小學數學理解教學中數學經驗的再生

摘要 數學理解是表征數學概念和數學結構的內部體系的結果。數學經驗再生，是在直接感性基礎之上經過學習者個體自我反思、加工而形成的，是個體對數學活動過程的重新認識。小學數學理解需要在工具性、關系性、創造性和文化性四個方面進行數學經驗再生，促進數學理解達成。

關 ?鍵 ?詞 數學理解 數學經驗 經驗再生

引用格式 夏常明.小學數學理解教學中數學經驗的再生[J].教學與管理，2023（26）：42-43+64.

小學數學教學需要致力于發展學生對數學的理解。數學理解是對知識本質的認識，是表征數學概念和數學結構的內部體系的結果。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱《2022年版課標》）指出，數學理解是指學生能夠描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象的區別和聯系[1]。數學理解本質上是一種綜合能力，學習過程中，學生對數學概念形成清晰的心智表征；遷移運用中，學生對數學結構建立清晰的表象認知。小學數學理解包含工具性理解、關系性理解、創造性理解和文化性理解四個方面。[2]數學經驗再生，是在直接感性基礎之上，經過學習者個體自我反思、加工而形成，帶有明顯的再抽象、再加工痕跡，是個體對數學活動過程的重新認識[3]。數學理解中的經驗再生，就是學生經歷工具性、關系性、創造性和文化性數學理解的過程。只有建立知識體系結構，重視數學經驗再生，才能發展數學理解，提升核心素養。

一、工具性理解中數學經驗的再生

工具性理解是學生依據已有經驗，概括和歸納數學概念意義，描述概念特征，促進生活經驗與學習活動有效對接，形成數學經驗再生。小學生正處于知識傳承和模仿學習階段，已有經驗是零星、模糊、生活的，甚至毫無數學意義，但這些正是開展工具性理解不可或缺的基礎。數學經驗的再生，不會憑空產生，而是具有一定的連貫性和方向性。教師要準確地將學生已有經驗與數學理解對接，以直觀形象的方式展現概念本質，讓學生親歷數學概念的形成過程，通過邏輯思維理解概念表征。工具性理解中的數學經驗再生，為數學理解的更好發展提供了保證。

如教學“10的認識”。師：哪個計數器表示出了10？生：第一個計數器，十位上的10顆珠子，表示10個十，沒有表示出10；生：第二個計數器，個位上10顆珠子，表示10個一，就是10；生：第三個計數器，十位上1顆珠子，表示1個十，個位上沒有珠子，就是0，與10一一對應起來。師：如何表示比10更大的數？生：像計數小棒一樣，十個一捆，就在十位上畫一個，個位上珠子去掉，滿十進一，也就是十進制計數法；生：十位上1顆珠子表示1個十，10顆珠子表示10個十，根據滿十進一，十位的左面需要有更大的計數單位；生：個位和十位上沒有珠子，百位上有1個珠子，表示1個百。

教師從學生已有知識經驗出發，通過在計數器上畫珠子感受10的實際意義，引發學習心理需求。學生通過實物表征理解計數單位，嘗試擴展數的概念，經歷從具象到抽象的數的認識過程，再生數的本質概念的數學經驗。此外，豐富學生數感的同時，再生由位值制構成數的體系的數學經驗。學生對數的認識的工具性理解過程，本質上是數學經驗的表征過程。

二、關系性理解中數學經驗的再生

關系性理解是學生能夠對數學定義與公式進行分析驗證，將數學知識與已有經驗進行邏輯聯結，關聯高級結構形式，建構完整知識體系。數學知識具有系統性和關聯性，同“質”的數學知識，不同學段安排了層次不同的“量”[4]。隨著學段變化，學生逐步了解相關數學定義、公式及其推導過程，螺旋上升，掌握數量關系與圖形變化之間相互關聯，從而形成完整結構體系。教師要引導學生處理好“質”與“量”關系，立足大概念單元教學視角，把孤立“量”的知識點置于整體“質”的數學體系中，從不同角度、不同層次建立邏輯聯結。數學知識不斷邏輯聯結的過程，也是數學經驗拓展再生的過程，將進一步促進學生的數學理解。

如教學“小數四則運算”。師：在小數乘法中，乘積的小數點是如何確定的？小數除法呢？生：7.8×5=（0.1×78）×（1×5）=（0.1×1）×（78×5），（0.1×1）得到新的計數單位0.1，（78×5）是計數單位0.1的個數；生：7.8×0.5=（0.1×78）×（0.1×5）=（0.1×0.1）×（78×5），（0.1×0.1）得到新的計數單位0.01，（78×5）是計數單位0.01的個數；生：小數乘法中，計數單位乘以計數單位，獲得新計數單位；個數乘以個數，獲得新的計數單位的個數；生：小數除法中，計數單位和計數單位相除，得到新的計數單位，個數和個數相除，得到新的計數單位個數；生：小數加減法和小數乘除法運算形式不同，算理相同。

《2022年版課標》指出：數的運算教學要注重對整數、小數和分數四則運算的統籌，從整體上理解和掌握運算的算理和算法，認識計算方法的共性與差異。小數四則運算具有“質”的關聯性：相同計數單位個數的運算、加減乘除之間存在關聯。學生建立“數與運算”一致性感悟是“量”的漸進過程，并再生算法與算理統整融合的數學經驗。在“數與運算”的“質”與“量”的螺旋上升中，學生達到小數與整數四則運算關聯結構水平，形成關系性數學理解目標。

三、創造性理解中數學經驗的再生

創造性理解是學生能夠將數學經驗運用于不同情境下的數學問題，提出新假設，進行新驗證，學會舉一反三，解決復雜問題。創造性理解能夠引起數學經驗的變化和更新，改進和產生新的數學問題，有利于學生創造性思維的發展。創造性理解具有創新特征，僅憑單純記憶和機械模仿很難實現，需要將表面混亂無序的數學知識與已有經驗創新關聯，揭示彼此之間本質特征，實現對數學知識的創新理解。在創造性理解中學生能夠主動發現數學問題，提出系列假設驗證，歸納總結內在關聯，建立科學數學模型，再生解決數學問題的經驗，感悟到創造性理解的內在價值。

如教學“真分數和假分數”。生：真分數和假分數是表示相對意義的量，假分數是針對真分數來說的，表示分數有兩種不同意義；生：分子等于分母的分數，結果等于1，應該屬于真分數，不屬于假分數；師：假分數假在哪里呢？生：真分數是根本，假分數是帶著整數的真分數，如果去掉整數部分，剩下的就是真分數；生：小數中，純小數和真分數一一對應。0.9999999……是純小數，但0.9999999……結果等于1，說明分子等于分母的分數應該屬于真分數；生：自然數中，0是特殊的自然數，那么， 應該是真分數，相對應的 ?也應該是真分數，因為 ?和 ?是一種特殊的真分數。

如果只是讓學生機械區分“分子比分母小的分數是真分數，分子比分母大或相等的分數是假分數”，就是將學習停留在模仿階段，沒有深入地創造性理解。針對“分子等于分母的分數是不是真分數”這一問題，學生以原有經驗為基礎，綜合運用分數意義、分數單位、極限思想，創造性地對分數分類進行邏輯驗證，創新呈現問題成果。學生對0.9999999……是純小數，結果等于1進行驗證，再生由小數分類將分數重新分類的數學經驗；運用0是特殊自然數，論證分子與分母相等的分數是特殊的真分數，再生由辯證統一將分數重新分類的數學經驗。學生創造性理解分數本質，重新建構真假分數概念，再生數學經驗，深化思維品質。

四、文化性理解中數學經驗的再生

文化性理解是超越知識認知與常規技能層面的掌握運用，深刻領悟到知識背后的理性數學精神和人類文化，是數學理解的最高目標。數學學習活動中，不僅要關注數學知識與方法技能的獲取，還要關注情感態度、人文理解、問題解決和實際運用的同步發展。

（下轉第64頁）

（上接第43頁）

文化性理解水平高的學生，能夠感受人類文化對數學學習活動產生的影響，在追求數學理性精神和科學思維的過程中加深人文理解。學生感受人文精神的同時，再生文化性理解經驗，提升核心素養發展水平。

如教學“乘法計算”。師：如何進行乘法計算？生：列豎式計算，進位數字和退位數字都能夠參與計算，要求從低位算起；生：畫線乘法，用交叉線交點的個數來表示結果；生：鋪地錦方法，處于同一條斜線上的數字可以直接相加減。師：不一樣的方法，各有什么特點？生：畫線算法直觀簡便，當數字比較大的時候，得畫多條線，比較麻煩；生：鋪地錦的計算過程可以從低位開始，也可以從高位開始；生：列豎式只能從低位開始乘起；生：三種計算方法都是采用同位數相加的方法；生：畫線法和鋪地錦方法都可以從高位乘起，很容易在進位退位時出錯，所以豎式計算統一采用從低位算起。

基于數學問題情境，教師引導學生調動已有經驗，觸發理性思維，再生數學經驗，為文化性理解做好準備。乘法計算中，豎式計算是常用方法，畫線和鋪地錦方法是原型。在古今方法比較中，學生再生不同計算方法具有相同算理的數學經驗；在特征關聯中，學生再生豎式計算與畫線和鋪地錦一脈相承的數學經驗。針對乘法計算的巧妙創設，鼓勵學生文化性理解，從中關聯算理特征，實現理性思維經驗的再生，保證文化性理解能夠順利進行。

綜上所述，學生經歷工具性理解、關系性理解、創造性理解和文化性理解，在感性基礎之上，對數學經驗進行再抽象、再加工，實現個體對數學活動過程的重新認識。同時，學生依據已有數學經驗，針對現實生活中的實際問題，進行合理解釋、證明、推理和遷移，實現數學知識的具體應用，達成數學理解目標，促進數學核心素養發展。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育階段數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：181.

[2] 李春雷，于鳳來.數學理解水平的劃分[J].數學教育學報，2022，31（04）：68-73+97.

[3] 王林.我國目前數學活動經驗研究綜述[J].課程·教材·教法，2011，31（06）：43-49.

[4] 夏常明.小學數學建模教學中數學經驗的再生[J].教學與管理，2020（20）：43-45.

［責任編輯：陳國慶］