車橋錐齒輪加工誤差修正方法

李聚波,李天興,代 震,張 陽,夏鑫博

(河南科技大學 機電工程學院,河南 洛陽 471003)

0 引言

作為汽車動力傳動系統中的關鍵零件,汽車驅動橋齒輪的齒面精度和嚙合質量是影響汽車運行動力性、平穩性等性能的重要因素[1-2]。汽車齒輪的齒面精度和傳動質量控制一直是專家學者廣泛關注和研究的對象,成為汽車齒輪制造過程中的關鍵技術和制高點。

國內外專家、學者對錐齒輪齒面修正的理論和方法進行了大量研究。文獻[3]基于錐齒輪銑床提出了一種通過精確控制數控銑齒機運動軸來實現齒面偏差高階修正的方法。文獻[4]通過對汽車驅動橋齒輪進行齒形修正,確定了在CNC加工汽車驅動橋齒輪的最優刀頭幾何形狀與機床參數設置。文獻[5]通過傳動誤差模型及對加工參數進行敏感性分析,采用最小二乘法實現加工參數的修正,提高齒面的加工精度。文獻[6]分析加工參數誤差對齒面拓撲結構的影響程度,并建立修正模型,通過算例分析完成齒面修正。文獻[7-8]通過計算出齒面失配系數,建立齒面等效偏差與加工參數間的關系,完成ease-off拓撲修正模型構建,實現了小輪加工參數的修正。文獻[9-10]建立齒面誤差修正模型,通過廣義逆矩陣的最小二乘法解超越方程組,獲得機床調整參數的修正量。

此外,文獻[11]基于變形齒接觸分析(deformed tooth contact analysis, DTCA)對未修形鍛造齒輪的表面偏差測量,獲得了輪齒變形量,并用緩和法進行齒接觸分析完成修正。文獻[12]開發了一個優化模型來求解多項式系數,采用輔助齒面修正運動設計的高階傳輸誤差(higher-order transmission error, HTE)螺旋錐齒輪滿足要求。文獻[13]推導出大小輪的修正齒面,通過數值算例驗證了有限元分析(finite element analysis, FEA)和齒面接觸分析(tooth contact analysis, TCA)方法對齒面修正方法的有效性。文獻[14]基于曲率修正,根據預定相對傳動運動修正小齒輪齒面的完全共軛齒輪表面進行齒面修正。文獻[15-16]針對成形法加工準雙曲面齒輪齒形修正技術展開研究,通過調整刀位與齒坯安裝角的方式來實現齒形角的等效修正。文獻[17]通過預置傳動誤差及拋物線修形參數,設計小輪法向自由ease-off拓撲修形曲面,建立小輪拓撲修形齒面模型,基于最小二乘法完成修正。文獻[18]根據加工參數位置的敏感性系數求得齒面誤差影響較大的加工參數修正量。文獻[19]利用高階運動系數表示的通用加工參數進行弧齒錐齒輪的精確ease-off齒面反調修正。以上研究取得了很多有益成果,為車橋錐齒輪齒面的數字化反調修正提供重要的參考依據。

提高車橋錐齒輪的齒面幾何精度及傳動質量,實質上就是最大限度地減小實際加工齒面同理論設計齒面之間的差異。近年來,基于一維測頭的齒輪測量中心的出現,打破了國外在齒面檢測與修正等關鍵環節的技術封鎖,能夠簡便有效地完成復雜齒面的檢測,但在基于一維測頭齒面檢測修正技術方面的研究還很少。鑒于此,本文結合使用一維測頭的齒輪測量中心,在通過基于一維測頭檢測得到實際齒面數據(測頭球心軌跡)的基礎上,從數學分析和工程反求的角度,進行了齒面幾何結構的數字化修正,實現了齒面偏差最小化和齒面幾何精度的控制,對于提高車橋錐齒輪的齒面幾何精度和傳動質量具有重要的理論意義和實踐價值。

1 理論設計齒面模型的構建

圖1 現代數控銑齒機床的數學模型

車橋錐齒輪齒面的成形過程如同一對準雙曲面齒輪的嚙合過程,齒面與刀盤切削面是一對共軛曲面。因此,理論設計齒面及其法線方向可由已知的銑齒刀盤幾何形狀以及銑齒刀盤和輪坯之間的位置運動關系運用嚙合原理及運動學方法建立。現代數控銑齒機床的數學模型如圖1所示。

數控機床通過控制3個直線軸(X、Y和Z)和2個旋轉軸(A和B)的相對位置和運動軌跡(機床加工參數:X*、Y*、Z*、A和B),確保齒面展成運動的準確性。St(Xt,Yt,Zt)和Sw(Xw,Yw,Zw)分別與刀盤和齒輪固連;Sh(Xh,Yh,Zh)和Sm(Xm,Ym,Zm)分別固連于Y方向滑臺和Z方向滑臺;Sf(Xf,Yf,Zf)和Sp(Xp,Yp,Zp)為輔助坐標系。Oh在Sm中的位置用坐標(X*,Y*,-Z*)表示,描述X軸和Y軸自由度;轉角γm(輪坯根錐角)描述B軸旋轉自由度;Sw繞坐標軸Xp的旋轉角度θ描述A軸旋轉自由度。

車橋錐齒輪加工過程中,刀盤的位置、輪坯與機床的相對位置用Φj(j=1,2,…,m為參數個數)表示,理論齒面的具體推導過程可參考文獻[20]。車橋錐齒輪的理論齒面及單位法矢表示為:

(1)

其中:(θ,φ)為曲面坐標,由參數Φj決定。

2 齒面偏差與機床修正的本質聯系

使用一維測頭的齒輪測量中心技術,能夠完成復雜齒面的檢測,初步解決了三維測頭價格昂貴、齒面檢測與修正等關鍵環節保密不公開的問題[21]。因此,本文選擇一維測頭完成齒面偏差測量。

圖2 4個關鍵型面模型

在車橋錐齒輪設計加工檢測等過程中,存在4個關鍵的齒面型面:理論設計齒面R、實際加工齒面R*、測頭中心理論軌跡面Re(理論設計齒面的等距面)、測頭中心實際運動軌跡面Re*(實際加工齒面的等距面)。由此建立如圖2所示的4個關鍵型面模型。

齒面偏差δ通常在理論設計齒面R的法線方向n上進行度量,定義為實際加工齒面R*偏離理論設計齒面R的法向距離,P0P*是齒面偏差δ的幾何描述。由于理論設計齒面R上的每1點均有唯一1個齒面偏差δ與之對應,所以認為齒面偏差δ是曲面坐標(θ,φ)的函數,而(θ,φ)又由機床加工參數Φj決定,因此實際齒面可以寫為:

R*=R+δ(θ,φ;Φj)·n。

(2)

齒面檢測后得到測頭中心的實際運動軌跡面,采用NURBS曲面重構的方法,用Re*(u,v)(u,v為重構參數)表示。假定測頭半徑為ρ,則測頭中心的實際運動軌跡面Re*可表示為:

Re*(u,v)=R*+ρ·n*,

(3)

(4)

Re*-Re=R*-R+ρ·(n*-n)。

(5)

將式(2)代入式(5)后,兩邊與法矢n作點積,得:

(Re*(u,v)-Re(θ,φ;Φj))·n(θ,φ;Φj)=δ(θ,φ;Φj)+Δε,

(6)

其中:τ為理論法線與實際法線的夾角,Δε=ρ·(cosτ-1)≈ρτ2/2。一般情況下,Δε較小,可以忽略。考慮測頭半徑補償影響,則有:

R(θ,φ;Φj)+(ρ+δ(θ,φ;Φj))·n(θ,φ;Φj)≈Re*(u,v),

(7)

式(7)為理論設計齒面、實際加工齒面以及偏差齒面的數學關系,揭示了齒面偏差的精確計算與機床參數調整修正的本質關聯。當進行齒面偏差計算時,測頭半徑ρ和機床加工參數Φj已知,理論設計齒面R和單位法矢n由式(1)確定,測頭中心實際軌跡面Re*經過齒面檢測并曲面重構后由(u,v)確定。因此,式(7)就是齒面偏差精確計算的方程表達式,它是一個以δ、u、v為設計變量的非線性方程組,運用牛頓拉斐森方法優化迭代求解即可得到法向偏差δ。

3 加工誤差的修正反饋

3.1 誤差修正模型

圖3 齒面數字化修正原理

圖3為齒面數字化修正原理圖。數字化修正是基于齒面檢測數據,通過不斷改變理論機床加工參數Φj,使理論設計齒面R逐步向實際加工齒面Re*靠攏并貼合,在貼合過程中通過不斷改變機床加工參數得出不同的修正齒面,理論設計齒面與實際加工齒面充分吻合時的齒面偏差達到最小,最終得到實際加工齒面所對應的一組實際機床加工參數Φj*。

根據美國齒輪制造商協會標準(AGMA STANDARD),選擇45個測量點能夠充分表達出加工齒面的拓撲形狀。因此,被測齒面一般選取45(5*9)個網格點,并用下標i=1,2,…,45表示齒面被測點的索引號。假設需要修正的機床參數為ΔΦj(k)(k=1,2,…,n為修正循環計算的次數),Φj(k)=Φj+ΔΦj(k)表示第k次修正循環后的機床參數,是機床參數與對應修正項之和。以ΔΦj(k)、θi及φi為設計變量,尋求最優機床參數Φj(*)使得齒面法向偏差δi(k)的平方和最小。根據式(7)可構建數字化修正模型:

(8)

由于齒面幾何精度的影響因素不僅僅是機床加工參數Φj,修正后的齒面與理論設計齒面不可能完全重合,所以式(8)是一個非線性優化問題。為此,通過最小二乘法的數值優化迭代求解可以得到機床參數修正量ΔΦj(*)及其對應的理論齒面參數θi和φi,進而確定齒面偏差最小時對應的最優機床加工參數:

Φj(*)=Φj-ΔΦj(*),

(9)

3.2 修正反饋策略

傳統機械銑齒機床的調整修正是現代數控銑齒機床運動參數修正的基礎,可通過等效轉換關系確定數控銑齒機加工參數。假設傳統機械銑齒機床的理論最優機床加工參數為Φj,則理論設計齒面位置表達為(x(θ,φ;Φj),y(θ,φ;Φj),z(θ,φ;Φj)),理論法矢為(nx(θi,φi;Φj),ny(θi,φi;Φj),nz(θi,φi;Φj)),經齒面重構和曲面匹配后的實際測量齒面的位置表示為(x*(ui,vi),y*(ui,vi),z*(ui,vi))。假設第k次修正循環的機床參數修正量為ΔΦj(k),此時的機床加工參數表示為Φj(k)=Φj+ΔΦj(k)。根據式(7)所示的齒面偏差與機床加工參數的映射關系可得到:

(10)

其中:i=1,2,…,45代表齒面被測點的索引號。對于任意給定的一組機床加工參數Φj(k),方程組(10)由3個方程,3個未知數θi、φi和δi組成,較容易求解。在此基礎上,根據式(9)可求解最優機床加工參數。

依據傳統機床加工參數與數控機床加工參數的等效轉換關系,現代數控機床各聯動數控軸運動的最優加工參數可確定為:

(11)

其中:φc表示搖臺轉角,aij(i,j=1,…,4)為機床轉換系數(見文獻[19])。

4 實驗驗證

圖4 數字化制造系統

本文采用東風汽車系列的車橋錐齒輪的數字化制造過程驗證本文修正理論和方法的正確性。試驗所搭建的數字化制造系統由中心計算機、國產JD45+齒輪測量中心和YK2260T數控錐齒輪銑床組成,如圖4所示。YK2260T數控錐齒輪銑床的數控軸采用伺服驅動,可采用無間隙插補,加工精度高,能滿足實驗要求。JD45 +齒輪測量中心的螺旋線測量不確定度U=1.5 m,漸開線測量不確定度U=1.0 m,總偏差重復性小于等于0.5 m,滿足測量實驗的要求。

以小輪為例,將小輪初始輪坯幾何參數(見表1)傳輸至中心計算機,在此基礎上,計算相應的最優機床加工參數(見表2),初始數據分別傳輸到齒輪測量中心JD45+和數控銑齒機YK2260T。

表1 小輪初始輪坯幾何參數

表2 小輪理論最優機床加工參數

數控銑齒機根據中心計算機傳送的幾何參數和理論最優機床加工參數,基于齒面數控展成模型,自動生成輪坯齒面的數控展成數控加工代碼,控制各軸運動至正確位置開始小輪齒面的第一次試切,如圖5所示。

圖5 小輪齒面第一次試切

將首次試切后的輪坯安裝在齒輪測量中心上,選取測頭直徑為2 mm。齒輪測量中心根據中心計算機傳送的輪坯幾何參數和理論最優機床加工參數,規劃齒面測量區域。理論設計齒面數字化處理后,獲取一維測頭的理論運動軌跡坐標。系統根據此坐標控制各運動軸完成小輪的齒面檢測,如圖6所示。

圖6 小輪齒面檢測

為了減少安裝誤差和熱變形誤差對小輪測量結果的影響,從所有齒中選擇3～4組對稱齒完成測量,然后計算平均偏差,并將平均偏差作為被測齒輪的齒面偏差。此外,平均偏差還包括徑向跳動的誤差和齒輪的基準誤差,是后續修正過程的基礎數據。齒面檢測后獲取一維測頭的實際運動軌跡坐標,測量結果經識別和補償后,小輪凹面和凸面變換矩陣中的α和Δx分別為0.005°、-0.004 8 mm和0.008 2°、-0.002 5 mm,在此基礎上,準確計算出齒面偏差,第1次試切小輪齒面偏差拓撲圖如圖7所示。圖7中,粗實線表示理論齒面,細實線和細虛線分別表示正向偏差和負向偏差,凸面和凹面的最大偏差分別為0.134 9 mm和0.241 1 mm,小輪齒面偏差不符合工程設計要求,需對機床參數進行修正。根據式(10)的數字化修正模型進行數值優化,求解得到機床參數值的最優修正量,如表3所示。

圖7 第1次試切小輪齒面偏差拓撲圖

表3 機床參數值的最優修正量

中心計算機將表3的修正量傳輸至數控銑齒機后可進行第2次試切。小輪齒面的最大正向偏差出現在凹面大端齒頂和凸面小端齒根,初步判斷修正時切削刀盤應該最先切削凹面大端齒頂和凸面小端齒根等位置。圖8為開始切削時刀片和齒面之間的第一個接觸位置。由圖8可以看出:切削時的第一接觸位置與齒面最大偏差顯示位置一致。因此,可以證明修正理論和最優機床參數修正量是正確的。

第2次試切后的小輪齒面偏差拓撲圖如圖9所示。由圖9可以看出:小輪凸面和凹面處的最大偏差分別降低至-0.012 7 mm和0.031 6 mm,齒面的總體偏差趨勢得到了有效的降低。雖然小輪的齒面仍存在偏差,但實際齒面與理論齒面基本一致,滿足工程要求,無需進一步修正。

圖8 小輪修正的切削位置

圖9 第二次試切后的小輪齒面偏差拓撲圖

5 結論

本文提出了一種車橋錐齒輪加工誤差數字化修正方法。通過對車橋錐齒輪齒面進行加工誤差修正,小輪凸面和凹面加工誤差的最大偏差分別從0.134 9 mm降低至-0.012 7 mm,從0.241 1 mm降低至0.031 6 mm,小輪齒面的總體偏差趨勢得到了有效的降低。該方法避免了傳統制造模式中齒面接觸精度檢驗及試切的繁瑣過程,通過機床加工參數的數字化修正改善實際加工齒面的幾何精度,實現了對齒面接觸精度的間接控制,有效提高了齒面幾何精度,齒面質量更加穩定,為高品質車橋錐齒輪制造精度的評價與提高提供了有效途徑。