光學元件數控單軸加工中的邊緣效應控制建模方法

單海洋 李春林 郭 文 張兆健 沈自才

（1 北京空間機電研究所，北京 100094）

（2 北京衛星環境工程研究所，北京 100094）

0 引言

宇航材料光學元件，例如空間相機反射鏡，由于受航天材料尺寸和質量的限制，材料有效口徑很大，光學元件邊緣留量很小，對于光學加工邊緣效應更為突出。邊緣效應在很多光學制造方法中非常普遍，其控制技術已成為最困難的加工技術因素之一［1-4］。邊緣效應引起的光學元件面形誤差，很大程度上影響加工效率、精度和性能。

先進的計算機控制光學表面成型技術（CCOS）［5-6］具有優異的控制材料去除能力，基于數控技術，通過控制加工工具在工件表面的駐留時間達到目標去除量，更改工具在工件表面的平移速度實現駐留時間函數的調整。在CCOS加工過程中往往設定一個恒定的加工工具去除函數［7-8］，利用面形誤差的去卷積函數計算加工駐留時間。但是當加工工具壓力盤在工件表面邊緣時，去除函數將變得不穩定，不再是一個恒定值。為了更好地研究加工工具在工件表面邊緣的去除函數發展了很多理論研究。JONES［9］在1986年形成一個線性壓力模型，然而這個線性模型不能非常吻合壓力分布，尤其在接近邊緣位置。LUNA-AGUILAR 等［10］和CORDERO-DAVILA等［11］提出皮膚模型，認為存在兩個不同的壓力區域：在接觸面存在一個高壓區和低壓區。然而他們沒有通過實驗證據證明報道模型的正確性。結合這兩個模型，HAN等［12］提出一種恒定線性模型，將接觸區域分為兩部分：恒定壓力區域和線性區域。KIM等［2］提出一種基于實驗結果的參數模型，而不是將邊緣效應歸為某一種壓力分析模型。LIU［3］、NAM［13］和WAN［14］等基于有限元分析軟件提出對于不同工具盤的壓力模型。這些模型中工具盤影響模型的計算非常耗時。在所有發展模型中，都將壓力作為一個基本參量，進行了簡化處理，沒有根據實際情況進行詳細計算，并且沒有考慮接觸面積磨削時間等加工實際參量。

本文根據Preston方程假設，將邊緣效應與工具盤和工件接觸面積關聯，基于邊緣位置接觸面積不同引起的壓力明顯變化，求解加工工件各點磨削面積、磨削時間，分析磨削去量發生的明顯變化。基于CCOS思想，研發數控單軸機床，提出母線點位去除函數模型，求解工件邊緣點位工具盤壓力和磨削時間。實驗中，首先求解Preston方程比例系數k，然后根據k值，求解工件邊緣理論去除量，通過理論模擬與實際加工結果比對，驗證模型準確性。

1 數控單軸機構造

小工具盤拋光是一種確定性的光學元件加工方法，在拋光過程中使用計算機數控技術對拋光工具的加工參數和駐留時間進行精確控制。

進行光學加工的工具盤一般采用平轉動運動方式，帶有一定偏心圓形轉動同時，在鏡面平動。在加工鏡面邊緣時，由于壓力的存在，工具中心不能超出鏡面邊緣，否則工具就會掉到鏡子外面而且無法再回來。在速度快或者壓力大的情況下這個動作還會造成鏡邊損壞，因此是十分危險的。現實中往往會保證工具中心不出鏡面邊緣而在加工路徑規劃時對邊緣保留一段距離，如圖1所示，不可避免地造成邊緣區域過少加工或者加工不到，造成“翹邊”現象。鏡面邊緣本身未能加工到，這就是所謂的“邊緣問題”［15］。

圖1 小工具盤加工軌跡設置Fig.1 The track setting of small tool disk processing

通過對傳統單軸機進行改造，將擺動工作臂設計成數控平移臂，如圖2所示。

圖2 數控單軸機構造示意圖Fig.2 Schematic diagram of CNC single shaft machine

數控單軸機加工時，轉臺轉動和數控平移臂一維移動，工具盤相對于工件軸向和徑向運動，同時工具盤自轉。在這個過程中，工具盤露邊量調節度相對機械手偏心結構工具盤更大，并且露邊工具盤壓力恒定。相對機械手研磨和拋光過程形成翹邊面形結構，數控單軸機還可以形成面形塌邊結構，更加有利于反射鏡工件邊緣的環帶誤差修正。

2 理論模型

根據Preston 理論，光學加工過程中，當材料和環境一定時，去除量只跟接觸面上的壓強、工具盤相對工件鏡面的移動速度和加工時間三者有關。因此在材料和環境不變以及壓強、相對速度一致的條件下，通過控制加工時間就可以實現對去除量的控制，從而達到要求的加工面形精度。

2.1 工具盤露邊壓力計算

圖3 為工件與工具盤位置關系圖，為了便于觀察，適當調整圖中工具盤相對工件的大小（下同），工具盤位于工件邊緣位置，用不同字母標注距離、尺寸和位置大小關系，工具盤中心距離工件中心距離為xtc，工件半徑為a，工具盤半徑為b，工具盤邊緣與工件邊緣距離為露邊量d，在工件坐標系中，工具盤邊緣與工件邊緣相交兩點中心坐標為（x0，0），上部交點坐標為（x0，y0），加工過程施加外力為F。定義工具盤和工件重疊部分為工具盤對工件作用面積，標記為I，通過積分求解，工具盤作用面積I如下：

圖3 工件與工具盤位置關系圖Fig.3 Position diagram of workpiece and tool pad

積分得到：

工具盤與工件作用壓力P為：

以工件半徑a為150 mm，工具盤半徑b為20 mm，施加外力F為20 N作為實例，模擬壓力P與露邊量d關系，如圖4所示。發現隨著工具盤在工件邊緣露邊量增加，工具盤與工件間壓力呈指數級增長。這表明當工具盤在工件徑向方向處于邊緣位置時，需要根據露邊量引起的壓力變化，調整去除函數數值。

圖4 壓力與露邊量關系圖Fig.4 Diagram of pressure and edge exposure

2.2 工具盤速度模擬計算

圖5 中ω1和ω2分別為工件和工具盤轉動角速度，O1和O2分別為工件和工具盤幾何中心，P為工件上任意一點，∠O1PO2=θ0，工件轉速V1和工具盤轉速V2之間夾角的補角為θ。

圖5 工件與工具盤速度矢量分析Fig.5 Velocity vector analysis of workpiece and tool pad

P點的相對速度V等于工件轉速V1和工具盤轉速V2之和，即

應用余弦定理，P點的相對速度大小

繼續假設O1P=a，O1O2=b，PO2=c。

根據幾何關系圖中θ=π-θ0，所以cosθ=-cosθ0。

在△O1PO2中，應用余弦定理，

將公式（9）、（10）帶入公式（8），得到P點的相對速度數值為：

由于P點在運動過程中a和b保持不變，c隨時變化，所以將c繼續分解。

設∠PO1O2=α，在△O1PO2中，應用余弦定理，

將公式（11）帶入公式（10），得到P點的相對速度數值為：

將α=ω1t帶入公式（12），得到：

2.3 工具盤對應工件磨削積分時間模擬計算

為了便于分析理解，首先求解工具盤中心點位置固定時，與工件磨削作用下，工件上單點磨削時間，然后求解工具盤中心點位置固定時，與工件磨削作用下，工件上多點磨削時間，最后求解工具盤中心點位置移動時，即描述數控單軸機平移臂帶動工具盤平移運動時，與工件磨削作用下，工件上多點磨削時間。

2.3.1 工具盤對應工件上一點磨削積分時間模擬計算

圖6 為工件上P點磨削積分時間分析，工具盤中心點相對工件徑向距離不變，工具盤和工件繞各自幾何中心轉動。假定圖6中x和y坐標軸位置不變，工件和工具盤相對轉動，ω1和ω2分別為工件和工具盤轉動角速度，考慮距O1點為a處一點P，與磨頭工具的相對作用距離為圓弧，O1P與x軸的夾角為α，O1P′與x軸的夾角為β，建立對稱坐標系令α=β，所以在一個作用周期內，工件上P點與工具盤的相對作用角度為2α。

圖6 P點磨削積分時間分析Fig.6 Grinding integral time analysis of P point

根據圖5速度矢量分析，容易得出P點與P′點速度數值相等。圖4在工具盤露邊量固定的情況下，壓力恒定。所以可以簡化圖6 中P點磨削積分時間分析，減少程序數據處理量，只求P點運動在x坐標軸以上部分的磨削時間對應的積分時間，然后乘以二倍即可得到總的積分結果。

在△O1PO2中，假設O1P=a，O1O2=b，PO2=c，應用余弦定理，P點磨削積分時間為：

2.3.2 工具盤對應工件上三點磨削積分時間模擬計算

圖7為工件三點磨削積分時間分析，工具盤中心點相對工件徑向距離不變，工具盤和工件繞各自幾何中心轉動。令工件上一點P與工具盤幾何中心O2位置重合，左右兩點M和N點，距離P點間隔距離為l。假設O1P=a，O1O2=b，工具盤半徑為c。

圖7 三點磨削積分時間分析Fig.7 Grinding integral time analysis of three points

按照圖7積分時間計算分析，得到工件旋轉一圈過程中M、P、N三點與工具盤磨削積分時間tm10、tp10、tn10分別為：

工具盤幾何中心O2駐留P點位置T1時間內，M、P、N三點磨削積分時間tm1、tp1、tn1分別為：

2.3.3 數控平移臂移動時工具盤作用工件上三點磨削積分時間模擬計算

圖8 為數控單軸機平移臂移動時三點磨削積分時間分析，工具盤中心點相對工件徑向距離變化，工具盤和工件繞各自幾何中心轉動。實際加工時，單軸機數控平移臂逐點平移距離固定，可以看作在工件母線（徑向）方向固定距離點位移動和磨削駐留。假設工具盤圓心O2按照等間距l移動，從P點往左朝向工件圓心方向運動到M點。假設O1P=a，O1O2=b，工具盤半徑為c。

圖8 運動情況下三點磨削積分時間分析Fig.8 Grinding integral time analysis of three points under motion

按照圖8積分時間計算分析，得到工件旋轉一圈過程中M、P、N三點磨削積分時間tm20、tp20、tn20分別為：

工具盤幾何中心O2駐留M 點位置T2時間內，M、P、N三點磨削積分時間tm2、tp2、tn2分別為：

利用數控單軸機工具盤修磨工件邊緣時，工具盤點位移動距離1～2 mm，點位間平移時間相對點位駐留時間很小，所以其平移磨削影響在此忽略不計。

在工具盤平移一次位置下，圖中M、P、N三點總的磨削積分時間分別為：

當工具盤平移n點時，各點總磨削時間是工具盤在各個位置點積分時間的累加。

式中，i為積分時間次數，其中為計算結果整數部分，積分時間次數i，由幾何關系可以算出。

同樣道理，可求解工具盤在工件邊緣移動超過三點位置時各點位的總磨削時間。工具盤在平移過程中，覆蓋工件面積不斷更新，不斷覆蓋工件內圓表面點，工件外圓表面點不斷移出工具盤覆蓋面積。

求解出P、V以及積分時間t情況下，最后根據Preston 方程，如公式（34）所示，求出加工過程中工件上每點的磨削去量：

每點位置固定時，以M點為例，壓力P是已知的，v是時間t的函數，其磨削去量為：

加工過程中，數控平移臂移動時，M點總的去除量累加為：

利用公式（38），編寫程序軟件算法，求解工件邊緣點的磨削去量，進行數學仿真預測，指導加工工藝參數調整。

3 某型號反射鏡數控單軸機修邊仿真與實驗結果

3.1 非球面反射鏡技術參數

在某一型號反射鏡產品上開展實驗，該反射鏡為二次曲面，曲面方程如下：

式中，r2=x2+y2；c=1/R，非球面頂點曲率半徑R為-1 601.02±1；二次非球面系數k為-0.976 8±0.000 3。

非球面反射鏡的材質為ULE 玻璃，實際口徑為Φ666 mm。

以工件圓心為原點，根據如下弧長公式［16］，

計算出母線長度（反射鏡半徑弧長）為335.4 mm，略大于反射鏡半徑333 mm。

3.2 實驗方法

實驗前采用干涉儀測量拋光工件面形。加工工具盤口徑為Φ50 mm，在數控單軸機上從工件邊緣往工件圓心方向，沿工件母線方向（徑向方向）每隔2 mm 移動一個點，共移動9 個點，每點停留30 min，使用數控單軸機機床右側平移臂進行修邊。數控單軸機機床主軸轉速為3.3 r/min，工具盤轉速為60 r/min，機床右側平移臂施加在工具盤上的外力為19.668 N。修邊后再次采用干涉儀進行面形測量，比較實驗前后面形結果，得到邊緣磨削去量。代入公式（38），得到Preston方程中k系數。

第二次實驗采用兩個Φ50 mm 工具盤，繼續在數控單軸機上從工件邊緣往工件圓心方向，沿工件母線每隔2 mm 移動一個點，共移動9 個點，每點停留14 min，使用數控單軸機兩側平移臂同時修邊。數控單軸機機床主軸轉速為3.3 rpm，工具盤轉速為60 rpm，機床左右兩側平移臂施加在工具盤上的外力分別為80.756、56.527 N。邊緣加工實驗如圖9 所示。修邊后采用干涉儀進行面形測量，比較實驗前后面形結果，得到邊緣磨削去量。兩次實驗采用同一型號的氧化鈰磨料，為減小實驗誤差，加工過程盡力保證磨料濃度一致。實驗結果與公式仿真去量結果比較，驗證模型準確性。

圖9 邊緣加工實驗Fig.9 Edge machining experiment

3.3 實驗結果與討論

圖10 為實驗面形結果，圖11 為實驗與仿真結果。干涉儀觀測的平面口徑，與加工反射鏡弧面口徑存在差異，適當簡化定量分析過程，取面形波谷值變化進行分析，求得k值，k=5.738 6×10-8。進行模型仿真工件邊緣磨削去除量變化，如圖11（c）所示。模型曲線與實驗去量變化量曲線趨勢吻合，呈現出指數型曲線形狀。

圖10 某型號反射鏡數控單軸機修邊實驗面形結果Fig.10 Surface trimming experiment results of one mirror with the CNC single shaft machine

圖11 實驗與仿真結果Fig.11 Experiment and simulation results

第二次實驗算法模擬中工件面形靠近邊緣面形波谷位置去除量為0.34λ，實際加工圖中面形波谷差值為0.37λ，理論模擬準確度為91.9%。分析誤差來源，與理論模型的簡化以及部分參數的近似取值有關，另外，實驗過程中工具盤瀝青盤面與工件表面面形不吻合、加工環境溫濕度變化、氧化鈰拋光液濃度變化，以及工具盤定位不準確等因素也將影響結果準確性。

文中建立的數學模型，同樣適用于元件內孔邊緣研磨拋光加工時的仿真處理與工藝指導，工件內部均勻去除和環帶誤差修正，以及解決平轉動工具盤在工件邊緣不同露邊情況下的去除函數不穩定情況。

4 結論

研制數控單軸機，并基于Preston方程，通過理論推導，得出數控單軸機邊緣效應下的點位移動去除函數計算模型。加工過程，工具盤沿著工件徑向邊緣移動時，工具盤露邊量變化引起工具盤與工件間壓強呈指數級變化；工件轉動，工具盤在工件徑向距離不變時，工具盤與工件間壓力恒定，但是工件邊緣不同位置點磨削時間呈現出不同的規律變化，文章求出工件轉動過程中，工具盤沿工件母線移動時，由磨削壓力和磨削時間共同作用的磨削去量公式。經過實驗驗證，該邊緣去除函數計算模型的數值絕對誤差在10%內，邊緣去除函數模型與實際加工吻合很好。模型的建立為采用數控單軸機加工反射鏡內外邊緣以及小工具盤平轉動加工方式工藝參數調整提供了指導，對于邊緣效應的控制更為有效，能更好地服務于宇航材料反射鏡高要求的邊緣效應控制。