理解概念本質(zhì) 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

璩燕

行程問題是關(guān)于“速度、時(shí)間、路程”三者之間關(guān)系的問題。行程問題的教學(xué)有利于學(xué)生發(fā)展邏輯思維，提高運(yùn)用多種方法解決問題的能力。教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生借助“線段圖”等分析復(fù)雜行程問題中的數(shù)量關(guān)系？如何幫助學(xué)生深入理解速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系，更好地解答不同變式的相關(guān)實(shí)際問題？如何結(jié)合解題方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維？本期，我們討論如何更好地教學(xué)行程問題。

“速度”不同于可以直接用工具度量的“路程”和“時(shí)間”，它是通過“路程”和“時(shí)間”間接度量的，是路程和時(shí)間的比。數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)重點(diǎn)不僅是數(shù)學(xué)表達(dá)，更重要的是理解每個(gè)數(shù)量的意義。因此，建立“速度”概念是理解“速度×?xí)r間=路程”數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵。

一、立足除法視角，凸顯速度概念本質(zhì)

立足除法視角理解“速度”概念是一種行之有效的學(xué)習(xí)路徑。“路程÷時(shí)間=速度”的數(shù)量關(guān)系式能夠凸顯速度“歸一量”的本質(zhì)。基于此，筆者借助“路程與時(shí)間的比等于速度”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生建構(gòu)“速度”概念，理解“速度”的本質(zhì)。

課堂上，筆者先出示“A車行駛560千米，B車行駛480千米，C車行駛480千米”，并提出問題“你知道哪輛車行駛得最快嗎”，通過制造認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生生成數(shù)學(xué)思考，得出如下共識(shí)：要比較哪輛車速度最快，既要知道它行駛了多少路程，又要知道它行駛了多長時(shí)間。隨后，筆者補(bǔ)充“A車行駛了8小時(shí)，B車行駛了8小時(shí)，C車行駛了6小時(shí)”，并請學(xué)生思考哪兩輛車可以不計(jì)算直接比較快慢。學(xué)生共同梳理出以下兩種比較方法。①相同路程比時(shí)間：路程相同，時(shí)間越短，則速度越快。②相同時(shí)間比路程：時(shí)間相同，路程越遠(yuǎn)，則速度越快。學(xué)生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)：A車比B車快，C車比B車快，要想知道三輛車中哪輛車最快，就要比較A車和C車誰更快。A車和C車行駛的路程不同，時(shí)間也不同，該如何比較呢？學(xué)生基于已有的“每份數(shù)、份數(shù)、總數(shù)”和“歸一問題”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，自然而然想到用除法算式解決問題：560÷8=70，480÷6=80。筆者進(jìn)一步追問：“80和70分別表示什么？為什么要比較它們每小時(shí)行的路程呢？”學(xué)生思考后回答：當(dāng)路程和時(shí)間都不相同時(shí)，可以想辦法把時(shí)間都變成1小時(shí)，就方便比較了，計(jì)算速度就是要把“時(shí)間不同”轉(zhuǎn)化為“時(shí)間相同”。

然后，筆者安排學(xué)生獨(dú)立完成以下練習(xí)：①“神舟十一號(hào)”飛船在太空中5秒飛行了約40千米，“神舟十一號(hào)”飛船的速度約是多少？②張叔叔騎自行車去游玩，2小時(shí)騎行了16千米，張叔叔騎自行車的速度是多少？在學(xué)生匯報(bào)完成情況并交流后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：張叔叔騎車和“神舟十一號(hào)”飛船在單位時(shí)間內(nèi)都行駛了8千米，它們的速度一樣嗎？學(xué)生結(jié)合問題情境發(fā)現(xiàn)雖然都是8千米，但是它們用的時(shí)間不同。隨后，筆者啟發(fā)學(xué)生將兩個(gè)“8千米”進(jìn)行區(qū)分，規(guī)范速度單位的寫法，試讀速度單位，認(rèn)識(shí)速度單位由長度單位和時(shí)間單位復(fù)合而成。由此，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到速度與路程、時(shí)間的密切聯(lián)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言描述“速度”概念，即單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程叫做速度。

最后，筆者借助現(xiàn)實(shí)情境設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題，幫助學(xué)生感受“速度”的快慢。①350千米/時(shí)、340米/秒、300000千米/秒，猜一猜它們分別是誰的速度？學(xué)生通過交流，認(rèn)識(shí)到這幾種速度可能分別是高鐵的速度、聲音的傳播速度和光的速度。②從北京到廣州的鐵路全長大約是2400千米，六十多年前蒸汽機(jī)車的速度大約是60千米/時(shí)，三十多年前內(nèi)燃機(jī)車的速度大約是120千米/時(shí)，“復(fù)興號(hào)”高鐵的速度大約是350千米/時(shí)，看到火車速度的變化，你有什么感受？筆者借助火車提速的情境，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型分析、解決問題，體會(huì)模型的應(yīng)用價(jià)值。

二、創(chuàng)設(shè)豐富情境，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系模型

常見數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)要建立在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，通過呈現(xiàn)富有啟發(fā)性的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去尋找、發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，逐步抽象出數(shù)學(xué)模型。

筆者在引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合上文提到的兩道除法算式（560÷8=70、480÷6=80）歸納出“路程÷時(shí)間=速度”的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生完成以下兩組練習(xí)，并思考路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系還可以怎樣表達(dá)。①汽車每小時(shí)行駛70千米，4小時(shí)行駛多少千米？小林每分鐘走60米，10分鐘走多少米？②一只蝸牛每小時(shí)爬行10米，爬行70米需要多長時(shí)間？聲音每秒傳播340米，傳播1700米要用多長時(shí)間？

基于已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生分別列出兩道乘法算式（70×4、60×10）和兩道除法算式（70÷10、1700÷340）。針對(duì)學(xué)生列出的算式，筆者進(jìn)一步追問：為什么用乘法（除法）？路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系還可以怎樣表達(dá)？通過交流，學(xué)生明晰了1小時(shí)是1個(gè)70千米，4小時(shí)就是4個(gè)70千米，求路程就是求4個(gè)70千米是多少，所以速度與時(shí)間相乘就是路程；同理，1個(gè)10米用1小時(shí)，70里面有幾個(gè)10米就有幾小時(shí)，求時(shí)間就是求70里面有幾個(gè)10，因此路程除以速度就是時(shí)間。

學(xué)生將“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)、總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)”與“速度×?xí)r間=路程、路程÷速度=時(shí)間”進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)它們都可以寫成“一乘兩除”的形式，這意味著無論知道其中的哪兩個(gè)量都可以求出第三個(gè)量。這個(gè)過程有助于學(xué)生體會(huì)模型思想，從本質(zhì)上把握數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)。

三、擴(kuò)充數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)

在大單元教學(xué)的引領(lǐng)下，筆者依托《速度、時(shí)間、路程》的教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生理解三個(gè)數(shù)量關(guān)系式以及三者之間的聯(lián)系，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題。

在構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式之后，筆者組織學(xué)生討論：“速度、時(shí)間和路程三者之間的關(guān)系和我們之前學(xué)習(xí)的哪些知識(shí)有聯(lián)系？它們有什么共同點(diǎn)？”學(xué)生認(rèn)為，“速度”和以前學(xué)習(xí)的“單價(jià)”都可以看作“每份數(shù)”，“時(shí)間”和“數(shù)量”相當(dāng)于“份數(shù)”，而“路程”和“總價(jià)”是相乘得到的“總數(shù)”在不同情境下的不同表達(dá)。這些數(shù)量關(guān)系具有一致性，都可以歸納為因數(shù)、另一個(gè)因數(shù)、積三者之間的關(guān)系。依據(jù)學(xué)生的思考，師生共同梳理出如下圖所示的思維導(dǎo)圖。學(xué)生在關(guān)聯(lián)、重組、凝聚中展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，從“單一、割裂、點(diǎn)狀”的思維邁向“整體、融合、拓展”的結(jié)構(gòu)化思維，學(xué)會(huì)了用整體、聯(lián)系、發(fā)展的眼光看問題。

對(duì)于常見數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，筆者通過教學(xué)實(shí)踐探索出一條有效的學(xué)習(xí)路徑：立足除法角度，凸顯速度“歸一量”的本質(zhì)，建立速度概念；創(chuàng)設(shè)豐富情境，從具體問題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，再變換問題情境，將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)問題中，以此深化模型的內(nèi)涵，拓展模型的外延；溝通“速度、時(shí)間、路程”與“每份數(shù)、份數(shù)、總數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，擴(kuò)充數(shù)量模型，形成初步的模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

（作者單位：武漢市光谷喻家山學(xué)校）

責(zé)任編輯? 張敏