基于遺傳算法的線性二次型調(diào)節(jié)器抑制橋式起重機(jī)貨物擺動(dòng)*

宮厚華 和大龍 和 輝 杜 建 董明曉

1 山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 濟(jì)南 250101 2 山東龍輝起重機(jī)械有限公司 泰安 271224

0 引言

起重機(jī)是可以實(shí)現(xiàn)重物起升、運(yùn)送和裝卸的特種機(jī)械設(shè)備，廣泛應(yīng)用于工廠、建筑工地、垃圾處理場(chǎng)等場(chǎng)所。然而橋式起重機(jī)系統(tǒng)存在撓性機(jī)械環(huán)節(jié)，工作過(guò)程中大小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)頻繁地啟、制動(dòng)會(huì)引起貨物的擺動(dòng)，貨物長(zhǎng)時(shí)間的擺動(dòng)不僅會(huì)嚴(yán)重影響工作效率，而且會(huì)危及工人的安全[1]。

國(guó)內(nèi)外研究人員為抑制橋式起重機(jī)貨物擺動(dòng)做了大量研究。Maghsoudi M J 等[2]提出了改進(jìn)輸入整形方案并設(shè)計(jì)了ZV 和DZV 整形器對(duì)非線性橋式起重機(jī)模型進(jìn)行擺動(dòng)控制。與基于線性二階模型設(shè)計(jì)的輸入整形方案相比，該方法可使橋式起重機(jī)有效載荷擺動(dòng)大幅減小；Giacomelli M 等[3]針對(duì)雙擺式高架起重機(jī)的開(kāi)環(huán)控制提出了一種輸入輸出反演技術(shù)，該方法是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，獲得參數(shù)軌跡，以確保減少貨物的殘余擺動(dòng)，通過(guò)仿真驗(yàn)證了該方法相較輸入整形技術(shù)有很強(qiáng)的魯棒性；李軍等[4]根據(jù)Lagrange 方程建立橋式起重機(jī)的三維動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)模糊線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）控制吊重?cái)[動(dòng)，仿真結(jié)果表明使用模糊LQR 控制器分別控制解耦后的大小車運(yùn)動(dòng)或者大小車聯(lián)合運(yùn)動(dòng)都能達(dá)到防擺定位的目的；張國(guó)振[5]采用Lagrange 方程建立橋式起重機(jī)吊重系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組，基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)LQR 控制器。仿真結(jié)果表明，LQR控制器能很好地跟蹤小車位移的變化，對(duì)擺角也有一定的控制效果，但該控制器中的加權(quán)矩陣Q和R的選擇具有任意性，需要進(jìn)步一步優(yōu)化。

為了實(shí)現(xiàn)橋式起重機(jī)小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的定位和抑制貨物擺動(dòng)的角度，基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了LQR 控制器。然而，在LQR 控制器的設(shè)計(jì)中，加權(quán)矩陣QR的選取具有任意性。針對(duì)此問(wèn)題，提出使用遺傳算法優(yōu)化LQR 控制器的加權(quán)矩陣QR，并設(shè)計(jì)了最優(yōu)LQR 控制器。在Matlab 中搭建橋式起重機(jī)的Simulink 仿真模型，對(duì)LQR 控制器和最優(yōu)LQR 控制器的控制效果進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明：與LQR 控制器相比，最優(yōu)LQR 控制器能夠縮短小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的定位時(shí)間，大幅降低貨物擺動(dòng)的角度。

1 橋式起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 非線性模型

在實(shí)際工作中，橋式起重機(jī)的大車小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)往往同時(shí)運(yùn)動(dòng)，使貨物在空中做空間擺運(yùn)動(dòng)。由于大車運(yùn)行機(jī)構(gòu)和小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直，故其動(dòng)力學(xué)模型可以在這2 個(gè)方向上實(shí)現(xiàn)解耦[6]。解耦后，貨物的空間擺運(yùn)動(dòng)將轉(zhuǎn)化為平面擺運(yùn)動(dòng)。故對(duì)橋式起重機(jī)系統(tǒng)的研究可以簡(jiǎn)化為對(duì)小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)的研究。

小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)示意圖如圖1 所示。小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)沿導(dǎo)軌做變幅運(yùn)動(dòng)，同時(shí)起升機(jī)構(gòu)對(duì)貨物進(jìn)行起升。小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡延長(zhǎng)線為x軸，y軸位于貨物擺動(dòng)的平面上，且與x軸垂直。貨物在坐標(biāo)系xOy中的位置用廣義坐標(biāo)(x，l，θ)表示，x為小車的位移，l為起升鋼絲繩的長(zhǎng)度，θ為貨物擺動(dòng)角度，M為小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的質(zhì)量，m為貨物的質(zhì)量，F(xiàn)X為小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)受到的驅(qū)動(dòng)力，F(xiàn)1為起升機(jī)構(gòu)受到的驅(qū)動(dòng)力。

圖1 小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)示意圖

橋式起重機(jī)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，具有強(qiáng)耦合、不確定、非線性的特點(diǎn)，給橋式起重機(jī)的建模增加了難度。為了簡(jiǎn)化橋式起重機(jī)系統(tǒng)，給出如下假設(shè)：1）忽略鋼絲繩的質(zhì)量，鋼絲繩與小車為點(diǎn)連接；2）假設(shè)貨物為只有質(zhì)量沒(méi)有體積的質(zhì)點(diǎn)；3）忽略空氣阻力和風(fēng)的干擾，不考慮系統(tǒng)的彈性形變。

根據(jù)拉格朗日方程，建立小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型

式中：bx為小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的阻尼系數(shù)，b1為起升機(jī)構(gòu)運(yùn)行時(shí)的阻尼系數(shù)，g為重力加速度。

該系統(tǒng)是一個(gè)非線性時(shí)變的系統(tǒng)，其非線性動(dòng)力學(xué)模型由小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)、起升機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程和貨物擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組成。為了對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的定位和貨物的消擺控制，需要對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化處理。

1.2 線性化模型

在平衡位置θ=0°附近，有sinθ=θ、cosθ=1。考慮到橋式起重機(jī)在實(shí)際工作時(shí)，通常先將貨物起升到一定的高度，再通過(guò)大小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)將貨物運(yùn)送到指定的位置，所以研究小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的定位和貨物擺動(dòng)問(wèn)題時(shí)，可假設(shè)起升機(jī)構(gòu)不進(jìn)行起升運(yùn)動(dòng)。故小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)的線性化模型為

為研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，選取x、x·、θ、θ·作為狀態(tài)變量，將線性化模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程，形式為

式中：z為狀態(tài)向量，y為輸出向量，u為輸入向量，A為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣。

根據(jù)小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)的線性化模型，可知

1.3 動(dòng)力學(xué)分析

橋式起重機(jī)參數(shù)為：M=500 kg，m=1000 kg，l=5 m，bx=0.5，g=9.8 m/s2。經(jīng)計(jì)算求得系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為

使用Matlab 軟件可求得系統(tǒng)矩陣A的特征根、控制矩陣和可觀測(cè)矩陣的秩分別為

系統(tǒng)矩陣A的特征根均有不大于零的實(shí)部，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時(shí)，系統(tǒng)的控制矩陣和可觀測(cè)矩陣的秩與其本身的維數(shù)相同，故系統(tǒng)是完全可控、完全可觀測(cè)的。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 LQR 控制器

LQR 控制器是一種現(xiàn)代控制方法，其控制對(duì)象是以狀態(tài)空間方程給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是以控制對(duì)象的狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。LQR 控制器的設(shè)計(jì)就是求得反饋矩陣K使目標(biāo)函數(shù)J取最小值，而K又是由加權(quán)矩陣QR唯一決定的，故加權(quán)矩陣QR的選擇尤為重要。

要實(shí)現(xiàn)小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)快速到達(dá)目標(biāo)位置的同時(shí)貨物擺動(dòng)角度最小，選取小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的位移和貨物擺動(dòng)角度為優(yōu)化對(duì)象，得到一個(gè)理想的控制量，使得性能指標(biāo)J達(dá)到最小值。已知狀態(tài)量和控制量的二次型性能指標(biāo)函數(shù)為

式中：加權(quán)矩陣Q為4×4 維的半正定對(duì)稱陣，加權(quán)矩陣R為1 維的正定對(duì)稱陣。

根據(jù)極小值原理，最優(yōu)控制律為

式中：K=R-1BTP為反饋矩陣，P為Riccati 代數(shù)方程的正定對(duì)稱解。

Riccati 代數(shù)方程為

最終，控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可歸結(jié)為求解反饋矩陣K的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

根據(jù)實(shí)際工程的需要，通常將R矩陣選為單位陣，只調(diào)節(jié)Q矩陣值各元素的參數(shù)來(lái)獲得不同的控制效果。因此，本文將R陣設(shè)為單位陣，將Q陣設(shè)為主對(duì)角線元素為2 500，0，2 500，0 的對(duì)角陣，即Q=diag(2 500，0，2 500，0)。通過(guò)求解Raccati 方程，可求得控制矩陣K為

從LQR 的控制原理中看，所設(shè)計(jì)控制器的控制效果完全取決于加權(quán)矩陣Q和R的選取，然而這2 個(gè)矩陣的選取完全取決于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)。若加權(quán)矩陣Q和R選取不當(dāng)，將不會(huì)求得最優(yōu)的反饋矩陣K，更不能保證系統(tǒng)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。

2.2 基于GA 的LQR 控制器設(shè)計(jì)

國(guó)外研究人員使用遺傳算法優(yōu)化LQR 控制器的參數(shù)，并證明了該方法的可行性。Nagarkar M P 等[7]使用遺傳算法搜索LQR 控制器的最優(yōu)權(quán)重矩陣參數(shù)，將優(yōu)化后的LQR 控制器應(yīng)用在麥弗遜式懸掛系統(tǒng)，通過(guò)仿真驗(yàn)證了優(yōu)化后的LQR 控制器能顯著提高懸掛系統(tǒng)的性能表現(xiàn)；Bhushan R 等[8]將遺傳算法優(yōu)化后的LQR控制器應(yīng)用在倒立擺系統(tǒng)，通過(guò)仿真驗(yàn)證了優(yōu)化后的LQR 控制器相對(duì)于傳統(tǒng)LQR 控制器有更好的性能表現(xiàn)。

本文將R矩陣設(shè)為單位陣，Q矩陣設(shè)為對(duì)角陣，使用遺傳算法僅對(duì)Q矩陣進(jìn)行優(yōu)化，即

遺傳算法的優(yōu)化流程圖如圖2 所示，具體操作步驟為：

圖2 遺傳算法優(yōu)化流程圖

1）產(chǎn)生初始種群；

2）將種群中的個(gè)體賦值給加權(quán)矩陣Q中的對(duì)角線元素q11、q22、q33、q44；

3）計(jì)算反饋矩陣K；

4）運(yùn)行橋式起重機(jī)模型，并計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值；

5）判斷是否滿足遺傳算法的終止條件。若滿足，則退出遺傳算法，并保存最優(yōu)個(gè)體。若不滿足，則執(zhí)行步驟6）；

6）對(duì)種群進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，產(chǎn)生新的種群，并重新從步驟2）開(kāi)始運(yùn)行遺傳算法。

遺傳算法的參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

表1 遺傳算法參數(shù)設(shè)置

遺傳算法優(yōu)化過(guò)程中，個(gè)體適應(yīng)度和當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體如圖3 所示。可以看出，隨著種群的不斷進(jìn)化，最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度逐漸減小，最終收斂到0.438 506。求得的最優(yōu)個(gè)體為2 498.9，5 000.8，1 044.2，2 793.3，代入加權(quán)矩陣Q中，可求得最優(yōu)反饋矩陣K為

圖3 個(gè)體適應(yīng)度和當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體

3 仿真結(jié)果和分析

選取小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)為：M=500 kg，m=1000 kg，l=5 m，bx=0.5，g=9.8 m/s2。根據(jù)狀態(tài)空間方程，在MatlabSimulink 中建立未加控制器時(shí)的小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)模型如圖4 所示。

圖4 小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)模型

設(shè)置仿真時(shí)間為10 s，給系統(tǒng)施加階躍信號(hào)，得到小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖5 所示。由小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)響應(yīng)曲線可知，在階躍輸入下，小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)做變加速直線運(yùn)動(dòng)，其位移處于不穩(wěn)定狀態(tài)。小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)引起了貨物的擺動(dòng)，貨物擺動(dòng)的最大幅度達(dá)到10°。由于貨物和小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)之間相互耦合，貨物的擺動(dòng)導(dǎo)致了小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的速度曲線呈現(xiàn)小幅波動(dòng)上升的趨勢(shì)。

圖5 小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

將小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物系統(tǒng)模型封裝為子系統(tǒng)，添加LQR 控制器并建立小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)模型，如圖6 所示。

圖6 小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)模型

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，選擇Q=diag(2 500，0，2 500，0) ，R=1，計(jì)算獲得反饋矩陣K=[50 384.84 148.15 1 213.11]。設(shè)置仿真時(shí)間為50 s，給系統(tǒng)施加階躍信號(hào)，運(yùn)行系統(tǒng)模型，得到小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖7 所示。

圖7 小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

由小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線可知，加入LQR 控制器后，小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)經(jīng)過(guò)24.1 s 到達(dá)了目標(biāo)位置附近，這時(shí)小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的速度并不為0，而是在一定范圍內(nèi)來(lái)回波動(dòng)。小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)引起了貨物的擺動(dòng)，貨物在1.36 s 時(shí)達(dá)到最大擺角-8.9°。小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最大位移達(dá)到11.81 m，其位移曲線具有18.1%的超調(diào)量，這給系統(tǒng)帶來(lái)了一定的沖擊。小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)，貨物擺角為-4°，之后貨物擺角曲線呈現(xiàn)衰減振蕩趨勢(shì)，但衰減幅度很小。由此可見(jiàn)，加入LQR 控制器后，系統(tǒng)性能有所改善，但是小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)位移和貨物擺角仍不能完全穩(wěn)定下來(lái)。這是由于設(shè)計(jì)LQR控制器時(shí)，其加權(quán)矩陣Q的選取具有任意性，不能使LQR 控制器的性能達(dá)到最優(yōu)。

下面選用經(jīng)遺傳算法優(yōu)化后的加權(quán)矩陣Q設(shè)計(jì)LQR 控制器，使用該矩陣計(jì)算出的最優(yōu)反饋矩陣為K=[49.98 391.72 110.86 1 053.8]。設(shè)置仿真時(shí)間50 s，運(yùn)行系統(tǒng)模型，得到優(yōu)化后的小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖8 所示。

圖8 優(yōu)化后的小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

在階躍輸入下，小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的最大位移達(dá)到10.42 m，其位移曲線的超調(diào)量為4.2%。當(dāng)誤差帶取5%時(shí)，小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)在16.57 s 時(shí)到達(dá)目標(biāo)位置附近。貨物擺動(dòng)角度在1.141 s 時(shí)達(dá)到最大值-6.87°。小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)，貨物擺角為-0.67°，此后貨物在0°附近小幅衰減振蕩且最大角度不超過(guò)±2.09°。經(jīng)遺傳算法優(yōu)化后，LQR 控制器的控制效果有了非常顯著的改善，基本可以實(shí)現(xiàn)小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)的定位和貨物的防擺控制。

綜上所述，LQR 控制器可以較好地提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)處于穩(wěn)定狀態(tài)。但是人為選取的加權(quán)矩陣Q，并不能保證LQR 控制器的控制效果最優(yōu)。比較而言，基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器可以使小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)位移曲線的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間分別降低76.8%和30.7%，貨物最大擺動(dòng)角度降低49.3%。由此可見(jiàn)，基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器能夠使橋式起重機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性得到提高。

4 總結(jié)

針對(duì)LQR 控制器的加權(quán)矩陣QR選取具有任意性的問(wèn)題，設(shè)計(jì)基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器。應(yīng)用Matlab 軟件搭建小車運(yùn)行機(jī)構(gòu)貨物系統(tǒng)的Simulink 模型，并對(duì)LQR 控制器和最優(yōu)LQR 控制器的控制效果進(jìn)行仿真分析。結(jié)果表明：與LQR 控制器相比，基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器能夠更好地實(shí)現(xiàn)貨物的防擺定位，有更好的快速性和穩(wěn)定性，解決了依靠經(jīng)驗(yàn)優(yōu)化方法產(chǎn)生的隨機(jī)性和耗時(shí)性等問(wèn)題。