指向深度學習的數學概念結構化教學
——以“二次函數”課堂教學為例

楊牛扣 (江蘇省泰州市姜堰區第四中學 225500)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:要注重教學內容的結構化[1]85.由此可見,“結構化”是數學教學的基本要求.那么,數學概念教學如何引導學生通過“結構化”教學促進其深度學習呢?最近,在一場特級(骨干)教師“牽手農村教育”送教活動中,筆者觀摩了一位青年教師執教的一節“二次函數”課,引發了對指向深度學習的結構化概念教學的思考.

1 教學片斷

本節課內容選自蘇科版教材九年級下冊第五章《二次函數》第一節,下面呈現教學簡案及筆者的分析與思考.

片段1 舊知回顧

問題1 一般地,在一個變化的過程中有兩個變量x和y,如果對于變量x的值,變量y都有的值與之對應,那么我們稱y是x的,其中x是,y是.

追問1:何為一次函數(正比例函數)?

追問2:何為反比例函數?

片段2 新知探究

問題2 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴展,擴大的圓的面積S與半徑r之間的函數關系式是什么?

問題3 用籬笆圍成一個長方形的生物園來飼養兔子,已知籬笆的長是16 m,寫出兔子的活動范圍y與長方形的長x之間的函數關系式.

追問:這兩個函數關系式中自變量的次數分別是多少?

問題4 一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框．已知鏡面的價格是120元/m2,邊框的價格是30元/m,加工費為45元．設鏡面寬為xm,求總費用y(元)與鏡面寬x之間的函數關系式.

追問1:鏡面的費用、邊框的費用、總費用怎么表示?

追問2:這三個函數關系式有什么共性?

片段3 新知鞏固

問題5 下列哪些函數是二次函數?為什么?如果是二次函數,請指出二次項系數、一次項系數以及常數項.

(1)y=1+x2;(4)y=2x2-3x3+1;

(3)y=t(1+t); (6)y=22-x.

問題6 如果函數y=xk2-2+kx-2是二次函數,則k的值是多少?

追問:依據剛剛學習的二次方程,你能怎么變式?

問題7 用16 m長的籬笆圍成一邊靠墻(墻長6 m)的長方形的生物園飼養小兔,設垂直于墻的一邊長為xm,長方形的面積記為ym2．求y與x之間的函數關系式.

追問:自變量的取值范圍是什么?

片段4 歸納建構

問題8 這節課學習了哪些知識?

問題9 收獲了哪些思想方法?

問題10 后續可能會研究什么內容?

問題11 課堂上我還存在的困惑是什么?

……

2 教學分析

這節課能引導學生主動探索,課堂教學重點突出、選例經典、講解細致,教學活動逐步深入、層層遞進,達成了知識與技能的學習目標.

一是回顧已有知識,在復習中做好鋪墊.課堂伊始,教師直接拋出函數的概念問題,先問什么是函數,直接復習函數的概念,再通過追問,回顧一次函數和反比例函數的概念,為二次函數概念的學習做好方法的準備.貌似開門見山,直入主題,卻會讓學生對函數的概念越發迷糊.

二是基于已有認知,在類比中形成概念.在“片斷2”中,教師從學生已有認知和生活經驗出發,設計了三個問題,列出函數表達式,教師追問三個函數的共性,在學生的思考與交流中得出二次函數的概念和一般形式,并類比一次函數得到二次函數的三種特殊形式,且強調實際問題要考慮自變量的取值范圍,基本完成了概念教學任務.

三是通過問題解決,在辨析中內化概念.“片斷3”通過具體問題的辨析內化二次函數概念,在觀察、思考和交流中,明確了函數表達式的等號右邊是自變量的二次整式,最高次數為2;通過問題變式訓練,強化了二次函數存在的條件是二次項系數不為0;通過實際問題的研究,強調了自變量取值范圍問題.

四是著眼知識技能,在反思中歸納建構.“片斷4”引導學生從函數知識、數學方法和方向引領三個方面自主建構,并借助一次函數的學習,明確了二次函數后續研究的方向與路徑,啟發學生對本節課的內容提出自己的困惑和質疑,培養其提出問題的能力.但由于時間分布不太合理,該環節顯得匆忙,沒有達到預期的效果.

3 教學改進

深度教學是在有效教學的基礎上,深挖教材與資源,引發學生更深層次的思考,使其能夠善于發現新問題、提出新觀點、探索新方法[2].《課標2022》強調要以整體觀和聯系觀開展數學教學[1]85-86.比如,如何關注知識的內部聯系,以聯系觀念開展概念教學?如何充分體現學生主體性?如何讓數學核心素養落地?這些都是初中數學教師應該思考的問題.基于此,筆者從三個方面對本節課進行優化設計.

3.1 以結構化的方法激發學生提出深度問題

對初中生來說,函數是比較抽象的概念.針對函數這一特點,可先適當淡化函數概念.

問題1 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴展,所形成的圓的周長C與半徑r之間的函數表達式為,這是函數.

問題2 用籬笆圍成一個長方形的生物園來飼養小兔,已知長方形面積為16 m2,長為xm,寬為ym,則y與x的函數表達式為,這是函數.

追問1:兩題有什么共性?

追問2:你怎樣認識函數是解決問題的有效手段?

設計意圖根據學生已有認知,基于結構化、條理化的安排,從問題情境出發,圍繞教材中“石子投入水中的波紋”和“籬笆飼養小兔”兩個問題展開追問,引導學生認識到建立函數模型是解決問題的有效手段,從而感受到二次函數概念學習的必要性.

3.2 以結構化的思維引導二次函數概念的生成

如何充分調動學生的思維,克服學生想得少、學得淺,知識理解不連貫的問題?筆者以為,可在前一環節基礎上,以問題串的形式繼續追問,結構化地指引學生深度思考.

問題3 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴展,所形成的圓的面積S與半徑r之間有何關系?

追問1:當r確定時,圓的面積S確定嗎?

追問2:S是r的函數嗎?

追問3:理由是什么?

追問4:這個函數我們學過嗎?

設計意圖在這個過程中,教師只是追問“所形成的圓的面積S與半徑r之間有何關系?”,啟發學生思考,而不直接點出函數關系,旨在利用賦值法,給定r一個值,S就有唯一確定的值,從而滲透“對應聯動”的變量關系,如此復習了函數概念,并由內向外剖析函數概念,為引入二次函數做好鋪墊.這種教學方式既充分利用了問題情境資源,又能抓住數學概念之間的內部聯系.

問題4 用16 m長的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養小兔,你將如何來研究生物園的面積?

追問1:怎么研究?小學學過什么方法嗎?

追問2:可否有更好的方法來解決問題?

追問3:請問y=-x2+8x是函數嗎?

追問4:同學們,這個函數你們學過嗎?

設計意圖問題的設問貌似很散,但學生基于上一問自然會想到賦值.通過討論、交流,發現賦值的局限性,進而聯想到設出變量,尋找等量關系,列出等式(函數),再有意識地規范書寫,引導學生進一步識別函數,如此既內化了函數概念,又為引入二次函數做好準備.

問題5 一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框．已知鏡面的價格是120元/m2,邊框的價格是30元/m,加工費為45元．你會如何研究總費用?

追問1:總費用由什么組成?怎么表示?

追問2:未知量如何表示?

追問3:這個y=240x2+180x+45是函數嗎?

追問4:理由是什么?

設計意圖學生在掌握函數概念的基礎上,通過自主完成問題5,自然生成二次概念.而追問1和2旨在提醒學生用變量關系來轉化問題,追問3和4旨在引導學生建立函數模型解決問題.經過3個問題的追問引導,強化函數與二次函數概念的關聯,如此二次函數概念水到渠成,實現了概念的結構化教學.

3.3 以結構化的觀念強化概念的深度理解應用

問題6 二次函數有何特征?我們是如何將實際問題數學化的?

追問1:函數描述的是什么關系?

追問2:建立函數模型解決實際問題的關鍵是什么?

追問3:我們運用了哪些思想和方法?

追問4:接下來期待學習函數的什么知識來有效解決實際問題?

設計意圖課堂小結的重點是引導學生把知識、方法、思想結構化,旨在幫助學生梳理數學知識、方法與思想,實現知識的銜接、方法的關聯、思維的升華.筆者的小結教學中,引導學生在自主歸納、自主反思、自主質疑的基礎上,設計出如 圖1所示的結構圖,并通過問題追問,讓學生把握建立函數模型解決實際問題的關鍵,感受數學思想和方法,同時明確后續的研究方向與路徑,提出新的質疑.

圖1 函數知識結構圖

4 教學思考

結構化概念教學可以從多方面促進學生理解概念、“生長”概念,達成深度學習.在教學中,數學育人要用數學的方式[3].教師可以聯系舊知,尋求起點對比分析、加強溝通,可以逆向思維,探索知識異同,可以總結經驗、拓展延伸,還可以綜合實踐、創新應用等,真正引導并幫助學生構建理性的思維體系,使他們能夠以結構化的眼光去看待知識的學習過程,進而可以系統掌握學習的知識和技能.

4.1 確定結構化單元學習目標

結構化單元的學習目標是促進學生深度學習的助推劑,如何設計結構化的學習目標就顯得特別重要.筆者在本節課的設計中,把知識目標設定為“函數→二次函數”的遞進式目標,方法目標設定為“實際問題→數學問題→學會用函數模型解決問題”的目標.通過問題串追問,指引學生深度思考,讓學生在潛移默化中獲得“知識→能力→素養”的發展.

4.2 構建整體關聯的結構體系

蘇科版初中數學教材函數內容分為八年級上冊的一次函數、八年級下冊的反比例函數和九年級下冊的二次函數3個板塊.面對這種板塊式、間斷式設計,用傳統的方法進行碎片化教學顯然效果不理想,有必要精心安排教學內容并進行整合、優化和關聯,通過單元主題式教學方式,實現學生數學知識與數學方法的結構化和思維能力與數學素養的最優化.