深度學習的高中數學“探究課”初探
——以不等式ex>x2ln x的證明為例*

喻崢惠 (江蘇省鹽城中學 224005)

潘龍生 (江蘇省鹽城第一中學 224005)

1 問題背景

新課標強調了數學探究的重要意義,提出其“應始終貫穿和融入課程內容、教學活動和評價體系之中,是綜合提升數學核心素養的載體”[1],并建議命題時考查.由于高考的壓力、對高分的追求,目前很多學生的數學學習還停留在機械記憶、重結果輕過程、題海戰術等淺層學習層面．而深度學習強調對知識本質的理解和對學習內容的批判性利用,追求有效的學習遷移和真實問題的解決,屬于以高階思維為主要認知活動的高投入性學習．高中數學的深度學習,可以幫助學生理解數學的本質,激發學生數學探究的熱情,提高學生數學應用的能力,培養學生的數學創新能力,實現數學教育的育人價值．

此前在高三一輪復習中,有學生在求解一道函數與導數解答題時遇到困難,其最后一小問關于不等式恒成立問題,轉化后即要證明ex>x2lnx,經過多次嘗試都未能成功．考慮到函數與導數壓軸題中,關于不等式有解(恒成立)或證明問題,很多都會需要構造一個或多個函數,而構造什么樣的函數,對最后問題的順利求解至關重要,故筆者以不等式ex>x2lnx的證明為例,實踐數學探究教學,旨在讓學生通過對一個問題解決的探究學習,聯想結構后經歷探究活動與體驗,引發變式、遷移等高階思維,促進數學的深度學習．

2 教學片段

2.1 分析問題

師:不等式ex>x2lnx的幾何意義是什么?

生:可以理解為函數y1=ex的圖象恒在函數y2=x2lnx的圖象的上方．

師:很好,同學們可以用幾何畫板或者GeoGebra作出這兩個函數的圖象,直觀感受它們之間的關系．

師:回到代數角度,如何去證明這個不等式呢?

生1:可以移項作差后構造出一個新函數f(x)=ex-x2lnx(x>0),再去說明最小值大于0就可以了．但是,最后二階導數的最小值無法定號,我沒有寫到最后．

生2:可以先放縮后再去構造函數,用常見不等式ex≥x+1放縮,構造f(x)=x+1-x2lnx,再去證明f(x)>0恒成立就可以了．但是f(3)<0,顯然這個不等式在x>0時不是恒大于0,應該是過度放縮了．

師:作差法以及先放縮后構造(本質是找中間量)等,都是證明不等式的常見方法.可惜我們都沒有順利證明出這個不等式,問題出在哪呢?可以如何改進呢?

提出問題之后,先引導學生去分析問題,從幾何角度理解不等式為后面的探究作鋪墊．聯系已有的不等式證明的基本方法,用作差法和找中間量的方法分別進行證明,但都沒有順利解決問題,從而引發思考,學生開展探究活動并體驗問題求解的全過程,促成深度學習．

2.2 活動探究

(1)尋找定號困難原因,探究問題解決方法

探究1直接作差證明不等式.

師:我們先一起來看一下生1的解答,發揮集體的智慧,看看可不可以解決問題．

投影生1的解答過程(圖1):

圖1

師:計算到這個時候,發現y=f″(x0)min的正負無法確定,這是我們解題過程中遇到的困難,產生的原因是什么?可以解決嗎?

生3:對隱零點x0的范圍估計得大了,可以通過縮小其范圍去確定y=f″(x0)min的正負．

師:想法很好,來嘗試一下．

師:很好,y=f″(x)min的最小值是負值,接下來就要進一步借助零點存在性定理研究y=f″(x)min的零點,再討論y=f′(x)的正負,最終確定函數f(x)的單調性．可以往下繼續,但是應該會很復雜繁瑣,求解會很艱難．所以,直接作差證明這個不等式,對這個問題而言不是很好的方法．

探究1的設計是為了解決學生直接作差證明不等式過程中出現二階導函數難定號的問題,讓學生批判性地去思考問題產生的原因,通過小組討論等合作學習提出用二分法可以解決問題．學生實際操作中感受到用該方法解題計算量大,如果再往下求解,還是會遇到類似困難．進一步思考問題的本質,等價變形后,看能否簡化計算．

(2)靈活變形轉化問題,優化問題解決方法

探究2變形后作差法證明不等式.

投影生4的解答過程(圖2):

圖2

師:歷經3次求導,定號,零點存在性定理確定隱零點,回到原函數,確定單調性,求出最小值,再定號……不難感受變形后再去證明,雖然最后能完成證明,但是運算量大且繁瑣．

探究3變形后由必要條件證明不等式.

師:分析問題時,從幾何角度理解不等式,為不等號左右兩邊所對應函數的圖象間的關系,如果滿足f(x)min>g(x)max(若最小值與最大值相等,則需說明最值點不同),那么不等式f(x)>g(x)顯然恒成立．這里f(x)min>g(x)max,是不等式f(x)>g(x)成立的一個必要條件．

師:聯想相類似的結構,探究問題本質,學習指、對數函數時課本閱讀材料中提到凹(凸)函數,從凹凸性角度來看,f(x)為凹函數,g(x)為凸函數．如果將原不等式ex>x2lnx的不等號兩邊分別看作f(x)和g(x),它們都是凹函數,g(x)沒有最大值,必要性無法求解．可以再思考:如何構造兩個滿足條件的凹凸性相異且存在最值的函數呢?

師:能告訴大家,怎么想到的嗎?

生5:先嘗試不等式兩邊同時除以x,針對不等號兩邊構造對應函數,都是凹函數;再嘗試不等式兩邊同時除以x2,針對不等號兩邊構造對應函數,左邊凹函數、右邊凸函數,但是右邊沒有最大值;最后嘗試不等式兩邊同時除以x3,終于成功了．

探究2的設計是探究活動1的改進,等價變形后轉化為證明新的不等式恒成立問題,生4小組合作完成解答．作差法雖然可以解決問題,但是要經歷兩次求導、三次用零點存在性定理去找零點的過程,而且對零點區間的確定會影響到其原函數的符號,運算非常繁瑣,耗時太長．探究3是學生深度學習后對不等式的本質再思考,結合問題分析中對不等式幾何意義的理解,從最值角度分析不等式成立的必要條件．不等號兩邊的函數其構造的方法不唯一,不同的選擇會影響問題的求解與計算,抓住本質、巧妙構造,可以事半功倍．學生進一步深度思考,遷移運用,借助熟悉的相似問題中函數的圖象,提出構造兩個凹凸性相異且存在最值的函數的思路,極大地簡化問題,優化計算．

(3)擇中間量有效放縮,豐富問題解決方法

探究4放縮后由中間量(函數)證明不等式.

師:由不等式的性質(傳遞性)“a>b,b>c?a>c”可知,借助中間量b,可以證明不等式．中間量b可以是一個常數,也可以是一個函數．如何去找這個中間量呢?我們可以通過放縮來實現．例如,生2用常見不等式ex≥x+1(曲線的切線)放縮,但是放縮過度導致不等式不成立而無法證明．如何才能進行有效放縮呢?

生6:我用ex>x2放縮后證明,放縮過度,無法證明;想用ex>x3放縮,但ex與x3之間的大小關系難確定,也不行．

師:不等號的右邊由一次到二次再到三次函數,這是很好的一個放縮思路,跳出這個思維模式,能不能是一般的二次或三次函數,或者對不等號的右邊試試．

所以不等式得證．

師:很好,能說說為什么放縮后,選擇先變形后再證明?

生8:將ex除到分母位置,求導后分子中就沒有指數形式,便于計算．

用放縮法證明不等式,方法是不唯一的,可以從不等式左邊放縮、也可以從不等式右邊放縮,可以是整體放縮、也可以是局部放縮,但不管怎樣,目標都是能解決問題,避免放縮過度的情形,有時還會需要多次嘗試．探究4中,學生從不等號的左邊入手,對ex反復放縮,嘗試后否定,批判思考后最終借助于少數學生了解的泰勒公式解決問題;轉換視角,從不等號的右邊入手,對ln x放縮,吸取已探究所得的經驗,靈活運用,簡化計算．

3 總結及反思

數學探究是圍繞某個具體的數學問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．它是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數學課程中的重要內容．本節課以不等式ex>x2lnx的證明為例,實踐數學探究教學,追求高中數學深度學習．基于邏輯推理素養的角度,首先以學生的實時解答為素材,提出并探究解決直接作差證明過程中出現定號困難的問題,基于數學運算素養的角度,又提出先變形再作差的優化方案,現場運算證明,讓學生感知該方法的運算量及繁易程度;再接著聯系已有數學知識與體驗,借助函數圖象直觀想象,從函數凹凸性的角度,提出可以先證明這個不等式的一個必要條件,即f(x)min>g(x)max;最后用放縮法,利用中間量(函數)證明不等式．指向深度學習的數學探究,不是簡單地探究解題的方法,而更注重解題思路的制定和困難的剖析;不僅要讓學生會證明這道不等式,解決這個問題,更要讓學生學會思考解決這一類相關問題,讓他們學會適時聯想結構、活動探究、理解本質,變式遷移,轉化思路方法去解決問題,從而真正讓學生用“三會”行為詮釋核心素養的提升．