曲面磨削表面微觀形貌建模方法研究

胡 寧 陳海鋒

（湖南科技大學(xué)智能制造研究院難加工材料高效精密加工湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湘潭 411201）

文 摘 針對(duì)現(xiàn)有磨削表面微觀形貌建模方法僅對(duì)某一類特定零件有效，提出了一種適用于空間曲面零件加工的磨削形貌建模方法。基于曲面磨削加工原理，建立砂輪坐標(biāo)系與曲面零件坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，獲得磨粒的三維運(yùn)動(dòng)軌跡方程。通過提出曲面區(qū)域逼近求解算法，建立曲面磨削表面微觀形貌預(yù)測(cè)模型。并以展成法磨削齒輪和磨削軸承內(nèi)套為例，得到兩類實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果之間的誤差最大為11.338%和18.91%，驗(yàn)證了本文提出的預(yù)測(cè)模型的有效性與科學(xué)性。

0 引言

磨削作為一種去除材料的機(jī)械加工方法，廣泛應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、齒輪等復(fù)雜曲面零件的精加工工藝中。表面微觀形貌作為反映磨削加工質(zhì)量的重要指標(biāo)之一［1］，在工程中得到越來越多的重視，為了對(duì)磨削后的工件表面微觀形貌進(jìn)行預(yù)測(cè)，國內(nèi)外學(xué)者在其建模方法方面做了大量的研究。現(xiàn)有的建模方法可分為經(jīng)驗(yàn)建模方法和理論建模方法［2-3］。其中經(jīng)驗(yàn)建模方法是對(duì)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行總結(jié)擬合出表面粗糙度與加工工藝參數(shù)之間的預(yù)測(cè)模型。高欽［4］利用回歸分析方法對(duì)磨削后的面齒輪表面粗糙度進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且驗(yàn)證了所建面齒輪表面形貌回歸預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性。田鳳杰等［5］根據(jù)砂帶磨削葉片后所得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了評(píng)價(jià)指標(biāo)擬合回歸數(shù)學(xué)模型，并且該模型可反映加工參數(shù)與葉片表面磨削后粗糙度的關(guān)系。與經(jīng)驗(yàn)建模方法相比，理論建模方法是通過對(duì)砂輪上磨粒的運(yùn)動(dòng)軌跡映射至工件表面的過程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，以獲得表面微觀形貌的預(yù)測(cè)模型［6］。ZHOU等［7-8］利用樹脂黏合劑將蝸桿砂輪上的磨粒進(jìn)行復(fù)刻得到砂輪形貌，并根據(jù)該砂輪形貌結(jié)合蝸桿砂輪與齒輪齒面之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立了齒面微觀形貌的預(yù)測(cè)模型。CHEN等［9-10］通過計(jì)算單顆磨粒的切削軌跡，及相鄰磨粒軌跡的交點(diǎn)，根據(jù)布爾運(yùn)算，獲得齒廓的仿真形貌。梁志強(qiáng)等［11］通過研究砂輪形貌的仿真以及螺旋傘齒輪磨削磨粒的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合干涉軌跡在面坐標(biāo)系上遺留的坐標(biāo)值進(jìn)行傘齒輪理論微觀形貌的建模。陳杉杉［12］提出一種考慮曲面曲率影響下的磨削加工表面形貌理論模型，該模型是將相鄰兩砂輪磨粒磨削過程中的殘余空隙部分進(jìn)行區(qū)域面積和殘余高度值的計(jì)算，最終得到曲面形貌建模的一種方法。段練［13］根據(jù)磨粒接觸半徑和磨削曲面的等參數(shù)線之間的弧長得出可計(jì)算出磨粒切削加工曲面工件截面所遺留高度的理論公式，并以此建立葉片磨削后的仿真形貌。

綜上所述，現(xiàn)有的曲面磨削表面微觀形貌預(yù)測(cè)方法大多針對(duì)某一特定曲面零件，對(duì)其他類型的曲面零件適用性較差。因此，根據(jù)砂輪上的磨粒在空間曲面的磨削包絡(luò)軌跡來建立具有通用性和普適性的預(yù)測(cè)模型。本文主要研究復(fù)雜曲面零件表面微觀形貌與磨削工藝參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)規(guī)律，在科研生產(chǎn)中具有重要的工程價(jià)值和理論意義。

1 砂輪表面形貌建模

由于砂輪表面是由大量形狀復(fù)雜且隨機(jī)分布的磨粒組成。因此，將磨粒形狀假設(shè)為不規(guī)則多面體，多面體由球體隨機(jī)切割而成。

根據(jù)文獻(xiàn)［14］，磨粒最大直徑dgmax、磨粒平均直徑dgave可表示為：

式中，M為砂輪磨粒的粒徑號(hào)。

假設(shè)磨粒切削刃高度服從高斯正態(tài)分布(μ，σ2)，切削刃的露出高度h可由分布函數(shù)表示如下：

式中，A1為定量參數(shù)，文中該參數(shù)的值為1。

砂輪表面相鄰磨粒的平均間距可表示為［15］：

式中，S為砂輪組織號(hào)。

為了保證兩兩磨粒之間不發(fā)生干涉現(xiàn)象，需要設(shè)定將兩兩磨粒間距大于其半徑之和，因此對(duì)于空間中任意兩顆磨粒Gi，j，k和Gl，m，n應(yīng)滿足下列公式要求：

式中，dgi，j，k和dgl，m，n分別表示磨粒Gi，j，k和Gl，m，n的直徑。如不滿足上述條件，需將Gl，m，n重新賦值并計(jì)算，最終可得到砂輪磨粒隨機(jī)分布下的情況如圖1所示。

圖1 砂輪磨粒形貌圖Fig.1 The morphology of grinding wheel

2 曲面磨削微觀形貌建模方法

2.1 任意曲面磨削加工的坐標(biāo)變換矩陣

空間曲面零件磨削過程如圖2所示，曲面工件繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)沿x正方向做進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，砂輪隨著變化的曲面改變主軸z方位并對(duì)曲面進(jìn)行切削運(yùn)動(dòng)。其中O1-x1y1z1為曲面工件中心坐標(biāo)系，Of-xfyfzf為曲面工件進(jìn)給坐標(biāo)系，O2-x2y2z2為砂輪磨削起始坐標(biāo)系，為砂輪磨削結(jié)束坐標(biāo)系，Os-xsyszs為砂輪與曲面的接觸坐標(biāo)系。

為了得到砂輪表面上的磨粒與工件接觸時(shí)的變換矩陣，首先根據(jù)圖2 中所示位置關(guān)系，O1-x1y1z1通過繞x軸旋轉(zhuǎn)φ角度，沿x方向上移動(dòng)距離s到達(dá)Of-xfyfzf，該s表示工件進(jìn)給距離，上述變換過程的齊次坐標(biāo)矩陣［16-17］可表示為：

s可表示為：

式中，vs為曲面工件的進(jìn)給速度。另外該矩陣中φ表示曲率轉(zhuǎn)角，可將其視為曲面輪廓線上每段微分區(qū)域?qū)?yīng)角度的總和，但在特定條件下又可認(rèn)為φ=ωt，此處的ω為工件轉(zhuǎn)速。

根據(jù)圖2 中所示位置關(guān)系，Of-xfyfzf通過z方向上移動(dòng)距離ρ，y反方向上移動(dòng)距離p到達(dá)O2-x2y2z2，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為：

該矩陣（7）中的ρ可表示工件曲率轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，p可由下式進(jìn)行表達(dá)：

根據(jù)圖2 中所示關(guān)系，假設(shè)O2-x2y2z2與的坐標(biāo)中心處在同水平面上，僅砂輪主軸z的朝向發(fā)生改變，得到O2-x2y2z2將xOy平面和xOz平面旋轉(zhuǎn)角度φ和λ變換到達(dá)。因此，可得到對(duì)應(yīng)矩陣（9）：

當(dāng)兩坐標(biāo)系存在相對(duì)位置偏差，在矩陣（9）的基礎(chǔ)上，O2-x2y2z2沿z方向移動(dòng)距離h，y方向上移動(dòng)距離a，x方向上移動(dòng)距離b到達(dá)，對(duì)應(yīng)矩陣為（10）：

該矩陣（11）中θ為砂輪旋轉(zhuǎn)角度，可由下式進(jìn)行表示：

式中，ns為砂輪主軸轉(zhuǎn)速。

假設(shè)磨粒G 位于砂輪上，根據(jù)任意曲面的磨削加工原理，將砂輪上的磨粒G 映射到曲面工件中心坐標(biāo)系上的變換矩陣可表示為：

該公式即可模擬單顆不規(guī)則磨粒包絡(luò)三維軌跡。

2.2 單顆磨粒的三維軌跡建模

以單顆磨粒為研究對(duì)象，截取磨粒在yOz平面上的輪廓如圖3 所示。圖3 中各點(diǎn)為不規(guī)則磨粒仿真截面上的頂點(diǎn)，選取截面中最外側(cè)頂點(diǎn)，將其視為該磨粒的最大截面，其中BAC段為砂輪不規(guī)則多面體磨粒的切削工作部分［18］。單顆不規(guī)則多面體磨粒在賦值過程中，BAC三點(diǎn)均可由yOz坐標(biāo)系進(jìn)行表示，因此通過圖3展示的部分，可得出角ξ為：

圖3 不規(guī)則多面體磨粒截面示意圖Fig.3 The cross section of irregular abrasive particles

設(shè)陰影部分為磨粒的切削區(qū)域，根據(jù)幾何關(guān)系得到區(qū)域內(nèi)磨粒與工件之間切削接觸軌跡的坐標(biāo)方程組：

式中，Gx，y，z為該磨粒的坐標(biāo)值，dg為不規(guī)則多面體磨粒的外接球直徑，β為切削區(qū)域的最大閾值角度。

在實(shí)際磨削對(duì)刀時(shí)，是以砂輪是否產(chǎn)生切削火花為基準(zhǔn)再以預(yù)定的切削深度進(jìn)給［2］，因此實(shí)際切削深度可表示為：

式中，dgmax為不規(guī)則多面體磨粒的外接球最大直徑，ap為理論切削深度。為將切削深度考慮到單顆磨粒截面坐標(biāo)方程組中，根據(jù)圖3 中的位置關(guān)系，將坐標(biāo)系中心定義在磨粒中心以上距離處，該距離數(shù)值為實(shí)際切削深度高度值ae。因此將式（16）與式（15）聯(lián)立可得：

利用齊次坐標(biāo)矩陣表達(dá)出單顆磨粒G 的工作截面狀態(tài)，得到矩陣（18）。

將式（18）代入公式（13），可得到關(guān)于磨粒G 在曲面運(yùn)動(dòng)的三維軌跡方程組。對(duì)于任意空間曲面的磨削，只需根據(jù)磨削加工過程中，砂輪與工件坐標(biāo)系的相對(duì)位置關(guān)系，對(duì)轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行修改即可得到適用于該磨削方式下的三維軌跡方程組。

2.3 曲面磨削表面微觀形貌建模方法

為了建立曲面磨削微觀形貌，提出一種曲面區(qū)域逼近求解算法，其中算法的實(shí)現(xiàn)如圖4所示：（1）首先根據(jù)圖2 所示的曲面磨削齊次坐標(biāo)變換矩陣得出單顆磨粒的三維切削軌跡方程，將已知參數(shù)代入方程中得到每顆磨粒切削軌跡對(duì)應(yīng)在曲面上的映射值；（2）根據(jù)曲面磨削的實(shí)際情況，將曲面工件的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角進(jìn)行等分，并生成求解區(qū)域，又由于在進(jìn)行角度劃分過程中會(huì)可能出現(xiàn)相鄰兩區(qū)域中心點(diǎn)之間的距離不一，為保證精度，需設(shè)置一個(gè)最大精度；（3）考慮到砂輪上磨粒眾多且分布不均，將每顆磨粒的軌跡映射到曲面上的指定區(qū)域中，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量巨大，因此選取每個(gè)區(qū)域坐標(biāo)點(diǎn)(gx，gy)為中心點(diǎn)，設(shè)置一個(gè)搜索范圍，僅將搜索范圍內(nèi)的磨粒映射值進(jìn)行保存；（4）計(jì)算每個(gè)劃分區(qū)域中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲率角度，將該角度納入匹配磨粒映射值在區(qū)域內(nèi)法線方向上的遺留高度值的考量中；（5）按上述方法，依次計(jì)算所有區(qū)域匹配下的磨粒切削工件表面的殘余高度值，然后選取這些高度值中最小的值作為該區(qū)域的高度值；（6）然后將這些最小值連接形成曲面工件的最終磨削形貌。綜上所述可得關(guān)于曲面磨削形貌的仿真算法流程見圖5。

圖4 曲面磨削表面微觀形貌實(shí)現(xiàn)示意圖Fig.4 Realization diagram of curved surface grinding profile

3 曲面磨削微觀形貌建模方法應(yīng)用與試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 曲面磨削微觀形貌建模方法應(yīng)用實(shí)例一

以齒輪展成法磨削為例，其磨削的工作原理如圖6所示［19-20］，齒輪以x軸為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針與砂輪工作面做嚙合運(yùn)動(dòng)，其中圖6中虛線部分為蝸桿砂輪的齒形截面，砂輪工作面始終與齒面相切，又由于齒輪的端面齒廓為漸開線狀，將漸開線基圓進(jìn)行等角度微分，得到砂輪沿漸開線磨削的轉(zhuǎn)角φi。根據(jù)上文提出的曲面磨削微觀形貌的仿真方法，可知齒輪中心坐標(biāo)系O1-x1y1z1通過齒輪的轉(zhuǎn)角和x方向上的進(jìn)給到達(dá)齒輪進(jìn)給坐標(biāo)系Of-xfyfzf，并計(jì)算漸開線方程為：

圖6 齒輪展成法磨削坐標(biāo)系變換示意圖［10］Fig.6 Gear generation method grinding coordinate system transformation ［10］

式中，ρ為基圓半徑。因?yàn)樵谀ハ鬟^程中，O2-x2y2z2和之間無位置偏移和角度的旋轉(zhuǎn)，因此M22′為齊次單位矩陣，而M1f、Mf2和M2′f均為前文提到的矩陣。結(jié)合圖6 齒輪展成法磨削運(yùn)動(dòng)關(guān)系原理以及相關(guān)參數(shù)代入式（21）可得關(guān)于砂輪不規(guī)則單顆磨粒相對(duì)于齒輪齒面磨削的三維軌跡方程組：

以三維軌跡方程組（20）計(jì)算后的z值為依據(jù)，通過本文提出的曲面區(qū)域逼近求解算法，可將齒輪展成法磨削形貌表達(dá)出來。

為了驗(yàn)證本文所建立的曲面微觀形貌預(yù)測(cè)模型的有效性，采用蝶形砂輪對(duì)滲碳淬火硬化處理后的20CrMnTi 齒輪進(jìn)行磨削實(shí)驗(yàn)，齒輪毛坯件和砂輪的參數(shù)如表1 中所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，用白光干涉儀（Wyko NT9100）測(cè)量實(shí)驗(yàn)齒輪進(jìn)行表面微觀形貌以及粗糙度。

表1 齒輪展成法磨削實(shí)驗(yàn)參數(shù)表Tab.1 The parameter table of gear grinding experiment

采用與實(shí)驗(yàn)相同的工藝參數(shù)進(jìn)行仿真，得到仿真形貌如圖7所示，所建齒輪漸開線齒廓形貌圖與文獻(xiàn)［10］中的仿真形貌基本一致。不同砂輪轉(zhuǎn)速及不同進(jìn)給速度下表面粗糙度的實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果對(duì)比如圖8、圖9所示，隨著砂輪轉(zhuǎn)速的提升，砂輪在齒面磨削的次數(shù)增多，在多磨粒作用下，工件表面殘余高度趨于穩(wěn)定，使得表面加工質(zhì)量上升；同理隨著齒輪進(jìn)給速度的不斷增加，單位時(shí)間內(nèi)切削磨粒數(shù)目減小，使得切削效果降低，從而提升齒面微觀形貌的粗糙度。

圖7 齒面齒廓形貌仿真圖Fig.7 The simulation profile of tooth surface

圖8 不同砂輪轉(zhuǎn)速下仿真與實(shí)驗(yàn)粗糙度對(duì)比圖Fig.8 Simulation and experimental roughness at different grinding wheel speeds

圖9 不同進(jìn)給速度下仿真與實(shí)驗(yàn)粗糙度對(duì)比圖Fig.9 Simulation and experimental roughness at different feed rates

通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)與仿真的結(jié)果（表2），發(fā)現(xiàn)在進(jìn)給速度較低的情況下，誤差最大值為11.338%，產(chǎn)生誤差的主要原可能有磨粒切削擠壓工件，導(dǎo)致表面材料發(fā)生塑性變形；砂輪的修整水平；在低速情況下機(jī)床振動(dòng)也會(huì)影響齒面微觀形貌仿真粗糙度的準(zhǔn)確性。正是這些因素在建模過程中未有考慮，導(dǎo)致了仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果在某些數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)存在較大出入，會(huì)對(duì)本次廣義分析的理論建模產(chǎn)生影響。

3.2 曲面磨削微觀形貌建模方法應(yīng)用實(shí)例二

以軸承內(nèi)套磨削為例，其磨削的工作原理如圖10所示，在CBN砂輪工作的過程中，軸承內(nèi)套與砂輪內(nèi)切且兩者按同方向自轉(zhuǎn)，同時(shí)砂輪由機(jī)床控制來回進(jìn)給，在兩者相互配合下，生成砂輪磨粒的包絡(luò)切削軌跡。軸承內(nèi)套中心坐標(biāo)系O1-x1y1z1通過自身轉(zhuǎn)動(dòng)和x方向上的進(jìn)給得到軸承內(nèi)套進(jìn)給坐標(biāo)系Of-xfyfzf，其中轉(zhuǎn)角φ表示的是內(nèi)圓弧轉(zhuǎn)角，內(nèi)圓弧線方程為：

圖10 軸承內(nèi)套磨削坐標(biāo)變換示意圖Fig.10 Coordinate transformation for bearing inner sleeve grinding

由于軸承內(nèi)套在磨削過程中是以中心軸為基準(zhǔn)做自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此式（21）中的φ可以利用軸承內(nèi)套角速度ω和時(shí)間t對(duì)下式進(jìn)行表達(dá)：

CBN砂輪與軸承內(nèi)套各自的旋轉(zhuǎn)中心處在同一垂直面上，因此Mf2中的y軸移動(dòng)值為零。并且，在建立仿真過程中將砂輪的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到工件上的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，因此M22′為齊次單位矩陣。有所不同的是，此次砂輪是以x軸作為旋轉(zhuǎn)主軸，因此需對(duì)M2s做出修改。

根據(jù)圖10 及上述原理分析，結(jié)合方程組（13）可得關(guān)于砂輪不規(guī)則單顆磨粒相對(duì)于軸承內(nèi)套磨削的三維軌跡方程組：

建立軸承內(nèi)套實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所建立預(yù)測(cè)模型的有效性，利用3MZ206DZ-CNC 全自動(dòng)球軸承內(nèi)圈內(nèi)孔磨床對(duì)GCr15 軸承內(nèi)套進(jìn)行磨削實(shí)驗(yàn)，并利用VHX-500FE 超景深三維顯微鏡、Marsurf M300 粗糙度測(cè)量?jī)x對(duì)工件表面三維形貌進(jìn)行測(cè)量，其中實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表3中所示。

表3 軸承內(nèi)套磨削實(shí)驗(yàn)參數(shù)表Tab.3 Bearing sleeve grinding experiment parameter table

采用與實(shí)驗(yàn)相同的工藝參數(shù)，得到仿真形貌如圖11所示。不同工件轉(zhuǎn)速及不同進(jìn)給速度下表面粗糙度的實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果對(duì)比如表4所示，與上文中解釋原理一致，當(dāng)機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速減少或工件進(jìn)給速率減少時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)軸承內(nèi)套表面作用磨粒數(shù)量減少，導(dǎo)致曲面光滑程度會(huì)明顯下降。

表4 關(guān)于軸承內(nèi)套形貌仿真與實(shí)驗(yàn)粗糙度對(duì)比表Tab.4 Comparison table of simulation and experimental roughness of bearing inner sleeve appearance

圖11 軸承內(nèi)套形貌仿真圖Fig.11 Simulation diagram of bearing inner sleeve appearance

由表4 可知，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是比較接近的，誤差最大值為18.91%，由此可進(jìn)一步驗(yàn)證本文所建立的曲面磨削表面微觀形貌的建模方法是具有科學(xué)性和正確性的。

4 結(jié)論

（1）基于曲面磨削加工原理，建立砂輪坐標(biāo)系與曲面零件坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，獲得磨粒的三維運(yùn)動(dòng)軌跡方程，通過提出曲面區(qū)域逼近求解算法，解決加工過程中多顆磨粒軌跡相互交叉干涉的問題，建立一種適用于任意曲面磨削的表面微觀形貌預(yù)測(cè)模型。

（2）以齒輪展成法磨削和軸承內(nèi)套磨削為例，對(duì)所提出的曲面磨削工件表面微觀形貌的建模方法進(jìn)行驗(yàn)證。針對(duì)不同實(shí)驗(yàn)下，對(duì)比了各自正交實(shí)驗(yàn)參數(shù)下的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的表面粗糙度值。結(jié)果表明，兩類實(shí)驗(yàn)對(duì)象的表面粗糙度的最大誤差分別為11.338%和18.91%，驗(yàn)證了仿真模型的通用性與有效性。

（3）該模型的建立可應(yīng)用到研究空間曲面工件，如齒輪、凸輪軸等零件的表面磨削上，更加直觀地反映曲面零件表面粗糙度與加工工藝參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)規(guī)律。