一道2022年高中數學競賽解析幾何題的研究

李崇榆 (華南師范大學數學科學學院 510631)

在2022年全國中學生數學奧林匹克競賽(預賽)暨2022年全國高中數學聯合競賽一試(A1)卷中,解析幾何題第10題以直線與拋物線、雙曲線的位置關系為命題背景,考查學生的邏輯推理和數學運算能力．本文從不同角度研究其解法并將其推廣,與讀者分享．

1 試題呈現

在平面直角坐標系xOy中,設一條動直線l與拋物線Γ:y2=4x相切,且與雙曲線Ω:x2-y2=1的左、右兩支分別交于點A,B．求△AOB面積的最小值(圖1)．

圖1

2 問題剖析

綜上,本題作為高中數學聯賽解答題的第二題,難度中等,綜合性較強,除高中數學聯賽外,也適用于高考解析幾何的復習中,既能鞏固學生的基礎知識,訓練基本的解題策略與技巧,又能在一題多解與推廣中提高思維能力和數學運算能力,調動學習的興趣,培養主動探究精神[1]．

3 解法探究

①展開S△AOB,利用基本不等式求最值:

②展開S△AOB后進行配方與換元,求二次函數的最值:

③展開S△AOB,利用導數法求最值:

最值問題是圓錐曲線的重點專題,也是學生學習的難點．對于此類分式型函數求最值,關鍵是抓住分式型函數的特征,通過等價變形或換元簡化式子結構,從而利用基本不等式或函數的單調性求最值．其中導數法是求最值的通法,但不一定是最簡便的方法．

評注2在解法1中,若記直線和曲線聯立后化簡所得式子為Ax2+Bx+C=0(A≠0),則可利用下式簡化運算:

評注3在解法1中,切點的設法還有很多,如P(n2,2n)(n>0)或P(4m2,4m)(m>0)等,但解答與解法1是一致的,只需用n2或4m2替換解法1中的t即可．

4 問題推廣

將拋物線與雙曲線進行一般化推廣可以得到:

圓錐曲線總是在某些方面體現出驚人的一致,這正是圓錐曲線的魅力所在[2]．因此,筆者嘗試將雙曲線變成橢圓來推廣該結論,得到:

圖2

評注6由于直線和橢圓聯立得到的結果與直線和雙曲線的類似,故對于焦點在x軸的橢圓,只要把b2換成-b2即可,得

此處要小心符號的正負．

評注7由命題2還可得以下結論:

①S△AOB的最大值只由a,b決定．

圖3