引導深度學習 探尋素養培育
——例談圓錐曲線定值定點問題

王永山 (江蘇省蘇州實驗中學 215011)

在高三數學的專題復習中,如何能真正做到精講精練、講究實效,是高三數學教師面對的一個重要課題．從典型的問題入手,提煉和優化方法,通過一題多解觸類旁通,或一題多變舉一反三,可使學生在遇到某類問題時能在頭腦里形成知識網絡圖,通過快速搜索鎖定思路,從而達到解題時有如“一覽眾山小”般的掌控全局的程度,高效解決問題．

平面解析幾何中的定點、定值問題一直是高考考查的熱點．研究高考真題可以明確復習方向,一輪復習中也可以適當改編高考題,讓老題發新芽,讓高考題在復習中奏出華美的樂章．近年來的高考試題強化概念、注重基礎、著意思維,對深化“立德樹人”的教育理念起到了一定的導向作用,體現了“以人為本”命題理念．

圖1

(1)求證:直線MN必過一定點.

(2)過點B作直線MN的垂線,垂足為Q.

①求動點Q的軌跡方程．

②是否存在定點H,使QH為定值?若存在,求出定點H及定值QH;若不存在,請說明理由．

1 問題分析,使思維得以明朗

1.1 瞄準圖象“對稱”的特征,讓視角從客觀走進微觀

本題先思考動直線過的定點是否有什么特征．從題目已知條件m>0可知點T在x軸的上方,為什么會有這樣的條件?如果將點T對稱到x軸的下方呢?經分析不難看出,也有同樣的M,N的對稱點M1,N1,這樣MN與M1N1的交點必在x軸上．因此,我們認定直線MN過的定點必在x軸上,這一宏觀認識的重要性不言而喻,它能使我們的運算有的放矢．

1.2 抓住“點在直線上”的特點,讓問題從發現走向解決

通過分析知道定點在x軸上,大多數學生是通過直線和橢圓方程聯立求解的．

思路1 通過兩次聯立分別求出點M,N的坐標,求出直線斜率,再代入點斜式方程得直線MN的方程

令y=0,解得x=1,最終確定點S(1,0)．其實這步化簡有點突兀,缺乏邏輯性,為什么會直接令y=0?所以還是要盯住直線特征——定點必在x軸上,進一步將直線往y=k(x-t)這一形式上化簡:

點評此法是通法,雖運算量相對較大,但還是要熟練掌握運算過程,因為有時必須通過求兩點進一步求直線方程．

思路2 設直線MN的方程,這里有一個設法的選擇,設lMN:y=kx+t還是lMN:ty=x+n?顯然,第一種設法最后得出的是k,t的關系式t2-10kt+9k2=0,而第二種設法能得出n=-1,運算量上有差別.所以根據圖形特征從宏觀上認識定點的位置很重要．

點評這種方法雖然很常規,但許多學生還是運算不下去,如何突破是關鍵．

探究1 不對稱式ty1y2-2(n+3)y1+(n-3)y2=0如何處理?

因為由兩個三點共線,可知點M(x1,y1),N(x2,y2)滿足關系式

消去x1,x2后得到不對稱式

ty1y2-2(n+3)y1+(n-3)y2=0．

做到這里,有學生停滯不前了．這個關卡有點難度,由

之間的關系可得

通過消元的方法把y1y2用y1和y2替換,降成一次式

(3+3n)[-y1(n+3)+(n-3)y2]=0,

從而得出n=-1．

探究2 是否可以構造出對稱式,直接用韋達定理呢?

點M,N在橢圓上,一定滿足橢圓方程,如果將(*)式兩邊平方,則有

x1x2-5(x1+x2)+9=0(將不對稱式轉化成對稱式)?t2y1y2-t(n+5)(y1+y2)+n2+10n+9=0?n2+10n+9=0,解得n=-1或-9(舍)．

探究3 為什么探究2中有個-9?

這是因為我們將(*)式平方后不再與前面的關系式等價,從而產生了增根．

以上兩種做法是學生在解題中常使用的方法,但運算量都很大,對學生的運算素養是很大的考驗．

1.3 善于“溯本求源”,讓問題從解決走向貫通

①為什么kBNkBM為定值時,直線MN能過定點?

②kBN+kBM為定值時直線MN是否能過定點?

③如果點B在其他位置,kBNkBM為定值或kBN+kBM為定值時,直線MN是否能過定點?

從以上解題過程可以看出:過圓錐曲線上一點A(x0,y0)作兩條斜率和或積是定值的弦AM,AN時,總將圓錐曲線方程化簡成齊二次方程f(x-x0,y-y0)=0的形式,進一步構造出二次方程Ak2+Bk+C=0．當kANkAM或kAN+kAM為定值時得出直線方程中兩個參數的線性關系,所以一定過定點或斜率為定值(當kAN+kAM=0時)．同理,我們可以思考點A(x0,y0)不在圓錐曲線上的情形．其實,只要抓住問題的本質——過定點就是直線方程中兩個參數存在線性關系,如果構造出的齊二次方程f(x-x0,y-y0)=0,利用韋達定理得出了兩個參數的一次關系式,就是過定點或斜率為定值,若是二次關系式,則直線不過定點．這樣通過對這類問題的“本源”的探究,讓我們不但會求定點,更能理解為什么過定點及何時就不再有這一特性了．

2 問題延伸,使思維得以深入

下面以試題為例,體會通過變形二次曲線方程構造齊次式求解的方法．

(1)求l的斜率;

例2如圖2,已知拋物線C:y2=4px(p>0)的焦點為F,且點M(1,2)到點F的距離比到y軸的距離大p．

圖2

(1)求拋物線C的方程．

解法1拋物線方程為C:y2=4x,與直線l:x-m(y+2)-5=0聯立,得y2-4my-8m- 20=0．因為Δ>0,設A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理得

而MA2=(1-x1)2+(2-y1)2

同理,

化簡代入可得

解得m=1或-3．

點評本題中直線l:x-m(y+2)-5=0過定點N(5,-2),也就是說,從拋物線C:y2=4x上一定點M(1,2)出發的兩條弦與拋物線相交的另兩個交點A,B的連線過定點,我們可以推測出MA,MB的斜率之積(或和)為定值,詳解如下．

(1+4n)k2+(4t-4n)k-4t=0,

-3.

這樣做運算明顯簡單了．所以磨刀不誤砍柴工,解決解析幾何的定點定值問題優化方法很重要．

點評本題解法2對學生的思維要求很高,學生要對從一點出發的兩條弦的斜率和(或積)為定值時直線過定點的問題理解透徹,不僅能求出定點是什么,還要清楚為什么過定點．題目如何改編會變成直線斜率為定值?解決此類問題從算理的角度講就是方程思想統領全局,從算法的角度上講就是精于預算、敢于硬算、勇于巧算、樂于不算．數學運算既要有對全局的戰略把控,也要有細節的戰術拿捏．

3 問題總結,使思維得到凝練

對問題1第(2)問,學生讀題后束手無策,此時點撥的重要性就體現出來了:前面我們分析了“動”和“定”的源頭,現在讓我們找定點,使之與動點垂足Q連線的線段長度為定值,相當于“動點到定點的距離為定值”,引導學生回到圓的定義．雖然圓心、半徑都沒有,但知道垂足Q在圓上．當意識到一個直角頂點在圓上時會去尋求直徑,當意識到定圓的這條直徑的兩個端點是定點,那么聯系第(1)問的定點B,S,直徑的兩個端點順理成章浮出水面,圓心、半徑呈現出來了．這種分析需要直觀想象素養,引導學生有“軌跡”的意識,順藤摸瓜,培養和提升學生的直觀想象和邏輯推理素養.這種方式直接碾壓“告知式”的題目講解．

4 問題反思,使思維得到升華

數學試題往往存在一題多解、計算量相差懸殊的現象,運算的熟練性不完全是熟能生巧的問題,它是運算方法與相關數學思想方法結合的產物,所以要引導學生思考問題的來龍去脈,促進他們構建并完善基礎知識體系,使基礎知識、基本技能、基本數學思想方法網絡化、系統化,讓他們體會到可以綜合不同的知識進行命題轉換,使運算化繁為簡,提高運算的簡捷性．在解析幾何的教學中要特別注意把數學知識的學術形態轉化為教育形態,多讓學生去思考、去感悟,設置路標,導航引路,幫助學生構建思維鏈,逐步培養學生的類比聯想能力.實踐表明,這是化難為易、化繁為簡、有效提高學生解題能力的重要法寶．

緊扣課程標準,立足教材,選準具有示范性、發散性、重點突出的典型問題,充分體現知識的形成過程,通過一題多解、類比方法,進行總結優化,乃至進行一題多變．問題進行變式后,能引導學生有意識地從“變”中發現“不變”的本質,從“不變”中探尋規律,完善學生的認知結構,從而提高學生發現問題、解決問題的能力．讓學生擁有更多的思考空間,去體會數學中的定義、定理．提出“什么是”“為什么是”“具有什么特性”“如何應用”等問題串,讓學生通過觀察形成直覺思維,再通過邏輯思維的運算、推理產生頓悟,經歷知識的發現和方法的形成過程,以問題貫穿整個知識體系,把學生的思維引向一定的高度和深度,提高學生的思維素養.如此,學生才會真正愛上數學,才能真正從中受益．