基于最大熵原理的噴霧液滴粒徑分布預測研究

彭燕祥 張 華 何貴成

(華北電力大學水利與水電工程學院,北京 102206)

0 引言

噴霧是一種復雜的水氣兩相流運動,在許多工程應用中起著重要的作用,如發動機燃料的燃燒[1]、農業噴灌技術[2-3]、噴霧降溫[4-5]等。液滴粒徑分布是噴霧過程的質量、動量和能量輸運的關鍵參數,特別是在農業灌溉以及農藥噴撒方面,霧滴粒徑是影響灌溉液滴以及農藥的飄移、沉降的關鍵因素之一,如何確定噴霧中液滴的粒徑分布已成為一個重要的科學問題。

近年來,國內對農業灌溉以及農藥噴撒過程中霧滴譜的研究逐漸趨熱。噴霧液滴粒徑分布是噴頭設計以及評價霧化效果的重要指標[6],因此,許多學者針對不同的應用場景,對噴嘴霧化的粒徑分布進行了大量的實驗研究。如韓文霆等[6]利用2D視頻雨滴譜儀,對噴頭噴灑液滴的粒徑分布進行了測量。李紅等[7]采用改進的色斑法,對噴頭噴灑雨滴的粒徑分布進行測量。霧滴的分布特性通常用霧滴譜表示,霧滴的粒徑分布與霧化器的設計及霧化效果有著直接的關系[8]。

目前的噴霧液滴粒徑分布函數主要分為經驗分布和理論分布兩類。經驗分布是通過大量的實驗研究,得到液滴粒徑分布的經驗公式,如Nukiyama-Tanasawa分布[9]以及Rosin-Rammler分布[10]和上限函數分布等[11-12]。理論分布包括正態分布、對數正態分布(Logarithmic normal distribution,LN)[13-14]以及最大熵分布[8],其中最大熵分布應用最為普遍。

SELLENS等[15]首先提出運用最大熵模型預測液滴粒徑分布的思路。隨后SELLENS運用物理守恒約束的最大熵(Maximum entropy method,MEM)模型,對霧化液滴粒徑分布進行預測研究[16]。研究表明,通過質量守恒推導的最大熵模型在液滴粒徑分布的預測中,預測峰值較實驗值,會向較大液滴直徑方向偏移。CAO等[17]給出的解決辦法是對分布模型參數進行修正。隨后王婕等[18]基于最大熵原理,通過最小二乘法對參數的修正提出了優化。

可見,基于物理守恒為約束機制的最大熵分布預測模型,在目前的研究中對液滴粒徑分布的預測并不理想。目前常用的解決辦法是引入參數,或對參數進行修正,但是主觀引入參數會造成一定的誤差,影響預測精度,且在復雜的噴霧環境下,物理守恒約束條件的源項求解相對比較困難。因此,本文基于最大熵原理,通過平均直徑約束條件,構建霧滴粒徑數量概率密度分布模型(Maximum entropy principle,MEP),應用于噴霧液滴粒徑數量概率密度分布的研究中。

1 研究方法

1.1 對數正態分布

對數正態分布函數的數學表達式為

(1)

式中μ——尺寸參數

σ——形狀參數

x——隨機變量

1.2 液滴粒徑分布函數

信息熵由SHANNON[19]首次提出,能夠反映一個宏觀系統的微觀狀態的不確定性,其數值是該狀態下包含信息量的數學度量。

(2)

式中S——信息熵k——常數

推斷液滴粒徑分布的可用信息約束數學表達式為

(3)

當n=1時,式(3)為數學期望的表達式。

假設液滴在表面張力的作用下,呈球形分布,則

(4)

式中Di——將液滴直徑按從小到大進行排序分組,第i組液滴的代表直徑,μm

則式(3)可以寫成

(5)

令3n=r,則約束條件為

(6)

將Di無量綱處理得

(7)

其中

式中D30——質量平均直徑,μm

Di無量綱處理后式(6)可表示為

(8)

其中

Pi滿足歸一化條件約束

(9)

將式(8)、(9)作為約束條件,利用拉格朗日乘數法構造函數L(Pi),即

(10)

式中λ0、λr——拉格朗日乘子

令L(Pi)對Pi的偏導數等于0,得到Pi的表達式為

(11)

式中a——最大熵分布系數

(12)

假設液滴粒徑的變化是連續的,式(12)可以寫為

(13)

(14)

則

(15)

(16)

式中fn(D′)——霧滴粒徑連續分布的概率密度分布函數

定義MEPZ為最大熵分布函數fn(D′)的最高階次Z(Z=1,2,…),即式(16)中m=Z。

則可構建方程組為

(17)

其中

式中Dmin——液滴最小直徑,μm

Dmax——液滴最大直徑,μm

式(17)中一般將噴霧液滴的最小無量綱直徑D′min取零,D′max的取值對液滴粒徑分布規律沒有實質的影響[14],只需要取值足夠大即可,本文計算時取D′max=3.5。

又因為平均直徑定義為

(18)

則式(17)可以寫成

(19)

式(19)表示方程數為Z+1的方程組,a及λ1、λ2、…、λZ為方程的Z+1個未知數,方程組是封閉的。由于方程組是一個帶定積分的非線性方程組,所以方程的求解只能通過數值求解方法。

1.3 液滴的粒徑分布與Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9 的關系

農業航空中常用平均直徑Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9來評價噴嘴霧化效果,其中Dv0.1表示霧滴累計分布為10%的霧滴直徑,即小于此霧滴直徑的霧粒體積占全部霧粒體積的10%;Dv0.5表示霧滴累計分布為50%的霧滴直徑;Dv0.9表示霧滴累計分布為90%的霧滴直徑。通過求解式(19)可以得到液滴的粒徑分布函數fn(D′)的表達式,即能求出各種液滴粒徑范圍所占百分比。

分布函數fn(D′)確定,則直徑為D′i的概率密度可以表示為fn(D′i),則粒徑為D′i的液滴數n(D′i)可以表示為

n(D′i)=Nfn(D′i)

(20)

則粒徑為D′i液滴的體積Vol(D′i)可以表示為

(21)

將Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9用D30無量綱化為D′v0.1、D′v0.5、D′v0.9。

根據Dv0.1的定義可得,液滴粒徑在[0,D′v0.1]的液滴體積占總體積的10%,數學表達式為

(22)

方程中只有D′v0.1為未知數,所以在分布函數fn(D′)確定時,可以通過式(22)對D′v0.1進行求解。

同理可得D′v0.5、D′v0.9與粒徑分布函數的關系為

(23)

(24)

1.4 平均直徑計算

求解式(19),需對無量綱平均直徑D′r0進行計算。D′r0可以通過兩種方法進行計算:①通過實驗數據計算。通過實際的實驗測量數據,根據式(7)、(18)直接確定無量綱平均直徑D′r0。②通過經驗公式進行計算。通過實際的工況條件:噴嘴類型、噴嘴直徑等,來求解平均直徑。例如RIZK等[20]、ELKOTB[21]提出了索特爾直徑(SMD)D32的經驗公式,WOOTAE等[22]提出了質量平均直徑D30的經驗公式。DUMOUCHEL等[23]給出了平均直徑系列的關系表達式

(25)

式中c、u——常數

Dcu、Dr0——一系列平均直徑,μm

Γ——伽馬函數

可以推導出平均直徑與D32的關系為

(26)

在已知質量平均直徑D30或D32的情況下,通過式(25)能求解任意一個平均直徑。

根據式(26),D30可以表示為

(27)

無量綱平均直徑D′r0r可以表示為

(28)

2 預測模型優選

2.1 液滴粒徑分布數值計算

預測模型優選的求解過程采用有實驗數據的求解方法。采用FU[24]的環形鼓風噴嘴霧化實驗數據進行研究,噴嘴示意圖如圖1所示,其中填充部分為噴嘴結構,未填充部分為流體通道。具體工況如表1所示。

表1 環形鼓風噴嘴霧化實驗工況

圖1 環形鼓風噴嘴示意圖

根據各工況下的實驗數據,計算得到霧化液滴的算術平均直徑D10、表面積平均直徑D20以及質量平均直徑D30,具體見表2。

表2 環形鼓風噴嘴霧化實驗的液滴平均直徑

圖2為工況1條件下液滴粒徑數量概率分布的預測數據與實測數據對比,圖2中的MEP1～MEP3分別表示式(16)最高次階為1～3的最大熵分布函數,從圖2和表3可知,各分布函數都能對液滴分布的趨勢進行預測,相關系數R均在0.85以上。LN分布函數與MEM分布預測的峰值偏大。液滴分布的峰值在D′i=0.5附近。MEM分布的預測結果峰值偏向于液滴直徑較大一側,預測峰值在D′i=0.7附近,其他分布函數對于液滴分布的峰值預測比較理想,分布峰值都在D′i=0.5附近。本文構建的預測模型MEP1、MEP2、MEP3的預測結果較為理想,均方根誤差(RMSE)均低于0.1,相關系數均高于0.95。

圖3為工況2條件下液滴粒徑數量概率分布的預測數據與實測數據對比,從圖3和表3可知,LN和MEM分布函數預測的效果較差。液滴分布峰值直徑在D′i=0.3附近,MEM和MEP1以及LN分布的預測結果峰值偏向于液滴直徑較大一側,MEM預測分布峰值直徑在D′i=0.6左右,MEP1和LN預測分布的峰值直徑在D′i=0.4附近。MEP2、MEP3分布模型的預測結果較為理想,預測分布峰值均在D′i=0.3附近,與實驗值較為吻合,預測值與實驗值的相關系數均為0.965,均方根誤差為0.135、0.134。

圖4為工況3條件下液滴粒徑數量概率分布的預測數據與實測數據對比,從圖4和表3可知,各分布函數預測的液滴分布結果和實驗值的相關系數均在0.8以上。LN分布函數和MEM分布預測的峰值相當,峰值相對于實驗值略微偏大。MEM和MEP1以及LN分布的預測結果峰值偏向直徑較大一側,MEM預測的分布峰值直徑在D′i=0.7附近,MEP1以及LN分布預測的分布峰值直徑在D′i=0.46附近,實驗液滴分布峰值在D′i=0.37附近。MEP2、MEP3分布模型的預測結果較為理想,預測的分布峰值均在D′i=0.37附近,與實驗數據吻合。MEP2和MEP3模型的預測值幾乎重合,預測值與實驗值的相關系數為0.989、0.988,均方根誤差為0.060、0.062。

圖4 工況3液滴粒徑數量概率密度分布預測與實測數據對比

圖5為工況4液滴粒徑數量概率分布的預測數據與實測數據對比,從圖5和表3可知,LN、MEM和MEP1分布的預測結果峰值偏向于直徑較大一側,MEM預測峰值分別在D′i=0.69附近,實驗液滴分布峰值在D′i=0.38附近,MEP2、MEP3分布模型的預測結果的峰值均在D′i=0.38附近,與實驗數據吻合。MEP2和MEP3模型的預測值幾乎重合,預測值與實驗值的相關系數均為0.99,均方根誤差為0.070、0.068。

圖5 工況4液滴粒徑數量概率密度分布預測與實測數據對比

2.2 結果分析

4種工況條件下各分布模型預測數據與實測數據的相關系數與均方根誤差統計,如表3所示。

通過2.1節的分析,可以看出MEP2和MEP3的預測效果最好。MEP3的預測曲線與MEP2的預測曲線在4種工況條件下都比較接近,幾乎重合。MEP2模型含有3個參數,而MEP3含有4個參數。因此采用赤池信息準則(Akaike information criterion,AIC)對兩個模型展開進一步比選研究,AIC最小的模型為最優模型。

AIC準則函數定義為

(29)

式中kn——模型中參數個數

Ne——實測樣本數目

MEP2和MEP3模型對應的AIC結果如表4所示。從表4可以看出,工況1、2、3情況下MEP2的AIC均比MEP3的低,在工況4條件下,由于液體和內外環空氣的流速都較大,使得液體霧化的環境更加復雜,采用3個約束條件的MEP3預測模型的預測效果相對MEP2模型偏好,MEP3比MEP2的AIC低,但從相關系數和均方根誤差來看,MEP3與MEP2結果相差并不大。綜合考慮,一般情況下MEP2模型對噴嘴霧化液滴粒徑分布的預測效果更好。最優的MEP2分布預測模型為

(30)

對比MEP1、MEP2和MEP3可以發現,MEP1采用了平均直徑D10的約束,MEP2采用了平均直徑D10、D20的約束,MEP3采用了平均直徑D10、D20和D30的約束。通過增加平均直徑約束條件有助于提高分布模型的預測精度,但MEP3和MEP2預測的液滴粒徑分布曲線幾乎重合,說明增加約束并不一定能顯著增加模型的預測效果。通過對比MEM、MEP1、MEP2和MEP3的液滴粒徑分布預測結果表明,采用單個約束的最大熵預測模型預測的液滴粒徑分布的峰值會偏向直徑較大的一側。

為了進一步驗證MEP2分布模型對不同類型噴嘴產生的液滴的粒徑分布預測的適用性,將MEP2應用于文獻[18,25-29]中不同類型噴嘴的液滴粒徑分布的研究中,并與文獻中給定的實驗數據進行對比,如圖6所示。其中文獻[18]采用對撞式噴嘴,噴嘴壓強為2.2 MPa,實驗數據共計8組,如圖6a所示;文獻[25]采用的平面射流噴嘴,液體流速1 m/s,空氣流速93 m/s,實驗數據共計100組,如圖6b所示;文獻[26]采用斯普瑞噴嘴噴頭(1/4 TTG 0.3),噴霧流率3.52 mL/s,實驗數據共計12組,如圖6c所示;文獻[27]采用旋流式氣泡霧化噴嘴,噴嘴壓強為0.5 MPa,實驗數據共計24組,如圖6d 所示;文獻[28]采用壓力旋流噴嘴,噴嘴流率0.16 m3/h,實驗數據共計8組,如圖6e所示;文獻[29]采用靜電噴霧方法,噴嘴流率為25 mL/min,高壓發生器控制環形電極施加電壓,實驗數據共計22組,如圖6f所示。

圖6 MEP2模型對不同類型噴嘴的預測結果及實驗數據對比

圖7為MEP2對不同類型噴嘴產生的液滴的粒徑分布計算結果的相關系數和均方根誤差。從圖7可以看出,MEP2分布預測的結果與實驗數據較為吻合,相關系數都在0.9以上,均方根誤差低于0.25,MEP2分布模型總體上能夠反映不同類型噴嘴產生的液滴粒徑的分布特性。同時也可以看出MEP2分布模型對于文獻[25-26,28]計算的結果更好,相關系數都超過0.98,均方根誤差均低于0.072,而對其他3篇文獻計算的結果稍差。這是因為文獻[25-26,28]采用的是比較簡單的噴霧霧化工況,而文獻[18,27,29]的霧化工況更加復雜。

圖7 MEP2模型對不同類型噴嘴的預測結果與實驗數據的相關系數和均方根誤差

3 預測模型應用

3.1 實驗數據及參數

將MEP2預測模型應用于文獻[22]中Pratt &Whitney Canada(PWC)公司制造的壓力噴嘴的霧滴粒徑分布的預測研究。實驗參數如表5所示。

表5 不同工況條件下PWC壓力噴嘴實驗參數

3.2 基于無實驗數據的平均直徑計算

對預測模型的求解采用無實驗數據情況的求解方法。MEP2分布預測模型中含有3個參數,所以式(17)中只需要D′10、D′20、D′30其中2個即可。又因為無量綱平均直徑D′30=1,所以只需要在D′10、D′20中確定一個量就可以對預測模型方程組進行求解。D′10、D′20的計算可以利用式(28)求得。理論上選擇D′10、D′20都不會影響預測結果,但通過式(25)～(28)求解平均直徑時會產生誤差,所以D′10、D′20的計算精確度直接會影響預測結果。為了盡量消除這個誤差,本文應用表2中的統計數據,對已知D30的情況,通過式(25)求解D10、D20的準確性進行評估,計算結果如表6所示。

表6 平均直徑D10、D20評估誤差分析

從表6可以看出,D20的計算誤差明顯低于D10,所以本文選擇D′20求解粒徑分布函數。通過式(28)求得D′20=0.65。由于本文重點研究預測模型的可靠性,故為了過程簡便,本文省略通過經驗公式計算平均直徑的步驟,直接用實驗得到的平均直徑D30和最小直徑Dmin參與模型預測計算。

3.3 預測結果

研究表明,壓水式噴嘴的最小直徑往往不是從零值開始的[30],如圖8所示。所以本文將通過D30無量綱化的最小直徑D′0引入分布預測模型中,得分布模型為

圖8 PWC噴嘴實驗與預測液滴粒徑數量概率密度分布對比

λ2(D′-D′min)2)

(31)

通過求解式(31)來確定分布參數a、λ1、λ2。積分上下限取D′min=D′0,D′max=3.5。求解的方程組為

(32)

從圖8可以看出,模型預測的液滴粒徑分布與實驗數據基本一致。工況1條件計算結果的相關系數為0.994,均方根誤差為0.072。PWC噴嘴在工況2、3、4情況下,模型預測液滴粒徑數量概率密度分布的峰值較實驗值低,相關系數分別為0.992、0.981、0.973,均方根誤差分別為0.088、0.135、0.147。可以看出模型對于工況3和工況4預測的結果較差,這是因為應用式(28)對無量綱平均直徑D′r0r求解過程中,在不同工況條件下存在一定的偏差導致。假如平均直徑的計算足夠準確,模型總體上能夠反映不同工況條件下霧滴的粒徑分布特征。

4 結論

(1)建立了霧滴粒徑分布的最大熵模型,并通過數值方法求解閉合方程組的方法,確定液滴粒徑分布函數,液滴粒徑分布函數可以求出各種霧滴粒徑范圍所占的百分比,并且能夠運用液滴數量分布函數對Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9等噴頭噴霧評價指標進行求解。

(2)應用環形鼓風噴嘴霧化的實驗數據對液滴粒徑分布模型進行優選。結果表明,本文構建的MEP2與MEP3分布模型能很好地適用于噴霧液滴的粒徑分布預測。預測的液滴粒徑分布與實驗值的相關系數均高于0.96,均方差誤差均低于0.135,并且預測的結果優于LN和MEM分布模型。通過對比MEP2和MEP3分布模型的AIC,表明MEP2模型是一個更優模型。

(3)應用不同類型噴嘴的霧化液滴粒徑分布實驗數據對三參數最大熵模型的適用性進行檢驗,結果表明模型的預測結果基本符合不同類型噴嘴霧化霧滴的粒徑分布特征。最后應用MEP2模型預測Pratt &Whitney Canada公司制造的壓力噴嘴的液滴粒徑分布,對比結果顯示預測值與實驗數據基本吻合。在不同類型噴嘴情況下,模型均能獲得良好的預測結果,表明本文構建的MEP2模型具有較廣泛的適用性。