提煉基本圖形，注重思想方法

楊帥

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)和適當(dāng)?shù)慕忸}活動(dòng)重點(diǎn)突出數(shù)學(xué)思想和方法。以“解直角三角形中有關(guān)測(cè)高測(cè)距專(zhuān)題”為例，將教材中部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組變式，設(shè)計(jì)解直角三角形中有關(guān)測(cè)高測(cè)距的專(zhuān)題課，從而讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解決問(wèn)題的重要意義。

【關(guān)鍵詞】提煉基本圖形；數(shù)學(xué)思想方法

根據(jù)著名數(shù)學(xué)家波利亞的調(diào)查研究，數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)更具有普遍性，在學(xué)生未來(lái)的生活和工作中應(yīng)用更加廣泛。“即使學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)（概念、定理、法則和公式等）全忘了，銘刻在他心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法卻能使他終身受益。” 所以，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)和適當(dāng)?shù)慕忸}活動(dòng)重點(diǎn)突出數(shù)學(xué)思想和方法。為此，本文以“解直角三角形中有關(guān)測(cè)高測(cè)距專(zhuān)題”為例，進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、教學(xué)內(nèi)容解析

對(duì)于銳角三角比的教學(xué)內(nèi)容，主要從定量方面研究直角三角形。直角三角形中邊角之間的數(shù)量關(guān)系，可以通過(guò)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理和銳角三角比進(jìn)行表述。基于這些數(shù)學(xué)工具，就能解決實(shí)際生活中的許多問(wèn)題，如測(cè)量物體的高、測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離等。本文的教學(xué)設(shè)計(jì)針對(duì)滬教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)第一學(xué)期第25章第4小節(jié)“解直角三角形的應(yīng)用”進(jìn)行例題講解。筆者認(rèn)為，將這部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重新編排，將有關(guān)測(cè)量物體高度和測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間距離這個(gè)專(zhuān)題問(wèn)題在前兩個(gè)課時(shí)完成，其中，第1課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容可與教材的編寫(xiě)內(nèi)容一致，即完成俯角和仰角概念的介紹。對(duì)于第2課時(shí)，本文給出詳細(xì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體以例3、例4和例5（教材中的例9）為依托，領(lǐng)會(huì)化歸思想、方程思想在幾何計(jì)算中的運(yùn)用，從而讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解決問(wèn)題的重要意義。

二、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)設(shè)置

1．教學(xué)目標(biāo)

（1）運(yùn)用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，解決測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間距離和物體高度（底部不能達(dá)到）的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

（2）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)化歸思想、方程思想、從特殊到一般以及從一般到特殊的思想方法。

2．教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：領(lǐng)會(huì)化歸思想，運(yùn)用解直角三角形的方法解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)：提煉基本圖形，利用方程思想解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生掌握銳角三角比的基本概念之后，可以利用銳角三角比以及勾股定理，對(duì)直角三角形進(jìn)行定量分析。在初中，解直角三角形是解決任意三角形中計(jì)算問(wèn)題的基礎(chǔ)，求解任意三角形中的元素都可以通過(guò)先構(gòu)造合適的直角三角形，然后再解直角三角形。這些已掌握的知識(shí)為實(shí)際應(yīng)用背景下解直角三角形的問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)，但是當(dāng)圖形中有一條公共直角邊的兩個(gè)直角三角形時(shí)，每個(gè)直角三角形的已知條件都不完備，不可直接求解，那么此時(shí)該如何解決問(wèn)題呢？這是本節(jié)課要解決的問(wèn)題。

四、教學(xué)過(guò)程

1.復(fù)習(xí)回顧

教師出示PPT，呈現(xiàn)上節(jié)課測(cè)量旗桿（例題1）和樓房高度（例題2）的問(wèn)題，一步一步引導(dǎo)學(xué)生回憶解決步驟，思考解決方法，為接下來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)作鋪墊。

2.例題講解

今天我們繼續(xù)研究其他距離和高度的問(wèn)題。

例3：如圖1，在港口A的南偏東52°方向有一座小島B，一艘船以每小時(shí)24千米的速度從港口A出發(fā)，沿正東方向行駛。

問(wèn)題（1），若20分鐘后，這艘船在C處且測(cè)得小島B在船的正南方向，小島B與港口A相距多少千米（精確到0.1千米）？

設(shè)計(jì)意圖：

（1）把教材中的例3以問(wèn)題（1）的形式進(jìn)行闡述是為了引出問(wèn)題（2），問(wèn)題（2）作為本節(jié)課的課后思考題（見(jiàn)下文“5.課后思考”），檢測(cè)學(xué)生是否掌握本節(jié)課的重點(diǎn)，能否在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)進(jìn)行拓展和變通。

（2）這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程涉及到兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；二是將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。通過(guò)這兩個(gè)轉(zhuǎn)化，可運(yùn)用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，解決例3問(wèn)題（1）中的幾何計(jì)算問(wèn)題，為例4的難度提升作準(zhǔn)備。

例4：如圖2，為了測(cè)量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對(duì)岸岸邊有一塊石頭A，在△ABC中，測(cè)得∠B=49°，∠C=62°，BC=33.5米，求河寬（精確到0.1米）。

變式1：當(dāng)條件改為∠B=α，∠C=β，BC=m米，你能用含α，β，m的表達(dá)式表示河寬嗎？

設(shè)計(jì)意圖：

（1）從圖2到圖3，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。求解這個(gè)三角形的高，需通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形；但圖中的兩個(gè)直角三角形的已知條件都不完備，不可直接求解，如何解決呢？可將公共的直角邊AD設(shè)為x，利用BC的長(zhǎng)度作為等量關(guān)系式，采用方程思想求解。

（2）從例4到“變式1”讓學(xué)生體會(huì)在數(shù)學(xué)中研究問(wèn)題時(shí)從特殊到一般的思想方法。

變式2：當(dāng)人位于點(diǎn)B處，只能朝左邊走m米到達(dá)點(diǎn)C處，如圖5所示，你能用含α，β，m的表達(dá)式表示河寬嗎？

設(shè)計(jì)意圖：

（1）為了幫助學(xué)生理解此問(wèn)題，筆者借助于“幾何畫(huà)板”，錄制了一個(gè)7秒鐘的小視頻（如圖6）。該視頻展示了當(dāng)點(diǎn)B從線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，整個(gè)圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，再比較圖4和圖5的異同。圖4中有一個(gè)銳角三角形和兩個(gè)直角三角形，圖5中有一個(gè)鈍角三角形和兩個(gè)直角三角形，相同點(diǎn)是兩個(gè)直角三角形都有一條公共的直角邊，引導(dǎo)學(xué)生提煉出這個(gè)基本圖形“有一條公共直角邊的兩個(gè)直角三角形”。

（2）“變式2”相對(duì)于“變式1”而言，圖形有所不同，但解決問(wèn)題的方法是相同的，依然是利用方程思想。此外，可為解答初三數(shù)學(xué)綜合題所涉及的相應(yīng)問(wèn)題作準(zhǔn)備，即由于點(diǎn)的位置不同，從而引起圖形發(fā)生變化，但解決問(wèn)題的方法是類(lèi)似的。

例5（教材中例9）：如圖7，小明想測(cè)量塔CD的高度。塔在圍墻內(nèi)，小明只能在圍墻外測(cè)量，這時(shí)無(wú)法測(cè)得觀察點(diǎn)到塔的底部的距離，于是小明在A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為29°25′，再往塔的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?1°42′，（點(diǎn)A、B、C在一直線上），若小明的身高忽略不計(jì)，你能求出塔的高度嗎？（結(jié)果精確到0.1米）

設(shè)計(jì)意圖：

（1）從“變式2”到例5再次體會(huì)在數(shù)學(xué)中研究問(wèn)題時(shí)從一般到特殊的思想方法，只要把相關(guān)數(shù)據(jù)代入到“變式2”的一般性結(jié)論即可解答此題（圖7即為圖5的特殊情況）。

（2）從知識(shí)體系的完整性看，把教材中后面的例9作為本節(jié)課中例5更為合適，這個(gè)基本圖形“有一條公共直角邊的兩個(gè)直角三角形”也可用于解決底部不能到達(dá)的物體測(cè)高問(wèn)題。

3．問(wèn)題探究

同學(xué)們，如果你們站在黃浦江邊的外灘觀景大道處，利用皮尺、計(jì)算器和測(cè)角儀：

（1）通過(guò)平面示意圖，你們能通過(guò)測(cè)量估算出黃浦江寬度嗎？

（2）通過(guò)三維立體圖，你們能通過(guò)測(cè)量估算出東方明珠的高度嗎？

（3）通過(guò)三維立體圖，你們能通過(guò)測(cè)量估算出東方明珠下面兩個(gè)球之間的距離嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在完成了測(cè)高測(cè)距專(zhuān)題的教學(xué)之后，學(xué)生能否解決身邊的測(cè)高、測(cè)距這些實(shí)際問(wèn)題呢？比如估測(cè)黃浦江的寬度可以利用“圖4”，估測(cè)東方明珠的高度可以利用“圖5”……讓學(xué)生暢所欲言，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)用性。

4.歸納小結(jié)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有哪些收獲？整堂課用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

5.課后思考

例3：如圖8，在港口A的南偏東52°方向有一座小島B，一艘船以每小時(shí)24千米的速度從港口A出發(fā)，沿正東方向行駛。

問(wèn)題（2），若10分鐘后，這艘船到達(dá)小島B的北偏西25°的D處時(shí)，收到消息：“小島B處四周6海里范圍內(nèi)有暗礁！”請(qǐng)你判斷一下，若這艘船繼續(xù)向正東方向行駛，是否有觸礁的危險(xiǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：

應(yīng)用本節(jié)課的知識(shí)，思考例3中的問(wèn)題（2），對(duì)解直角三角形中有關(guān)測(cè)高測(cè)距的專(zhuān)題問(wèn)題進(jìn)行鞏固和提高。

五、評(píng)析

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科。在教學(xué)過(guò)程中，既可以參照教材的內(nèi)容，將一章的若干節(jié)直接作為一個(gè)單元進(jìn)行講授，也可以適當(dāng)重組部分內(nèi)容，構(gòu)成一個(gè)單元中的專(zhuān)題。在本文中，筆者將教材中部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組，設(shè)計(jì)解直角三角形中有關(guān)測(cè)高測(cè)距的專(zhuān)題課。在“測(cè)河寬”的問(wèn)題情境上深入研究問(wèn)題，加以變式，提煉并分析圖4和圖5這兩個(gè)基本圖形，找出圖形的共同特點(diǎn)“有一條公共直角邊的兩個(gè)直角三角形”。

從思維的角度看，現(xiàn)代信息技術(shù)是人類(lèi)頭腦的延伸，除了計(jì)算、作圖、統(tǒng)計(jì)、推理及證明，還可以模擬實(shí)驗(yàn)，拓展想象，促進(jìn)理解。本節(jié)課筆者借助“幾何畫(huà)板”，展示了當(dāng)點(diǎn)B的位置發(fā)生變化時(shí)，圖4和圖5兩幅圖的動(dòng)態(tài)生成情況，幫助學(xué)生從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)、局部和整體、理論和應(yīng)用的各個(gè)方面去研究和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)盡可能使用現(xiàn)代教育技術(shù)，因?yàn)楝F(xiàn)代教育技術(shù)具有的卓越性能，更有利于學(xué)生成為真正的學(xué)習(xí)主體。

數(shù)學(xué)思想方法也是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，它為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了指導(dǎo)方針和解題策略。本節(jié)課講授的測(cè)高測(cè)距專(zhuān)題體現(xiàn)了類(lèi)比、化歸等思想方法，從本質(zhì)上講，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題均可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形或一般三角形的問(wèn)題。在任意三角形中，知道兩邊及夾角，兩角及夾邊，兩角及對(duì)邊，三邊，都可通過(guò)構(gòu)造合適的直角三角形，將解一般三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，為高中數(shù)學(xué)解任意三角形做準(zhǔn)備。

六、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)教育的功能應(yīng)該包括啟發(fā)學(xué)生好奇心，激發(fā)他們的求知欲。為達(dá)到這樣的目標(biāo)，數(shù)學(xué)教師必須對(duì)教材加以分析和研究，以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，不僅要幫助學(xué)生總結(jié)歸納基本圖形和解題技巧，更要把其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法化有形于無(wú)形，這樣才能使學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的眼睛和翅膀，看得更遠(yuǎn)，飛得更高。

【參考文獻(xiàn)】

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