數學知識與思想方法在高中物理解題中的應用探究

摘 要：數學知識與思想方法在高中物理教學和解題中都有著重要的特殊作用.在物理解題中通過巧妙運用數學知識與思想方法，能夠提高物理解題能力的效率，因此教師要充分認識數學知識與思想方法在物理解題中的應用價值，采取多種途徑與策略引導學生積極應用數學知識與思想方法解物理難題，掌握數學知識與思想方法的運用策略，促進學生物理解題能力與效率的全面提高.

關鍵詞：數學知識；數學方法；高中物理；解題應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0130-03

物理解題是高中生普遍反映的學習難點，提高物理解題能力和解題效率就成為物理教學的重點內容，為此教師應注重引導學生學會綜合運用多種途徑與方法進行解題.其中數學知識與思想方法在高中物理解題中有著特殊的優勢和作用，是解決物理問題的重要和有效方法.同時物理新課標也強調要重視數學工具在物理教學中的運用，因此教師要引導學生學會應用數學知識與思想方法進行物理解題，以此來提高物理解題能力和效率.

1 數學知識與思想方法在物理解題中的作用

數學是物理學習的語言和工具.數學知識與思想方法不但在物理理論知識和實驗教學中有著重要作用，在物理解題中更是發揮著獨特和重要的作用.

一是能夠幫助學生打牢物理解題基礎.要提高物理解題能力，需要對物理概念、定理、規律深刻理解全面掌握，而運用數學知識、數學語言和數學思想方法有助于更好地幫助學生理解物理概念、定理、規律等，能夠把物理問題抽象成數學問題，降低物理問題理解與解題難度，幫助學生打牢物理解題基礎.

二是能夠對物理問題進行定性定量分析與計算.數學知識與思想方法能夠幫助學生對一些復雜的物理問題進行定性或定量分析，精確計算各物理量之間的關系，理解各物理量之間的關系，使學生更好地理解物理問題的本質，有利于學生正確解題.

三是能夠創新高中物理解題思路與方法.借助數學思想方法進行物理解題，能夠使學生對復雜物理問題進行轉化，使物理解題思維與方法更靈活、更發散、更豐富，有利于消除學生在物理解題中的思維障礙，能夠創新物理解題思路方法，從而有利于提高物理解題效率.

2 數學知識在高中物理解題中的應用策略

數學知識在高中物理學習和解題中的應用非常廣泛，它涉及多方面的數學知識，主要包括：數軸、坐標系、一次函數、二次函數、三角函數、解析幾何、向量、平面與立體幾何圖形、不等式（組）、數列、圓、概率等數學知識.通過靈活運用運用這些數學知識，就能巧妙解決物理問題.

2.1 二次函數與不等式在物理解題中的應用

例1 如圖1所示有一質量是m的小鐵球系于繩子一端 ，小華握住繩子另一端，讓小鐵球在豎直平面內做圓周運動.小華握繩子的手距地面高度為d，手與小鐵球之間的繩子長度是0.75d.在某次小鐵球運動到最低點時，繩子突然斷開，小鐵球飛行水平距離d后落地，已知重力加速度是g.

（1）求小鐵球在圓周最低點時的速度v1是多少？到地面時的速度v2是多少？

（2）求該繩子可承受的最大拉力是多少？

（3）假如在最低點剪斷繩子，當繩子多長時小鐵球水平平拋距離最大？最大水平平拋距離是多少？

（3）x=413r（d-r），此時可應用數學中的基本不等ab≤a+b2（當a=b時等號成立，即有最大值），可知當r=d-r，即繩子長為12d時水平平拋距離有最大值x=233d.在此問中通過巧妙運用二次函數和基本不等式公式使復雜的問題容易解決[1].

2.2 三角函數知識在物理解題中的應用

例2 在圖2中，一個小球從光滑的斜面頂點零初速下滑，斜面底邊的長度x保持不變，當斜面的傾角θ是多大時，小球從頂點滑到地面時間最短？

解析 利用運動學公式和牛頓第二定律，很容易求出小球從頂端滑到地面所用的時間為t=4xgsin2θ，然后根據正弦函數的性質和圖像可知sin2θ的最大值為1，當θ=π4時取得，即tmin=2xg.本題看似簡單，但如果運用一般方法求解，其過程比較繁瑣，通過應用數學三角函數知識，使問題得到容易解決[2].

2.3 數列知識在物理解題中的應用

例3 有一個小球從高度為h0=180 m處自由落下，到達地面后又多次彈起、落下，最終小球落在地面靜止.小球每次與地面碰撞其速度就減小1n（n≥2）.求小球從第一次下落到靜止所用總時間和經過的總路程是多少？（g取10 m/s2）

解析 18 s 300 m.

在本題求解中，通過運用數學等比數列的通項、求和公式，使該題目容易解決，提高了物理解題效率，也降低了解題難度.

3 數學思想方法在高中物理解題中的應用策略

數學思想方法同樣在高中物理學習和解題中的應用非常廣泛，它主要涉及轉化思想、整體思想、函數與方程思想、數形結合思想、極限思想、數學歸納法、極值法、圖像法、微元法、類比法、代換法、數學模型等思想方法.合理巧妙運用上述這些數學思想方法，有利于降低物理解題難度，拓展解題思路與方法，提高物理解題效率.舉例如下.

3.1 極限思想在物理解題中的應用

例4 小強利用拖把拖水平的教室地面，拖把頭質量是m，拖把頭與地面的動摩擦因數是μ，重力加速度為g，小強拖地時沿拖把桿施力且拖把桿與豎立方向夾角是θ，不考慮拖把桿質量.如圖3所示.

（1）如果要讓拖把頭在教室地面上勻速運動，求需要對拖把桿施加多大的力？

（2）假如當拖把剛好從靜止開始運動時，其水平推力與此時教室地面對拖把的正壓力的比值是a.已知存在一個臨界角θ0，當θ≤θ0，則不論小強對拖把桿施加多大的推力，都不能使拖把從靜止開始運動，求tanθ0=？

在本問中，就是應用了極限數學思想，抓住臨界條件得出θ與a的關系，假設當F無限大時，就可得出臨界角的正切值[3].

3.2 數形結合思想（圖像法）在物理解題中的應用

例5 一只野兔從地下洞的中心沿直線向外爬出，它出洞的速度v與其距離洞的中心的距離s成反比，當野兔爬出距離洞的中心s1=1 m的P點位置時，其速度v1=20 cm/s，求：當野兔到達距洞的中心s2=2 m的Q點位置時，其速度v2=？從P點到Q所用的時間t=？

解析 畫出1v-s圖像.從圖像中可直觀看出Q點的速度是v2=10 cm/s，而且在1 m與2 m豎線與橫軸圍成的面積就是所求的時間.圖4中陰影部分.

通過把物理問題轉化成圖形或圖像，就能形象直觀地看出題意或所求結果，而且數形結合思想方法、圖像法也是物理解題的常用方法，同時本題目還體現了數學中的轉化思想，運用了數學直角坐標的知識等，有利于降低解題難度，提高解題效率[4].

3.3 逆向思維方法在物理解題中的應用例6 如圖5所示，一個小球以初速度v0從M點開始沖上光滑固定的斜面上，到達斜面最高點P點時速度剛好為0，當小球沖到斜坡長度34處的N點時用時為t，求當小球從N點沖到P點所用時間t1是多少？

通過應用逆向思維方式使解題過程變得很簡單，改變了傳統解題思維定勢，使解題方法得到創新[5].

總之，數學知識與思想方法在高中物理解題中有著獨特的優勢與作用，既能提高學生物理解題能力與效率，又能培養學生靈活的物理解題思維能力，促進學生物理核心素養發展.因此需要教師和學生充分認識數學知識與思想方法在物理解題中的作用，加強數學知識與思想方法在物理解題中的應用訓練，掌握數學知識與思想方法的運用途徑與方法，才能有效解決“物理解題難”的問題，提高學生物理學習成績.

參考文獻：

［1］王金淼.例析數學知識在高中物理解題中的應用[J].中學教學參考，2022（20）：45-46.

[2] 李佳駿.數學知識在高中物理解題中運用思考探析[J].新教育時代，2019（32）：21-22.

[3] 李玉文.數學知識在高中物理解題中運用的若干思考[J].科技資訊，2020，18（21）：3.

[4] 佘東波.在高中物理教學中如何應用數學思想與方法[J] 數碼設計，2017（11）：19-20.

[5] 張磊.數學知識在高中物理解題中運用的思考[J].中學課程輔導，2019（8）：187-188.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：陶德泉（1979.7-），男，江蘇省蘇州人，從事高中物理教學研究.