巖石長時(shí)效變形損傷過程的分?jǐn)?shù)階模型研究

肖書文

(山西澤州天泰錦辰煤業(yè)有限公司, 山西 晉城 048000)

1 前言

隨著淺部煤礦資源開采殆盡,煤炭回采工作逐漸向深部邁進(jìn),深部巷道圍巖長期處于高地應(yīng)力的環(huán)境中會發(fā)生蠕變變形[1-3],合理的表征巷道圍巖在長時(shí)間作用下的力學(xué)變形行為,量化變形規(guī)律,對于深部煤礦安全開采具有重要作用。

傳統(tǒng)的巖石蠕變本構(gòu)理論模型主要包含2大類,分別是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒔M合元件模型。其中經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭饕鶕?jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等相似函數(shù)進(jìn)行組合,在形式上表征巖石應(yīng)變與時(shí)間的關(guān)系,然而此種模型的參數(shù)意義不明確,普適性較低,不具備完整的理論力學(xué)基礎(chǔ)[4-5]。組合元件模型,主要通過彈性體(胡克體)、黏彈性體(牛頓黏性體)、黏塑性體(圣維南體)進(jìn)行組合,建立蠕變本構(gòu)模型。此種模型的物理含義更為明確,具有完備的理論依據(jù),在此基礎(chǔ)上馮夏庭等采用Burgers模型建立了考慮體積蠕變的本構(gòu)模型。徐衛(wèi)亞等在黏性元件與塑性元件并聯(lián)組合的模型上引入了蠕變系數(shù),再通過與五元件模型進(jìn)行串聯(lián),得到了可以反映第三蠕變階段的七元件模型[6]。夏才初等構(gòu)建了包含黏性、黏彈性、黏塑性、黏彈塑性的四元件蠕變模型[7]。

為更好的表征巖石蠕變行為,現(xiàn)有的蠕變模型往往采取增加元件的方式進(jìn)行優(yōu)化,然而過多的元件將會導(dǎo)致本構(gòu)方程的參數(shù)增加,大大降低了工程意義。同時(shí),深部巖體通常處于三維應(yīng)力狀態(tài),傳統(tǒng)的單軸狀態(tài)下的蠕變本構(gòu)方程難以充分考慮三維應(yīng)力環(huán)境。因此,綜合考慮上述問題,采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對蠕變元件模型進(jìn)行改進(jìn),可以縮減本構(gòu)方程的物理參數(shù),同時(shí)構(gòu)建三維的蠕變本構(gòu)方程,并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行有效驗(yàn)證。

2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)元件模型

2.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)相比于整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的區(qū)別在于其導(dǎo)數(shù)階次為分?jǐn)?shù),分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有獨(dú)立的數(shù)學(xué)定義方式,其中Riemann-Liouville微積分的定義方式最為廣泛。設(shè)f在(0,+∞)上連續(xù)分布,并且在[0,+∞]的任何有限子區(qū)間可積,當(dāng)t>0,Re(γ)>0時(shí),稱式(1)為函數(shù)f(t)的γ階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分。

(1)

式中,Γ(γ)為Gamma函數(shù)。

通過對式(1)進(jìn)行逆運(yùn)算,則得到Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),如式(2)所示。

(2)

式中,m是大于γ的最小整數(shù)。

根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,將傳統(tǒng)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變元件模型進(jìn)行優(yōu)化,可得到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變元件模型。

2.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變元件模型

牛頓黏壺在組合元件模型中用來表示黏性變形,其本構(gòu)方程如式(3)所示。

(3)

式中,σ為應(yīng)力,MPa;η為黏性系數(shù);ε為應(yīng)變,%;t為時(shí)間,h;γ為導(dǎo)數(shù)的階次。

根據(jù)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分算子理論可將牛頓黏壺變換為以時(shí)間為自變量的應(yīng)變方程。

(4)

在巖石長時(shí)效蠕變的過程中,巖石在恒定應(yīng)力的作用下內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)會逐漸發(fā)生損傷,隨著微觀損傷的逐漸積累,內(nèi)部微裂隙會聚合擴(kuò)展為宏觀裂縫,使巖石進(jìn)入具有強(qiáng)時(shí)效特征的第三蠕變階段,并最終破壞。為表征巖石的損傷積累過程,考慮將損傷變量引入到巖石的力學(xué)參數(shù)中,用于表示巖石力學(xué)參數(shù)的弱化過程,引入的損傷變量如式(5)所示。

ηγ(D)=ηγ(1-D)

(5)

式中,D為損傷變量。考慮到損傷的積累是非線性的過程,因此,采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行表示,如式(6)所示。

D=1-exp(-αt)

(6)

式中,α為損傷劣化系數(shù)。

將式(3)、(5)、(6)進(jìn)行聯(lián)立,最終得到考慮損傷過程的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)牛頓黏壺本構(gòu)方程如式(7)所示。

(7)

3 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變本構(gòu)模型

3.1 Nishihara蠕變本構(gòu)模型

在巖石力學(xué)蠕變理論中,蠕變主要包含三個主要階段,分別是第一蠕變階段(初始蠕變階段)、第二蠕變階段(穩(wěn)定蠕變階段)、第三蠕變階段(加速蠕變階段),在蠕變過程中存在彈性變形、黏彈性變形、黏塑性變形以及損傷演化,可通過將元件模型進(jìn)行組合得到相應(yīng)的物理力學(xué)過程。日本學(xué)者提出的Nishihara蠕變模型被廣泛用于描述第一蠕變階段(初始蠕變階段)、第二蠕變階段(穩(wěn)定蠕變階段)。Nishihara蠕變模型如圖1所示,主要包括彈性體、黏彈性體與黏塑性體,其總應(yīng)變表達(dá)式為

圖1 Nishihara蠕變模型

ε=εe+εve+εvp

(8)

式中,ε為總應(yīng)變,%;εe彈性應(yīng)變,%;εve為黏彈性應(yīng)變,%;εvp為黏塑性應(yīng)變,%。

3.2 分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程

將Nishihara蠕變模型改進(jìn)為分?jǐn)?shù)階Nishihara蠕變模型的方法是將模型中原有的牛頓黏壺替換為分?jǐn)?shù)階黏壺。

對圖2所示的分?jǐn)?shù)階Nishihara蠕變模型的組合元件進(jìn)行分析,推導(dǎo)其本構(gòu)方程。對彈性體元件進(jìn)行分析,其本構(gòu)方程為

圖2 分?jǐn)?shù)階Nishihara蠕變模型

(9)

式中,E0為彈性體的彈性模量,GPa。

對黏彈性體元件進(jìn)行分析,其本構(gòu)方程為

(10)

在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論中,為便于計(jì)算將Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為Caputo導(dǎo)數(shù),兩種導(dǎo)數(shù)具有的數(shù)學(xué)關(guān)系為:

(11)

當(dāng)t=0時(shí),εve=0,利用Laplace雙重變換得到黏彈性體分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程。

(12)

對黏塑性體元件進(jìn)行分析,黏塑性體中包含摩擦滑塊,其主要物理意義在于表征應(yīng)力閾值點(diǎn),當(dāng)應(yīng)力大于閾值應(yīng)力時(shí),此元件啟動,即代表當(dāng)應(yīng)力達(dá)到閾值應(yīng)力時(shí),巖石會發(fā)生具有長時(shí)效特征的第三蠕變階段(加速蠕變階段),摩擦滑塊的公式為

(13)

式中,σp為摩擦滑塊應(yīng)力,MPa;σs為閾值應(yīng)力,MPa。

考慮到蠕變第三階段(加速蠕變階段)的損傷演化趨勢最為明顯,因此,將損傷變量帶入到黏塑性體元件中,經(jīng)過Laplace雙重變換得到黏塑性體的本構(gòu)方程。

(14)

將上述彈性體元件、黏彈性體元件、黏塑性體元件進(jìn)行疊加,得到分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程方程。

(15)

為簡化表示式(15),在式中引入雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)(式(16)),將式(15)變換為式(17)。

(16)

式中,α、β為函數(shù)參數(shù);z為函數(shù)自變量;k為函數(shù)階次。

(17)

4 三維分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型

深部巖石通常處于三維應(yīng)力環(huán)境下,因此,忽略圍壓的本構(gòu)方程往往不能有效地表征深部巖石地力學(xué)行為,三維應(yīng)力環(huán)境下,蠕變的總應(yīng)變?yōu)?/p>

(18)

根據(jù)廣義胡克定律,將蠕變變形分解為偏應(yīng)變與球應(yīng)變,偏應(yīng)變狀態(tài)下的彈性體三維本構(gòu)方程為

(19)

式中,eij為應(yīng)變偏張量,%;sij為應(yīng)力偏張量,MPa;G0為彈性體的剪切模量,GPa。

相應(yīng)的,可得到偏應(yīng)變狀態(tài)下的黏彈性體三維本構(gòu)方程為

(20)

式中,G1為黏彈性體的剪切模量,GPa。

黏塑性體中包含塑性變形部分,因此,在建立三維狀態(tài)時(shí),需要引入屈服函數(shù),采用關(guān)聯(lián)流動法則,黏塑性體三維本構(gòu)方程為:

(21)

(22)

(23)

式中,F為屈服函數(shù);F0為屈服函數(shù)參考值,取1;φ為冪函數(shù),取1;J2為應(yīng)力偏量第二不變量。

假設(shè)兩向圍壓σ2=σ3,則得到以下條件:

(24)

將式(19)～(24)聯(lián)立,最終得到偏應(yīng)變狀態(tài)下的三維分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程:

(25)

同理,按照相同方式,可得到球應(yīng)力狀態(tài)下的三維分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程:

(26)

將式(25)與式(26)合并最終可得到三維全應(yīng)力狀態(tài)下的分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型如式(27)所示:

(27)

式中,δij為狄利克雷函數(shù)。

5 巖石蠕變實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 巖石蠕變實(shí)驗(yàn)方案

為驗(yàn)證本文推導(dǎo)的三維分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程,采用晉城市錦辰煤業(yè)3采區(qū)巷道砂巖進(jìn)行常規(guī)三軸加載實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)采用Rock Triaxial V4三軸流變儀如圖3所示。

圖3 三軸流變儀

實(shí)驗(yàn)根據(jù)砂巖的賦存狀態(tài),同步加載圍壓與軸壓,加載速度為2.0 MPa/min,當(dāng)加載到20 MPa時(shí),保持圍壓不變,繼續(xù)加載軸壓直至達(dá)到30 MPa,隨后保持三向應(yīng)力恒定,直至砂巖破壞。

5.2 巖石蠕變曲線擬合

蠕變實(shí)驗(yàn)共選取3個砂巖試樣開展,將實(shí)驗(yàn)曲線與三維分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型進(jìn)行擬合,得到圖4所示的擬合曲線。根據(jù)圖中所示,砂巖的蠕變曲線表現(xiàn)出明顯的三階段蠕變變形。對比結(jié)果顯示,推導(dǎo)的本構(gòu)模型可以很好的描述深部砂巖的三軸蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),擬合參數(shù)見表1。

表1 擬合參數(shù)表

圖4 三維分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線

6 結(jié)論

(1)根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論,將牛頓黏壺改進(jìn)為分?jǐn)?shù)階黏壺,考慮到巖石內(nèi)部的損傷演化,引入指數(shù)形式的損傷變量描述蠕變的第三階段。通過改進(jìn)Nishihara蠕變本構(gòu)模型建立分?jǐn)?shù)階Nishihara蠕變本構(gòu)模型。

(2)考慮到深部巖石的三維應(yīng)力狀態(tài),根據(jù)廣義胡克定律,將分?jǐn)?shù)階Nishihara蠕變本構(gòu)模型分解為偏應(yīng)力三維分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程與球應(yīng)力三維分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程,最終建立全應(yīng)力狀態(tài)下的三維分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程。

(3)采用晉城市錦辰煤業(yè)3采區(qū)巷道砂巖進(jìn)行常規(guī)三軸加載實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有明顯的蠕變?nèi)A段變形特征。推導(dǎo)的本構(gòu)模型可以很好的描述深部砂巖的三軸蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),驗(yàn)證了模型的可靠性。