基于傾斜陣的距離與方位聯(lián)合估計(jì)

王卓越 張博 李宇

(1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 北京 100190)

(2 中國科學(xué)院先進(jìn)水下信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

(3 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

0 引言

陣不變量方法是一種利用淺海環(huán)境中寬帶信號(hào)頻散效應(yīng)實(shí)現(xiàn)聲源定位的方法[1]。與波導(dǎo)不變量相比，陣不變量方法不用形成聲強(qiáng)的干涉結(jié)構(gòu)就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)聲源距離的估計(jì)[2]，具有實(shí)時(shí)性和魯棒性，因此，成為國內(nèi)外關(guān)注的熱點(diǎn)。

陣不變量方法具有實(shí)時(shí)穩(wěn)健的優(yōu)點(diǎn)，但該方法不能直接應(yīng)用于寬帶連續(xù)信號(hào)聲源的定位問題上，寬帶連續(xù)信號(hào)的多徑到達(dá)混疊在一起，提取出相互分離的波束到達(dá)角難度大，無法實(shí)現(xiàn)陣不變量的解算。盲反卷積技術(shù)的提出使陣不變量方法成功應(yīng)用在信號(hào)類型未知的聲源定位場景中[3]。文獻(xiàn)[4]研究了陣列傾斜對(duì)該方法定位精度的影響，發(fā)現(xiàn)陣列傾斜會(huì)嚴(yán)重影響該方法的定位效果；提出了一種自校正算法，用來改善二維平面內(nèi)由陣列傾斜角度引起的定位精度下降的問題。文獻(xiàn)[5]利用未知陣列傾斜角度的傾斜陣列研究了匹配場方法和陣不變量方法的定位效果，發(fā)現(xiàn)利用淺海頻散效應(yīng)進(jìn)行定位的無源定位方法都對(duì)陣列傾斜非常敏感，匹配場方法由于不具備對(duì)陣列傾斜角度的校正能力，在陣列傾斜且陣列傾角度未知的情況下無法實(shí)現(xiàn)有效的定位，陣不變量方法可以利用自校正能力對(duì)垂直陣的陣列傾斜進(jìn)行實(shí)時(shí)的修正。文獻(xiàn)[6]利用傾斜角度已知的陣列研究了傾斜陣匹配場方法的定位效果，發(fā)現(xiàn)在陣元與孔徑相同的條件下，傾斜陣由于具有等效的水平孔徑，定位精度明顯優(yōu)于垂直陣。文獻(xiàn)[7]利用螺旋線陣和傾斜陣實(shí)現(xiàn)了匹配場方法的三維定位。

在已有的利用傾斜陣陣不變量方法定位的研究中僅分析了聲源與陣列傾斜平面共面時(shí)的簡單情況，對(duì)陣列傾斜平面與聲源非共面情況下的研究仍非常欠缺。在前人的研究中，自校正算法僅能對(duì)聲源距離進(jìn)行估計(jì)，無法獲得聲源的方位信息。針對(duì)上述問題，本文在陣不變量的自校正算法的基礎(chǔ)上，構(gòu)建傾斜陣被動(dòng)定位的三維模型，并提出一種基于傾斜陣的方位距離聯(lián)合估計(jì)算法，算法首先利用傾斜陣給出目標(biāo)的初步距離估計(jì)值，利用代價(jià)函數(shù)匹配補(bǔ)償陣列傾角在聲源-接收平面的投影量，修正測距誤差的同時(shí)用過陣列傾角投影量反向估計(jì)聲源方位，利用傾斜陣同時(shí)對(duì)聲源目標(biāo)的方位和距離要素進(jìn)行估計(jì)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行，具有較好的實(shí)時(shí)性，利用垂直陣產(chǎn)生的較小傾斜角度實(shí)現(xiàn)了聲源方位的有效估計(jì)，這對(duì)垂直陣的聲源定位有著重要意義。

1 基本模型

陣不變量方法是一種不需要前向計(jì)算模型且具有魯棒性的被動(dòng)定位方法。該方法利用平面波波束形成技術(shù)獲取波束角度和傳播時(shí)間上相互分離的多徑相干到達(dá)，從中提取聲源的距離信息，已有研究中忽略了聲源與傾斜陣存在夾角的復(fù)雜情況，僅針對(duì)二維平面內(nèi)的簡單模型研究自校正算法的性能。現(xiàn)將該問題擴(kuò)展到三維模型，本節(jié)首先介紹三維空間內(nèi)傾斜陣基于盲反卷積技術(shù)的陣不變量方法。

1.1 傾斜陣定位模型

傾斜陣與聲源位置的幾何模型如圖1 所示。陣列不發(fā)生傾斜時(shí)，陣列與坐標(biāo)軸z軸重合，坐標(biāo)原點(diǎn)O定義為陣列傾斜角度Δθ為0 時(shí)陣列延長線與水面的交點(diǎn)。設(shè)陣元數(shù)為N，陣元間距為d，傾斜陣的中心陣元位于z軸上，坐標(biāo)為(0,0,zc)，假設(shè)陣列在水流流速作用下發(fā)生傾斜，陣列傾斜角度為Δθ，θ為陣列的觀測角度，觀測角度θ以順時(shí)針為正，陣列傾斜角Δθ以逆時(shí)針為正。寬帶連續(xù)聲源位于x軸正半軸，其坐標(biāo)為(x0,0,0)。聲源距離rs是聲源目標(biāo)相對(duì)于傾斜陣的中心參考陣元的水平距離，聲源方位φ從傾斜陣端射方向開始計(jì)算，以逆時(shí)針方向?yàn)檎鐖D1所示。

將z軸與x軸形成的平面稱為“聲源-接收平面”，傾斜陣張成的平面與x軸形成的夾角記為聲源方位角φ，陣列傾斜角在聲源-接收平面內(nèi)的投影記為ΔΘ，當(dāng)陣列傾斜角度較小時(shí)(如Δθ ＜30°)，ΔΘ滿足[4-5]：

陣元n的編號(hào)滿足n ∈[1,N]，設(shè)m=(N+1)/2-n，則傾斜陣第n個(gè)陣元的坐標(biāo)可以表示為

1.2 傾斜陣陣不變量方法

淺海波導(dǎo)中，坐標(biāo)為rs=(x0,0,0)的點(diǎn)聲源輻射一個(gè)信號(hào)s(t)的傅里葉變換表示為[8]

其中，φs(ω)是聲源信號(hào)的未知相位分量。此時(shí)，傾斜陣第n個(gè)陣元接收信號(hào)pn(t)的頻域信號(hào)Pn(ω)為

其中，G(rn,rs,ω)為聲源與傾斜陣(1 ≤n≤N)的第n陣元之間時(shí)域格林函數(shù)g(rn,rs,t)的傅里葉變換。將波束轉(zhuǎn)向特定方向θ提取聲源信號(hào)，并捕獲其相位分量φs(ω)，波束輸出的頻域表達(dá)式為

其中，τn(θ)表示陣元n接收到的來自θ方向入射路徑的相對(duì)時(shí)延，T(θ)為入射角度為θ的多徑到達(dá)傳播到參考陣元的傳播時(shí)延，利用波束輸出的相位消除陣列接收信號(hào)Pn(ω)中聲源信號(hào)的未知相位分量，通過歸一化得到頻域格林函數(shù)的估計(jì)值：

其中，聲速取c=1500 m/s，在淺水環(huán)境中β ≈1，公式(8)可化簡為?rt=-c/χt。通過波束-時(shí)間域的不同到達(dá)值解算出傾斜陣陣不變量χt：

2 方位與距離聯(lián)合估計(jì)方法

基于傾斜陣的方位與距離聯(lián)合估計(jì)方法主要由傾斜陣的陣不變量定位方法和三維模型下的自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法兩部分組成。算法首先通過傾斜陣的陣不變量方法對(duì)聲源距離進(jìn)行初步估計(jì)，初步估計(jì)結(jié)果通常存在較大的估計(jì)誤差，利用自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法修正初步測距結(jié)果，得到聲源距離估計(jì)的精確值。并利用代價(jià)函數(shù)給出陣列傾角投影量的估計(jì)值Δ ?Θ，結(jié)合傳感器估計(jì)出的陣列傾角Δ?θ，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)方位進(jìn)行反向求解。圖2 為基于傾斜陣的方位與距離聯(lián)合估計(jì)算法流程圖。后文中統(tǒng)一簡稱為“聯(lián)合估計(jì)算法”。

2.1 波束峰值點(diǎn)分段搜索算法

利用傾斜陣波束-時(shí)間偏移圖中的波束峰值點(diǎn)估計(jì)陣不變量，至少需要得到4 組相互獨(dú)立的波束-時(shí)間數(shù)據(jù)(sinθi,ti)，利用分段峰值搜索的方式找出波束-時(shí)間偏移圖中的多個(gè)峰值點(diǎn)。

從波束隨時(shí)間的偏移圖像上可以總結(jié)出規(guī)律，一般情況下，每個(gè)波束峰值點(diǎn)都在該波束亮點(diǎn)的中央，將半個(gè)波束亮點(diǎn)的時(shí)間長度記為Δthalf，下面對(duì)波束峰值點(diǎn)的分段搜索算法進(jìn)行簡要描述：

第一步：對(duì)所有的波束-時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行全局搜索，找出全部波束數(shù)據(jù)的峰值點(diǎn)記為(sinθ1,t1)，波束峰值點(diǎn)計(jì)數(shù)值i=2。

第二步：在所有滿足t ＞ti+2Δthalf的波束-時(shí)間數(shù)據(jù)中重新搜索峰值點(diǎn)記為(sinθi,ti)，波束峰值點(diǎn)計(jì)數(shù)值i=i+1。

第三步：重復(fù)第二步，直至所有的波束峰值點(diǎn)全部被找出，結(jié)束搜索。利用多組波束-時(shí)間數(shù)據(jù)計(jì)算陣不變量，根據(jù)式(8)對(duì)聲源目標(biāo)的距離初步估計(jì)。

2.2 自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法

在文獻(xiàn)[4]提出的自校正算法的基礎(chǔ)上，本文提出了一種自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法，改善了文獻(xiàn)[4]中自校正算法僅能對(duì)聲源距離信息進(jìn)行解算的問題，實(shí)現(xiàn)了對(duì)聲源方位與距離的同步估計(jì)。根據(jù)圖1 所構(gòu)建的三維模型，自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法的具體步驟可以描述為

步驟一：在陣列角度搜索范圍內(nèi)選取一個(gè)陣列傾角Δθ，并計(jì)算調(diào)整后的波束角度在聲源-接收平面內(nèi)的投影：

步驟二：采用最小二乘估計(jì)方法對(duì)修正后波束角度計(jì)算陣不變量：

T=[(t1,t2,···,tK)T1T]，1 是1× K維 的向量，1=[1,1,···,1]，波束-時(shí)間數(shù)據(jù)可以利用2.1 節(jié)提到的分段搜索方法獲得。

步驟三：再利用修正后陣不變量估計(jì)值反向求解波束角度投影量：

其中，K是波束偏移圖中波束峰值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

結(jié)合式(1)和式(16)，可以推出：

步驟六：利用傳感器對(duì)陣列傾角Δθ進(jìn)行估計(jì)，假設(shè)通過傳感器估計(jì)出的陣列傾角的無偏估計(jì)量為Δ?θ，此時(shí)目標(biāo)的方位的估計(jì)值也可以求解：

3 系統(tǒng)仿真與性能分析

本節(jié)使用仿真驗(yàn)證聯(lián)合估計(jì)算法的有效性和合理性，預(yù)先假設(shè)利用傳感器估計(jì)出的陣列傾角是無偏估計(jì)量，在此基礎(chǔ)上對(duì)聯(lián)合估計(jì)算法性能進(jìn)行分析。首先通過仿真驗(yàn)證算法的有效性，隨后研究陣列傾斜角度對(duì)測距精度的影響以及陣列傾斜角度和聲源方位對(duì)聯(lián)合估計(jì)算法的影響。

3.1 聯(lián)合估計(jì)算法性能驗(yàn)證

使用KRAKEN 對(duì)典型淺水環(huán)境下傾斜陣的情況進(jìn)行仿真，淺海波導(dǎo)的參數(shù)如圖3 所示。采用Pekeries 模型，水深H=100 m，聲速cw=1500 m/s，密度ρw=1000 kg/m3，海底介質(zhì)聲速cb=1700 m/s，密度ρb=1900 kg/m3。

圖3 典型淺水環(huán)境參數(shù)Fig.3 Typical shallow water environmental parameters

聲源信號(hào)采用400～1200 Hz 的寬帶連續(xù)噪聲信號(hào)，采樣頻率為20 kHz，帶內(nèi)信噪比為20 dB。聲源坐標(biāo)為(2000,0,0)，聲源到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離r0為2000 m，接收陣列陣元數(shù)為25，陣元間距設(shè)為2 m。陣元分布在26～74 m 深度處，傾斜陣的中心參考陣元坐標(biāo)為(0,0,50)，垂直陣的傾斜角度為5°。聲源與傾斜陣平面構(gòu)成的夾角φ為60°。圖4(a)是聲源方位角為60°時(shí)陣列接收到的格林函數(shù)理論值，圖4(b)是聲源方位角為60°時(shí)通過盲反卷積提取到的格林函數(shù)圖像，圖4(c) 是利用圖4(b)格林函數(shù)得到的波束-時(shí)間偏移圖像。

圖4 陣列傾斜平面與聲源成60°夾角時(shí)格林函數(shù)圖像和波束-時(shí)間偏移圖Fig.4 Green’s function and beam-time migration diagram when the incline angle between array inclined plane and sound source is 60°

圖4(c)前4 個(gè)波束峰值點(diǎn)時(shí)間分別是337 ms、343 ms、353 ms、423 ms，對(duì)應(yīng)陣列觀測角正弦值-0.031、0.164、-0.122、0.306。通過最小二乘方法估計(jì)陣不變量χt并解算聲源距離。直接利用傾斜陣進(jìn)行測距的估計(jì)結(jié)果為2911 m，相對(duì)誤差為45%。

通過自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法對(duì)陣列傾角在聲源-接收平面內(nèi)的投影值進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)結(jié)果如圖5 所示，Δθcosφ的估計(jì)值為2.5°，經(jīng)過算法校正后距離估計(jì)值r為2171 m，相對(duì)誤差降低到8.6%，比校正前減少了36.4%。在已知陣列傾角為Δθ為5°的情況下，求得方位角的估計(jì)值?φ為60°。由于傾斜陣存在固有的左右舷模糊問題，此處僅考慮聲源方位為0°～180°之間的情況。

圖5 方位角為60° 時(shí)聯(lián)合自校正算法的代價(jià)函數(shù)Fig.5 The cost function of self-calibrate algorithm at azimuth angle of 60 degrees

3.2 聯(lián)合估計(jì)算法定位精度影響因素的定量分析

聯(lián)合估計(jì)算法的影響因素主要包括陣列的傾斜程度和聲源的方位角，本節(jié)首先分析了陣列傾斜角度對(duì)測距精度的影響，隨后分別研究了陣列傾斜角度和聲源方位這兩個(gè)影響因素對(duì)聯(lián)合估計(jì)算法的影響，對(duì)比處在不同傾斜角度的陣列估計(jì)來自不同方位的聲源位置時(shí)聯(lián)合估計(jì)算法性能的優(yōu)劣。

3.2.1 陣列傾斜程度對(duì)測距精度影響的定量分析

自校正算法的測距性能僅與陣列傾角有關(guān)，本小節(jié)主要分析當(dāng)聲源方位角為0°時(shí)陣列傾斜程度對(duì)測距精度產(chǎn)生的影響，圖6 分別是傾斜角度Δθ為0°、1°、3°、5°、10°、20°時(shí)傾斜陣接收到的波束-時(shí)間偏移圖像。圖6的各子圖中紅色的點(diǎn)是波束-時(shí)間偏移圖中波束峰值點(diǎn)的實(shí)際位置，藍(lán)色的點(diǎn)是修正后波束峰值點(diǎn)的位置，黑實(shí)線為修正前的擬合曲線(通過紅色點(diǎn)擬合出的橢圓曲線)，黑色虛線是修正之后的擬合曲線(通過藍(lán)色點(diǎn)擬合出的橢圓曲線)。可見，隨著陣列傾斜角度的增大，修正前的擬合曲線(黑實(shí)線)對(duì)稱軸逐漸偏離sinθ=0，經(jīng)過自校正算法的校正，擬合曲線(黑虛線)重新回歸sinθ=0 這條對(duì)稱軸。

圖6 陣列傾斜程度對(duì)波束時(shí)間偏移圖的影響Fig.6 Effect of array tilt on beam-time migration pattern

表1 匯總了不同陣列傾斜角度下校正前后的測距精度。從表1 中結(jié)果可以看出，10°以內(nèi)陣列傾角經(jīng)過自校正算法處理之后，聲源距離估計(jì)精度有較為明顯的提高，測距相對(duì)誤差穩(wěn)定在10%以內(nèi)。若不對(duì)陣列傾角進(jìn)行修正，隨著陣列傾角增大，引起的測距誤差也會(huì)逐漸增大。當(dāng)陣列傾角為70°時(shí)，測距誤差高達(dá)90.1%，通過算法修正之后恢復(fù)到24.6%。當(dāng)陣列傾角超過70°時(shí)，自校正算法失效。

表1 陣列傾斜角度對(duì)測距精度的影響Table 1 Influence of tilt angle on ranging accuracy

3.2.2 聲源方位對(duì)聯(lián)合估計(jì)算法的影響的定量分析

在聲源距離為2 km、陣列傾角Δθ為5°的情況下，分析聲源位于不同方位角時(shí)聯(lián)合估計(jì)算法的精度，結(jié)果如表2 所示。當(dāng)φ處在[30°,80°]區(qū)間內(nèi)，直接利用傾斜陣測距存在較大的估計(jì)誤差，且無法估計(jì)聲源的方位。通過自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法能夠使聲源距離的相對(duì)估計(jì)誤差穩(wěn)定在15%以內(nèi)，方位角的估計(jì)誤差穩(wěn)定在3.5°以內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)聲源方位的有效估計(jì)。當(dāng)φ處在[0°,30°]和[80°,90°] 區(qū)間內(nèi)時(shí)，方位角估計(jì)質(zhì)量顯著下降，存在較大誤差。

表2 聲源方位角對(duì)聯(lián)合估計(jì)算法的影響Table 2 Influence of sound source azimuth on joint range and azimuth estimation method

當(dāng)傾斜陣平面旋轉(zhuǎn)至靠近y軸(即φ ＞80°)或旋轉(zhuǎn)至靠近x軸(即φ ＜30°)時(shí)，都會(huì)存在方位估計(jì)誤差較大的問題，特別是在當(dāng)方位角較小(φ ＜30°)時(shí)，方位角的估計(jì)精度明顯下降，這是由cosφ趨近于1 時(shí)方位角φ的分辨率較低導(dǎo)致的。當(dāng)φ ＞80°時(shí)，cosφ趨近于0，陣列傾斜角度在x軸的投影值也趨近0°，方位角的估計(jì)精度也隨之下降。

圖7 分別是方位角為20°、40°、60°、80°時(shí)聯(lián)合估計(jì)的結(jié)果。由于利用傾斜陣直接測距無法獲得聲源的方位信息，因此假定目標(biāo)在傾斜陣的延展平面內(nèi)。圖7 各子圖中綠色虛線就是傾斜陣平面與水面xOy平面相交線的延長線，黑色十字代表目標(biāo)的真實(shí)位置，藍(lán)色圓點(diǎn)代表直接用傾斜陣陣不變量方法對(duì)目標(biāo)位置的估計(jì)值，紅色圓點(diǎn)表示聯(lián)合估計(jì)算法的位置估計(jì)值。可以看出聯(lián)合估計(jì)算法能夠?qū)Σ煌轿唤嵌饶繕?biāo)實(shí)現(xiàn)有效的位置估計(jì)。

圖7 陣列傾斜角度為5° 時(shí)方位與距離聯(lián)合估計(jì)結(jié)果Fig.7 Joint estimation results of azimuth and range when array tilt angle is 5°

3.2.3 陣列傾斜角度對(duì)聯(lián)合估計(jì)算法的影響的定量分析

在聲源距離為2000 m、方位角φ為30°的條件下，分析當(dāng)陣列的傾角不同時(shí)聯(lián)合估計(jì)算法的精度。仿真結(jié)果如表3 所示。當(dāng)陣列傾斜角度較小時(shí)(如Δθ ＜40°)，方位角的估計(jì)誤差較小，穩(wěn)定在2°以內(nèi)，同時(shí)聲源距離估計(jì)的相對(duì)誤差穩(wěn)定在15%以內(nèi)。隨著陣列傾斜角度的不斷增加，陣列傾斜角度的投影量ΔΘ逐漸無法滿足ΔΘ ≈Δθcosφ的近似表達(dá)式，因此當(dāng)陣列傾角Δθ ＞40°時(shí)，自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法對(duì)方位角余弦值cosφ的估計(jì)值會(huì)存在較大誤差，方位估計(jì)精度明顯下降。當(dāng)陣列傾斜角度Δθ≥60°時(shí)，聯(lián)合自校正算法無法準(zhǔn)確定位，測距精度明顯降低，聲源方位估計(jì)也出現(xiàn)較大偏差。

表3 陣列傾斜角度對(duì)聯(lián)合估計(jì)算法的影響Table 3 Influence of tilt angle on joint range and azimuth estimation method

圖8 表示的是在不同陣列傾斜角度下聯(lián)合估計(jì)算法的定位效果。根據(jù)表3 中多組仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圖8 中的定位效果可以得出結(jié)論，當(dāng)陣列傾斜角度在40°以內(nèi)時(shí)，聯(lián)合估計(jì)算法對(duì)聲源二維平面內(nèi)的位置都具有較高精度的估計(jì)。

圖8 聲源方位角為30°時(shí)方位與距離聯(lián)合估計(jì)結(jié)果Fig.8 Joint estimation results of azimuth and range when the source azimuth is 30°

4 結(jié)論

在淺海環(huán)境下，陣不變量方法的定位精度受到陣列傾斜角度限制，當(dāng)陣列陣元數(shù)一定的情況下，陣列傾斜角度越大，波束時(shí)間偏移圖中波束峰值點(diǎn)的移動(dòng)越嚴(yán)重，聲源距離的估計(jì)誤差越大。自校正算法利用波束時(shí)間偏移圖中波束峰值點(diǎn)隨陣列傾角移動(dòng)的物理規(guī)律對(duì)陣列傾角進(jìn)行有效的估計(jì)和補(bǔ)償，改善傾斜陣測距效果不佳的問題。在該文的仿真條件下，自校正算法能夠?qū)?0°以內(nèi)的陣列傾角進(jìn)行有效修正，提高了傾斜陣聲源測距的準(zhǔn)確性和穩(wěn)健性。

另外，本文提出了一種基于三維模型的自校正方位距離聯(lián)合估計(jì)算法，結(jié)合陣不變量方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)寬帶連續(xù)信號(hào)聲源的定位，能夠同時(shí)獲得聲源的方位和距離要素，但定位性能受到陣列傾斜角度和聲源方位的影響。為此，本文基于簡正波理論，利用KRAKEN 仿真分析了陣列傾斜程度和聲源方位對(duì)基于傾斜陣的聯(lián)合估計(jì)方法定位效果的影響。仿真表明，方位與距離的聯(lián)合估計(jì)算法利用小角度傾斜的垂直陣實(shí)現(xiàn)了二維平面聲源位置的估計(jì)，且具有較高的定位精度。