“數(shù)的認識”小初銜接教學(xué)探索

摘要：基于教學(xué)內(nèi)容分析，對“數(shù)的認識”小初教學(xué)銜接提出建議：辨析分數(shù)與小數(shù)的關(guān)系，預(yù)埋有理數(shù)、無理數(shù)的概念；突出正數(shù)與負數(shù)的對應(yīng)，鋪墊正負數(shù)的運算法則；漫話數(shù)系擴充史，構(gòu)建“數(shù)的認識”知識網(wǎng)絡(luò)；完善“數(shù)的運算”內(nèi)部邏輯，提升數(shù)學(xué)思維水平。

關(guān)鍵詞：小初銜接；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)的認識；數(shù)系擴充

一、 教學(xué)內(nèi)容分析

“數(shù)的認識”是小學(xué)數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)共同的知識板塊。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)自然數(shù)（零與正整數(shù)）、正的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)、正分數(shù)等；初步接觸負數(shù)，學(xué)會用負數(shù)表達與正數(shù)具有相反意義的量；并且學(xué)習(xí)小數(shù)和分數(shù)的轉(zhuǎn)化（不包括將無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)）。初中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)有理數(shù)、無理數(shù)和實數(shù)，強調(diào)用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，并且進一步研究它們的性質(zhì)（如相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)等）、運算和應(yīng)用。同時，“數(shù)的認識”的學(xué)習(xí)在小學(xué)階段幾乎貫穿始終，在初中階段則比較“短平快”。

考慮到學(xué)生的年齡特征，雖然整數(shù)的認識從一年級就開始了，但是真正給出整數(shù)的定義則要到后期。分數(shù)和小數(shù)的認識更是跨越了兩個學(xué)段：三年級先初步認識，五年級再系統(tǒng)認識。漫長的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在同一個數(shù)概念的版塊內(nèi)不斷強化，很容易將整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)三者分開來考慮，從而削弱了認識數(shù)概念發(fā)展脈絡(luò)的整體性考慮。

小學(xué)教材在分數(shù)的初步認識之后，安排小數(shù)的初步認識。分數(shù)的學(xué)習(xí)對小數(shù)意義的理解有著直接的影響。學(xué)生普遍能理解小數(shù)是十進分數(shù)的另一種表達形式，但也有部分學(xué)生會因此認定所有的小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成十進分數(shù)。事實上，無限小數(shù)是不能用十進分數(shù)來表示的。這在一定程度上會成為初中生認識有理數(shù)的障礙。

另外，小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)的概念時，往往依托大量的生活實例（具體情境）來理解其意義，思維方式以具體形象為主。以“負數(shù)的認識”為例，小學(xué)主要是從負數(shù)的意義和負數(shù)的表示這兩個方面來認識負數(shù)的；而初中在簡單復(fù)習(xí)小學(xué)階段關(guān)于負數(shù)的認識以后，主要研究負數(shù)參與的加、減、乘、除等運算。小學(xué)階段，學(xué)生是在大量生活實例的背景下理解和應(yīng)用負數(shù)的；而初中階段則以靜態(tài)、抽象、規(guī)定性的方式呈現(xiàn)負數(shù)概念，因此學(xué)生正確理解和應(yīng)用負數(shù)是存在困難的。

二、 銜接教學(xué)建議

從小學(xué)到初中，學(xué)生的年齡特征決定了教學(xué)內(nèi)容的選擇與教學(xué)目標的設(shè)計。不同年齡階段下設(shè)定的不同教學(xué)內(nèi)容與目標有時難免存在知識之間的漏洞與縫隙。同時，學(xué)習(xí)內(nèi)容與目標的變化，包括學(xué)習(xí)重點的轉(zhuǎn)移、學(xué)習(xí)方式的改變，都會給銜接階段學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一系列的影響。作為小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的重點，教師應(yīng)該幫助學(xué)生建構(gòu)新舊知識的聯(lián)系。基于以上內(nèi)容分析，建議“數(shù)的認識”小初銜接教學(xué)著力于“分數(shù)與小數(shù)的關(guān)系”“負數(shù)的認識”“數(shù)系的擴充”以及“運算的內(nèi)部邏輯”這幾個方面。

（一） 辨析分數(shù)與小數(shù)的關(guān)系，預(yù)埋有理數(shù)、無理數(shù)的概念

分數(shù)與小數(shù)，是小學(xué)階段“數(shù)的認識”的重要內(nèi)容。部分學(xué)生對分數(shù)與小數(shù)關(guān)系的認識存在誤區(qū)，這些錯誤的認知可能會讓學(xué)生在初中學(xué)習(xí)有理數(shù)和無理數(shù)時產(chǎn)生困難。

具體來說，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《小數(shù)的意義和性質(zhì)》單元有這樣的表述：“分母是10、100、1000……的分數(shù)都可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”這個表述沒有問題，但會有人誤讀。第一句話正著說成立，反著說就不成立了：十進分數(shù)可以用小數(shù)表示，但小數(shù)表示的不只是十進分數(shù)。第二句話其實僅指有限小數(shù)，雖然有省略號，但不能理解為所有小數(shù)。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，小數(shù)的認識是在學(xué)習(xí)了小數(shù)的除法之后逐漸完善的。有限小數(shù)與無限小數(shù)的概念是在《小數(shù)乘法和除法》單元的《你知道嗎》欄目中介紹的，這使得小數(shù)分類的受重視程度被削弱。無限不循環(huán)小數(shù)則一直要到圓周率的學(xué)習(xí)中才真正涉及，這使得學(xué)生對小數(shù)分類的認知結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)偏頗。不少學(xué)生認為：絕大部分小數(shù)是有限小數(shù)，只有一小部分特殊的小數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，其中還有極少數(shù)的無限不循環(huán)小數(shù)。顯然，這樣的認識是與事實不符的。

初中學(xué)習(xí)有理數(shù)和無理數(shù)時，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)因為能化成分數(shù)，被歸為有理數(shù)；而無限不循環(huán)小數(shù)因為不能化成分數(shù)，被歸為無理數(shù)。換句話說，如果把有理數(shù)和無理數(shù)都改寫成小數(shù)，則有理數(shù)能改寫成有限小數(shù)（包括整數(shù)）和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)只能改寫成無限不循環(huán)小數(shù)。

有理數(shù)的概念是建立在分數(shù)與小數(shù)的關(guān)系上的，而分數(shù)與小數(shù)的互化是小學(xué)學(xué)習(xí)的。分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，是建立在分數(shù)是“兩個整數(shù)相除的商”的定義上的，因此，每個分數(shù)皆能化成小數(shù)。而小數(shù)化成分數(shù)，只是根據(jù)小數(shù)的意義中“一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”這句話推理：先將小數(shù)改寫成十進分數(shù)，再化簡。小初銜接教學(xué)，不是教給學(xué)生無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的技巧——這會增加學(xué)生的學(xué)業(yè)負擔，而是在教學(xué)分數(shù)與小數(shù)的互化時引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，從而使學(xué)生日后學(xué)習(xí)有理數(shù)時思路變得更加清晰。

例如，把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡的保留三位小數(shù)）：2/3、3/5、5/2、7/8、11/9、9/16。雖然解答這道題只是練習(xí)了分數(shù)化小數(shù)的技能，但在教學(xué)中，教師不妨做個有心人，讓學(xué)生聯(lián)系小數(shù)的分類觀察結(jié)果，把化得的小數(shù)分一分類，并通過討論明晰幾個道理：（1） 所有的分數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成小數(shù)；（2） 分數(shù)轉(zhuǎn)化成的小數(shù)有的是有限小數(shù)，有的是無限小數(shù)（有條件的班級，可以繼續(xù)深入：化成有限或無限小數(shù)，與分數(shù)的分母有關(guān)，若分母只含有2或5的質(zhì)因數(shù)，則能化成有限小數(shù)；若分母含有2或5以外的質(zhì)因數(shù)，就只能化成無限小數(shù)）；（3） 分數(shù)化成的無限小數(shù)都是無限循環(huán)小數(shù)（此時學(xué)生還未學(xué)習(xí)圓，對無限不循環(huán)小數(shù)缺少具體的實例，建議不涉及）。最后留一個懸念：有限小數(shù)都能化成十進分數(shù)，那么，無限循環(huán)小數(shù)也能化成十進分數(shù)嗎？建議學(xué)生課后自主研究。

這樣的教學(xué)處理，解答一道題的收獲就遠不止一個技能得到練習(xí)了。有了這樣的基礎(chǔ)，日后遇到像圓周率這樣的小數(shù)，可以通過回憶分數(shù)只能化成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的例子倒過來推理，“無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)”這個結(jié)論就相對容易接受了。分數(shù)與小數(shù)之間的關(guān)系，從看似一一對應(yīng)到“一部分小數(shù)沒有相等的分數(shù)與之對應(yīng)”，可以得到結(jié)論：分數(shù)的個數(shù)小于小數(shù)的個數(shù)。這樣，學(xué)生對分數(shù)與小數(shù)關(guān)系的認識就比較完整了。

（二） 突出正數(shù)與負數(shù)的對應(yīng)，鋪墊正負數(shù)的運算法則

負數(shù)引入后，數(shù)的范圍擴大了，擴充到了有理數(shù)。從正、負數(shù)這一分類角度看，有理數(shù)是由符號和絕對值兩部分組成的。盡管學(xué)生在小學(xué)初步認識了負數(shù)，到初中理解負數(shù)概念時依然存在困難，尤其是當負數(shù)加入運算中時。究其原因，是沒有正確理解負號的三種意義：運算、性質(zhì)、相反數(shù)。對學(xué)生而言，幾種意義的符號同時出現(xiàn)時特別容易出錯。

七年級學(xué)生不能很好地區(qū)分“＋”“-”在算式中到底是運算符號還是性質(zhì)符號，這與學(xué)生不把負數(shù)看作一個整體也有關(guān)系。對正、負數(shù)的概念，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材和蘇科版初中數(shù)學(xué)教材都采用了描述性定義，前者為“像+20、+8844.4這樣的數(shù)都是正數(shù)（正數(shù)前面的‘+可以省略不寫），像-20、-155這樣的數(shù)都是負數(shù)”，后者與之類似。而人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材這樣定義：“為了表示兩種相反意義的量，如零上溫度和零下溫度、收入與支出等，需要用兩種數(shù)。一種是我們以前學(xué)過的數(shù)，如3、500、4.7、3/8，這些數(shù)是正數(shù)；另一種是在這些數(shù)的前面添上負號‘-的數(shù)，如-3、-500、-4.7、-3/8等，這些數(shù)是負數(shù)……正數(shù)前面的‘+可以省略不寫。如果為了與負數(shù)對比，也可以加上正號……”人教版教材的處理，更好地揭示了負數(shù)的主要內(nèi)涵：正數(shù)和負數(shù)表示兩種相反意義的量，在正數(shù)前面添上一個負號的數(shù)就是負數(shù)。

因此，教學(xué)小學(xué)階段“負數(shù)的認識”時，教師可以設(shè)置一個認知沖突：要求學(xué)生利用“一個數(shù)”簡約地描述買入與賣出、上車與下車等數(shù)據(jù)，促動學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗，聚焦符號表示，突出“創(chuàng)生”，體會可以用“＋”“-”表示相反意義。接下來，讓學(xué)生理解每個情境中“＋”“-”被賦予的實際意義，進一步體會負數(shù)的本質(zhì)：負數(shù)與正數(shù)是相對的。從而幫助學(xué)生加強對負號的理解：“-”和后面的正數(shù)連在一起，形成的是一個整體，是“一個數(shù)”，是與那個自然數(shù)（正數(shù)）量相同、意義相反的數(shù)。

利用對應(yīng)的方法認識負數(shù)，數(shù)軸這一形象、可視的手段必不可少。在數(shù)軸上比較一組正、負數(shù)與0點的距離，可以讓學(xué)生充分感悟、理解負數(shù)和相應(yīng)的正數(shù)是一一對應(yīng)的。通過對比，學(xué)生能感受到正、負數(shù)之間“數(shù)量相等”“方向相反”的關(guān)系。這也能為今后初中學(xué)習(xí)相反數(shù)和絕對值打下基礎(chǔ)。

此外，小學(xué)階段并不要求學(xué)生學(xué)習(xí)負數(shù)的運算，體會負數(shù)對有理數(shù)系減法的封閉性——這些是初中的教學(xué)任務(wù)。小學(xué)階段，學(xué)生的抽象思維水平還不足，教師不能人為拔高教學(xué)要求，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔，但是可以在認識正、負號的環(huán)節(jié)，有意識地將之與以前學(xué)過的加、減號加以區(qū)分，使學(xué)生初步體會到正、負號與加、減號是同一種符號的兩種不同意義；還可以通過在數(shù)軸上的描點運動練習(xí)，借助情境中的事理（如：某地白天某時氣溫為-3℃，晚上某時降溫5℃，變?yōu)槎嗌贁z氏度？），初步滲透正、負數(shù)加、減法的直觀運算……這些都可視作為將來學(xué)習(xí)負數(shù)的運算做鋪墊。［1］

（三） 漫話數(shù)系擴充史，初步構(gòu)建“數(shù)的認識”知識網(wǎng)絡(luò)

從自然數(shù)出發(fā)，對數(shù)和數(shù)系進行持續(xù)的擴充，是人類生產(chǎn)發(fā)展和社會進步的需要，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。根據(jù)數(shù)系的形成過程可知，數(shù)概念的形成過程是一個數(shù)概念外延多次擴張的過程。數(shù)系擴充的主要途徑是元素添加：在自然數(shù)集合中添加“負整數(shù)”就得到整數(shù)，在整數(shù)集合中添加“分數(shù)”就得到有理數(shù)，在有理數(shù)集合中添加“無限不循環(huán)小數(shù)”就得到實數(shù)……

相比于在小學(xué)用六年時間完成自然數(shù)、正小數(shù)、正分數(shù)的數(shù)概念擴充，學(xué)生進入初中后，很快就會經(jīng)歷數(shù)系的第一次擴充：在小學(xué)非負有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進負數(shù)，對數(shù)的了解擴充到有理數(shù)范圍。學(xué)生如果對數(shù)系的擴充認識不足的話，則很有可能對接下來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生障礙：只能以死記硬背的方式記住新的數(shù)概念，硬生生地將其納入自己的認知結(jié)構(gòu)。如果教師能引導(dǎo)學(xué)生從整體的角度理解數(shù)系的擴充，基于已有的經(jīng)驗貫通各類數(shù)概念，讓學(xué)生真正體會到“人類生產(chǎn)發(fā)展和社會進步需要”的意義，學(xué)生接受一個新的數(shù)概念就不會被動了。

所以，在小學(xué)階段“數(shù)的認識”總復(fù)習(xí)教學(xué)中，從數(shù)系擴充的角度梳理小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)就顯得十分必要了。教師在與學(xué)生交流完學(xué)過的數(shù)以后，不妨接著提問：數(shù)數(shù)的時候，有自然數(shù)就夠用了，為什么還需要那么多數(shù)呢？讓學(xué)生暢所欲言。例如，分數(shù)的擴充是人們在分東西時，需要對一個物體進行切割與配對，而整體中的“部分”無法用自然數(shù)表示，就需要有刻畫“部分”的方式，即分數(shù)是“刻畫整體與部分關(guān)系”的產(chǎn)物。再如，小數(shù)的產(chǎn)生是十進位值制記數(shù)法擴展完善的需要，也是分數(shù)書寫形式的優(yōu)化改進；小數(shù)的出現(xiàn)標志著十進位值制記數(shù)法從整數(shù)擴展到了分數(shù)，使分數(shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一；將十進分數(shù)改寫成不帶分數(shù)形式的數(shù)就得到小數(shù)，將分母是100的分數(shù)改寫成帶有百分號形式的數(shù)就得到百分數(shù)……

教師可以在學(xué)生解釋的基礎(chǔ)上講解數(shù)的發(fā)展史，配以之前的教材圖片，幫助學(xué)生回憶學(xué)習(xí)這些數(shù)產(chǎn)生的歷程，進而輔以樹狀圖，借助數(shù)軸，將各種數(shù)分類，初步構(gòu)建“數(shù)的認識”知識網(wǎng)絡(luò)……這樣，學(xué)生在了解歷史活動的過程中進一步完善“數(shù)的認識”知識結(jié)構(gòu)，逐漸理解：正是為了解決實踐中出現(xiàn)的問題，人們才不斷將數(shù)的領(lǐng)域加以擴充；小學(xué)只學(xué)習(xí)了其中的一部分，初中還將繼續(xù)學(xué)習(xí)，今后要學(xué)習(xí)的新數(shù)是人類生產(chǎn)生活的需要，是十分有意義的。

（四） 完善“數(shù)的運算”內(nèi)部邏輯，提升數(shù)學(xué)思維水平

數(shù)系的擴充最初源于現(xiàn)實生活的需要，后來隨著數(shù)學(xué)體系的發(fā)展，也成了數(shù)學(xué)內(nèi)部運算封閉性的必然要求。簡單地說，就是數(shù)的范圍被擴充了，數(shù)的運算更方便了。因此，“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”關(guān)系密切，數(shù)系的擴充也是為數(shù)的運算服務(wù)的。［2］

從小學(xué)到初中，數(shù)系每擴充一次（比如整數(shù)到分數(shù)、分數(shù)到小數(shù)），都會先學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)概念，再討論在新數(shù)系中如何進行運算。算術(shù)數(shù)及其運算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。然而，從數(shù)的運算的角度理解數(shù)系的擴充，在小學(xué)教材中是一條較為隱蔽的線索。從運算需要的角度重新認識小學(xué)階段的數(shù)概念，也可以作為小初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的一個方面。

教師可以抓住適當時機，引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：如果數(shù)學(xué)中只討論加法和乘法，那么以前學(xué)過的數(shù)就夠了，但是如果要討論減法呢？顯然，負數(shù)的產(chǎn)生就立即成為必要，即負數(shù)的產(chǎn)生是為了解決“不夠減”的實際問題。同樣，如果要討論除法，也非常有必要引入新的數(shù)。兩個整數(shù)相除，有時不能得到整數(shù)商；在結(jié)果唯一的前提下，為了保證除法運算通行無阻，分數(shù)便應(yīng)運而生。到了初中，用小數(shù)定義有理數(shù)和無理數(shù)：用小數(shù)來表示無理數(shù)，才能進行無理數(shù)的加法運算。由此，學(xué)生也不難理解：在數(shù)系從正整數(shù)擴充到有理數(shù)，再擴充到實數(shù)的過程中，“實踐需要”所起的推動作用顯得更小，而更多的是數(shù)學(xué)運算的需要。

這樣梳理，學(xué)生對數(shù)的認識，不僅能立足于生活實踐的角度，而且能擴展到數(shù)學(xué)背景的角度。研究視角發(fā)生了變化，思維從具體形象水平上升到了抽象邏輯水平，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也將在一定程度上得以提升。

參考文獻：

［1］ 魏光明.“負數(shù)的初步認識”的深度解讀與教學(xué)重構(gòu)［J］.江蘇教育研究， 2020（28）：61.

［2］ 李念文.數(shù)為什么會不夠？——從運算封閉性的角度談數(shù)系的擴充［J］.湖南教育（數(shù)學(xué)教師），2007（5）：28.

（汪瑩，江蘇省蘇州市姑香苑小學(xué)校。蘇州市優(yōu)秀教育工作者，蘇州市指導(dǎo)自學(xué)先進教師，姑蘇區(qū)教壇精英。）