化的符號表征和推理論證；另一方面是對未知量的理解，算術思維中需要通過操作已知量來求解未知量，而代數思維中未知量是可以操作的對象，參與到變形和計算中，且其結果不一定是具體的數值。

二是直觀具體思維向形式演繹思維的發展。小學階段主要經歷的是經驗性抽象（直接來源于客觀對象本身及其性質）和偽經驗性抽象（來源于作用在客觀對象上的行動，如數感和量感中所形成的感覺就可以理解為這一層面的抽象）［7］，兩種抽象構建起了具體化世界。初中階段則是進一步的理性分析和對抽象進行的再抽象，使用符號來操作、推理論證、形式演繹，進入形式化世界。中間的過渡是過程概念化世界：將先前的抽象形成更確切的概念和關系。符號就是一個很好的工具，既表示一個過程，又表示一個概念，是直觀感知和形式演繹的中介和橋梁。

三是定性描述向定量分析的發展。這主要體現在統計與概率領域的學習中：小學階段傾向于感知數據的分類，利用直觀統計圖呈現數據，以及理解隨機現象有可能性的大小，形成數據直覺；初中階段則強化隨機性概念，借助多種統計量刻畫數據特征，如反映數據集中趨勢、離散趨勢和分布位置的統計量，使之更好地判斷和估計隨機大數據的特點，并定量刻畫隨機事件可能性的大小。由定性到定量的思維過渡，關鍵是對隨機性和不確定性的理解，進而理解不確定中確定的規律，把握大數據的本質特征。

（四） 素養進階的邏輯

新課標將數學核心素養正式凝練為“三會”，并提出其具有整體性、一致性和進階性的特點。小學階段和初中階段，數學核心素養具體表現的變化特點主要體現在兩個方面：

一是小學階段“感覺”和“意識”到初中階段“能力”的進階。“感覺”是“客觀事物作用于感覺器官而引起的對該事物的個別屬性的直接反映”［8］，不需要將事物在一定的相互聯系和相互區分中構成的全部復雜情況在頭腦中取得一個盡可能確切的“映像”［9］。比如，數感是對數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟，量感是對事物可測量屬性及大小關系的直觀感知，［10］它們強調的是一種認知直覺，需要具備大量具體經驗以達到相應的感覺閾限，連接起主體感覺和客體知識之間的聯系，進而在下次遇到數或量的內容時，形成一種無意識或潛意識的判斷。例如，估計課桌寬度，反映出的是40 cm，而不會錯誤反映成40 dm。小學階段的“意識”主要指包括感覺、知覺、思維等在內的一種綜合認識活動，集中于對數學活動經驗的感悟，是從感性的基礎認識活動逐步走向經驗化的理性認識活動的認知過程。［11］比如，符號意識是能夠感悟符號的數學功能，推理意識是對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，它們側重于在經驗直覺基礎上對其過程、意義和功能的感悟，具有一定的思維成分。“能力”是能夠成功完成某種活動所必需的個性心理特征，初中階段的“能力”指以概括為基礎，表現出由感性具體、經驗化理性向一般化理性以及辯證邏輯發展的動態認知過程。［12］從數感和量感的直觀感知過渡到形成數學概念、性質、法則以及方法的抽象能力，需要經歷由實物層面抽象到符號層面抽象中間的半符號層面的抽象，逐步建構起概念、性質、法則等事物的確切“映像”。由符號意識、推理意識過渡到抽象能力、推理能力，需要進行有意識加工和邏輯分析，逐步形成穩定的具有理性一般特征的思維模式，而后發展到能夠利用數學概念、性質、法則等條件推出其他命題和結論。

二是小學階段“意識”到初中階段“觀念”的進階。“觀念”指表象或客觀事物在人腦中留下的概括形象，在康德和黑格爾等人的哲學觀中，指理性領域內的概念，如黑格爾認為觀念是自在而自為的真理，即概念和客觀性的絕對統一。［13］因此，“觀念”需要在“意識”的經驗化感悟中進一步抽象概括。比如，在對數據意義和隨機性的感悟、對數學模型普適性的初步感悟基礎上，在現實世界與數學世界、客體與主體、特殊與一般的交互中，統一對事物的主客觀認識，形成對數據的意義和隨機性、運用數學模型解決實際問題的清晰認識，能夠根據情境確定合理的數據收集、整理、表達和分析的方法，對數據進行分析判斷，并定量表述隨機事件的可能性，能夠建立合適的模型表達數學中的關系和規律。

此外，還需要注意運算能力、幾何直觀、空間觀念等具體表現的一致性。這就要進行小學和初中一脈相承的貫通式培養，始終關注規范嚴謹的運算能力，運用圖表描述和分析問題的能力，根據特征對圖形形狀、大小、位置關系進行空間想象的能力。

二、 如何銜接：小初數學銜接教學的路徑

（一） 貫通數學知識內容，建立整體結構脈絡

新課標強調：“設計體現結構化特征的課程內容”，“注重教學內容的結構化”。小初數學銜接教學的關鍵就是將課程內容結構化，形成對知識體系的整體認識。布魯納曾提出結構化教學，認為需要將知識領域更廣博的結構脈絡弄清楚，用基本和一般的觀念來不斷擴大和加深認識。［14］具體地，一是熟知小學和初中數學知識發展的脈絡，形成對知識結構的貫通式理解，厘清數與代數、圖形與幾何、統計與概率等領域各主題的知識結構，以聯系的角度系統化看待各主題內容。例如，將“數與運算”“數與式”看成結構化的整體，以實現數系的擴充和實數系向代數式體系的擴充；將“數量關系”“方程與不等式”“函數”看成結構化的整體，以實現由常量到變量的進階。同樣，“圖形的認識與測量”“圖形的性質”，“圖形的位置與運動”“圖形的變化”“圖形與坐標”，“數據分類”“數據的收集、整理與表達”“抽樣與數據分析”，“隨機現象發生的可能性”“隨機事件的概率”可以看成四個結構化的整體，同時關注推理論證、歸納概括運動中的不變性及量化分析的進階發展。二是把握具有一致性的核心概念，實現知識本質理解的上通下達。這些本質內核不隨著知識和年級的變化而變化，也并非只能解決一時一事的問題，把握住它們可以起到以一通百、以一法通一類的作用，會使小初數學銜接教學開展得更加順利。例如，“計數單位”是“數與運算”與“數與式”中相通的核心概念，對計數單位的理解有利于達成對同類項及代數式運算的更好理解。具有整體性的課程，以核心概念為線索，形成若干相互關聯、連續進階的發展脈絡，有利于塑造學生的知識結構，是解決知識體系不斷增長問題的必然路徑［15］，能幫助學生理解數學知識、發展數學素養，同時，結構化的組織也有利于實現教、學、評的一體化。

（二） 著力提升學生的自主力，疏通學習心理和方式轉變的堵點

從小學到初中，教師要充分利用學生自覺性、主動性和獨立性增強等變化特征，疏通學習心理轉變的堵點，采用合理的學習方式，以實現數學學習的平穩過渡。首先，以生為本鋪設過程性臺階，幫助學生克服學習心理障礙。學生剛剛學習初中數學時，其學習心理障礙主要來源于知識抽象性的增強和數學思維方式的轉變。因此，教師需要為知識的形成搭建階梯，將復雜抽象的學習任務逐級分解成學生“最近發展區”內的學習任務，發揮學生的主體意識，激發學生想要一探究竟的心向，使其深度卷入提取問題、解決問題的學習活動中，成為知識的創造者和學習的掌控者，獲得學習內驅力，提升自我效能感，在心理上逐漸消除知識的陌生感，實現從學會到會學再到樂學。其次，重視培養學生的自主力，實現學習方式的轉變。初中數學對學習方式的要求有所變化，重視基于真實情境的問題解決式學習和項目式學習，尤其是綜合與實踐領域的學習。因為初中生的自主意識和獨立意識逐漸增強，渴望發現問題、探究問題，進行意義建構，而這正是破除小初數學銜接教學壁壘的有利資源。通過發展學生的自主力，使其經歷獨立思考、自主理解、操作探究的探尋數學知識產生、形成和發展的過程（也是發現問題和解決問題的過程），改變對教師講解習慣性依賴的情況，及早適應初中階段的學習方式；同時，也能發展學習的積極性，產生良好的學習心理，更好地適應初中階段的數學學習。

（三） 做好關鍵節點的教學，實現思維發展與素養進階

從小學到初中的過渡，學生的思維處于從具體形象上升到抽象邏輯的階段，數學核心素養處于由感覺和意識層面上升到能力和觀念層面的階段。這樣的上升并非一蹴而就，需要教師在關鍵節點處搭建階梯，幫助學生實現“質”的飛躍。其一，明確小初發展與進階的關鍵節點。例如，統計與概率領域，統計思維和數據觀念的躍遷需要建立在對隨機性和不確定性的深化理解上。現實世界的不確定性需要利用統計與概率來“確定”，統計學側重用數據來刻畫隨機現象，概率論側重建立理論模型來刻畫隨機現象。［16］小學階段主要是對大量真實數據進行直觀感知，發展統計直覺；小初銜接時，應把握好對隨機性、不確定性的理解，進一步滲透正是由于不確定性，得到的結論，或者說對結果的判斷有好與壞之分（并且可以計算出其可能性的大小），而無對與錯之別，從而發展統計思維，實現由數據意識到數據觀念的進階。同理，數與代數領域，小初銜接時，要關注字母符號的教學，幫助學生實現算術思維向結構化和一般化的代數思維的發展。其二，借助半直觀半抽象的內容實現從感性到理性的抽象過渡，如使用表格等工具研究函數，通過不斷歸納和概括，從中發現變量之間的關系，進而抽象出函數的概念和性質。其三，提前滲透思想方法。小學階段可以滲透非形式化演繹推理，如判斷某平行四邊形（大前提）是否為正方形時，需要看該圖形是否滿足“一組鄰邊相等，一個角是直角”（小前提），從而得到結論，由此滲透三段論的思想，為初中階段的形式化演繹推理奠定基礎。

參考文獻：

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［15］ 呂立杰.課程內容結構化：教育現代化的議題［J］.教育研究，2023（4）：5765.

（吳立寶，天津師范大學教育學部，教授，博士生導師。主要研究方向：教師教育與數學教育。劉穎超，首都師范大學教師教育學院，博士研究生。主要研究方向：數學教育。）