空間感：在多元活動中自然生長
——以小學中段“計量單位”教學為例

●李慶英

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》指出，量感主要是對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知，對度量意義的理解及真實情境下的測量估計等[1]。空間計量單位是一個連續性的知識，蘊含有知識、方法、思想的同構。

空間計量單位的教學離不開直觀教學。新課標指出：直觀，通常沒有經過嚴格的邏輯推理，卻往往能把握對象的全貌和本質。

一、借助圖形表征計量單位，助推量感生成

計量單位教學分布于小學各個階段，從一維空間觀念到二維空間觀念再到三維空間觀念，每個階段呈螺旋上升趨勢，圖形的認識、圖形的運動及圖形與位置教學，知識脈絡與根源相當清晰[2]。前后知識點之間的聯系也有共同點的支撐和過渡。因此，在通觀教材后，點線面的結構將會在學生大腦中形成模型，進而建構從線到面，由面至體的探索過程。

（一）情境教學，借圖表征

小學是具體形象思維逐漸過渡到抽象邏輯思維的階段，數學中的直觀是借助經驗、觀察、測試或類比聯想產生的對事物關系直接的感知與認識。在實際教學中，動手操作也就是提供學生直觀想象的基礎，實踐中有認知，認知中有感悟，感悟中有聯系。

在三年級上冊分米、毫米、米的復習課中，為學生設計上臺表演的情境，讓學生分別扮演“毫米”“厘米”“分米”“米”，復習知識的同時，貫通知識的前后聯系。

生1：大家好，我是“毫米弟弟”，在生活中，一些非常小和薄的物體長度都由我來做測量單位，比如1 分硬幣、1 元硬幣、1 張公交卡的厚度等，直尺上的1 小格就是我。

師：請在紙上畫出“毫米弟弟”的長度。

生2：嗨，“毫米弟弟”你好，我是你的“厘米小哥”，在生活中，我一般測量比較小的物體長度，如指甲蓋的寬度、開關的寬度或厚度……直尺上10 個你就組成了1 個我。

師：請在“毫米弟弟”身體上畫出“厘米小哥”，想一想會有幾個這樣的“毫米小弟”呢。

生3：“厘米小哥”你好，我是你的“分米哥哥”，10 個你就組成了1 個我，大家很容易誤會我的長度，所以，找找你們身體上的我，比如1 拃長，課桌椅的高度……都可以用到我，我在生活中也是無處不在的。

師：請在“厘米小弟”身上用另一種顏色畫出“分米哥哥”，看看可以畫幾個。

在學生喜聞樂見的故事串聯中，厘清關系，不知不覺中，知識已變成故事的主線，讓原本生硬抽象的知識變得生動有趣，進而對長度單位的表象、每個長度單位的長短有了初步的感知。

（二）圖形對比，厘清思路

在認識面積一課中，從一些物體的表面或平面圖形入手，比較它們的大小引出面積的概念；再從數格子比較法中引出面積單位。首先在理清面積與相關知識（周長與長度單位）的關系后，通過動手操作、擺方格及畫圖來突破重難點。

師：老師拿出了一個盒子，這是個物體，我正在摸這個物體的什么呢？

生：外表、外面、表面……

師：摸一摸數學書的表面和練習本的表面，比一比誰大誰小，你是怎么比的？

生1：將數學書和練習本重合起來就知道了。

……

通過畫圖、比較和推理等活動培養學生的直觀想象，不但順應了學生天性，還使教學過程動靜相宜、張弛有度，無痕地滲透數學思想，讓學生插上了想象的翅膀，在輕松的學習氛圍中積極思考，深入挖掘，探索創新。在此過程中，教師精心設計問題和活動，耐心等待，為學生提供充足的時間，教學中要善于捕捉課堂中的亮點和生成點。

（三）頭腦成像，豐富感知

著名特級教師曹培英教授指出，各種領域各有側重的研究思路，怎樣基于兒童成熟、適時教學干預發展空間觀念，是計量教學內容中非常關鍵的思考點和落腳點。

從二維空間觀念到三維空間觀念，借助直觀模型，讓關系更明確。

圖2

圖3

直觀想象的載體就是圖形，數與形的結合成為關鍵。史寧中教授說：“數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確定依賴于推理。”教師需要抓住有代表性的數學教學內容，創設適合學生生活經驗的情境，巧設疑問，不斷引導學生觀察、嘗試、再體驗、再發現，讓學生在豐富的數學活動經歷中積累直觀想象的經驗，進而培養直觀想象的能力，豐富“量感”。

二、借助操作領悟計量單位，奠定量感基礎

新課標明確要求計量單位應該在現實的情境、具體的生活中去認識和教學。學生只有通過有趣的操作活動才能對一些抽象的“量”獲得感受。

（一）“打點立柱”，意在聯系

在教學過程中，幾何直觀的呈現雖不多，但也能見其影，知識之間的內在聯系也有所體現。如在教學分米的認識時，遵循教材的邏輯關系，嘗試讓學生在豐富的操作體驗中形成認知經驗，將知識融會貫通，有意識地搭建起知識間的溝通橋梁[3]。

量一量：正確量出紙條（課前自行準備的10 厘米長的硬紙條）的長度，鞏固計量物體的基本方法，明白“10 厘米就是1 分米”。（實物）

比一比：將紙條放在拇指和食指之間，感受1 分米大約是1 拃長，建立表象，制作身體上的尺子。課堂小結時還可以延伸拓展，讓孩子們感受一下一庹的長度大約有幾個一拃。（感知）

想一想：抽離紙條，定格1 拃長，體會1 拃長約是1 分米，再觀察同桌比畫的1 拃長，并進行比較。用身體上的這把“尺子”量一量課桌的長大約是幾分米。通過體驗活動豐富認知，積累經驗。

驗一驗：再用手空比畫1 分米，放到直尺上驗證，再次體驗。

擺一擺：用1 厘米長的紙條在1 分米的紙條上擺一擺，猜想需要多少個1 厘米，或是先想能擺多少次。

悟一悟：厘米與分米之間“你中有我”的關系，10個1 厘米是1 分米，1 個1，2 個1，3 個1……在操作和語言表達中，發展空間想象能力和數學表達能力，從而感悟到進率是“10”的意義，體現知識間的關聯。

通過發現—操作—理解—經驗—內化的過程，引導學生交流、評價、體驗，從而發現這幾個長度單位間的聯系，對這幾個計量單位的含義也有了初步的感知[4]。

（二）“連柱成梁”，重在推理

從實物中抽象，再將抽象用具象的方式直觀呈現，讓思維外顯，種下“意識的種子”。

通過操作領悟關系：“拇指連”（1 個拇指的指甲蓋約1 厘米，10 個指甲蓋拼起來就是1 分米）。

借助實物呈現關系：擺小棒（假設1 根小棒是1厘米，10 根這樣的小棒就是1 分米）。

小棒有多長，不是本質，在于10 根小棒組成1分米。

結合圖示析出關系：學生畫圖（直條圖、數線、1條被平均分成10 份的線段圖，1 條1 厘米、下面1條10 厘米）。

圖4

大膽創新，融會貫通：計數器（個位設定為厘米，十位設定為分米，“滿十進1”，10 個1 厘米就是1 分米）。

圖5

聯系生活，形成經驗，在各種嘗試中延續，閉眼想象：如果將1 分米延長，2 個1 分米就是20 厘米，3 個1 分米就是30 厘米……用類似的思考過程研究分米和米的關系，發展學生的空間想象力。依次聯系1 毫米、1 厘米、1 分米及1 米的關系。

（三）“連梁成網”，旨在建模

“幾何直觀就是畫圖（看圖）想事。”——認識面積的過程中，大量的操作和體驗建立在“量感”之上。

在認識“面積”的教學中，借助長度單位的學習經驗，讓學生通過探索長度單位與面積單位之間的聯系和區別，產生統一面積單位的需求，體會平面圖形和物體的面有大有小，認識面積單位。從“線”發展到了“面”，這是空間觀念的一次飛躍。在面積單位的換算中，根據學生易于接受直觀性強的事物的特點，有意識地為學生提供了以下材料：方格紙、透明方格、直尺、學生自制1 平方厘米的小正方形，讓學生動手操作，探究1 平方分米與1 平方厘米的關系。

擺一擺：密鋪、一排10 個，共10 排。

畫一畫：用直尺畫出小方格，感受面積的意義。

學生在充分的動手操作中體驗、感悟，使面積單位表象更清晰、更具體，“量感”也就建立起來了。

想一想：1 分米等于10 厘米，邊長為10 厘米的正方形面積為10×10=100 平方厘米。將形狀“印”在腦中，理清關系。

在活動的基礎上，通過計算、推理，同樣也能得到1 平方分米=100 平方厘米的結論，頭腦里的知識脈絡在理性思考和直觀操作的基礎上搭建起來，為后續學習平方千米提供想象依據和操作經驗，促進了學生的直觀呈現[5]。

三、借助實踐建模計量單位，促進量感提升

學生量感建立的基礎是各種實踐活動，充分感知計量單位，形成計量單位的表象，從而以計量單位作為參照，逐步發展量感。教師在教學中可以將量感的培養蘊含在各類實踐活動和實際運用中，體驗有層次的“量”。

(一）通過實物感知，內化量感

培養估測意識、提高估測能力是新課標的一項重要內容，也是培養學生“量感”的重要途徑。測量的目的是通過使用測量工具，得到精確的測量數據；而量感主要表現為在不借助工具的前提下對數量有比較準確的感知。

在學習四年級上冊“公頃”和“平方千米”這兩個比較大的面積單位時，教師設計了課外實踐活動，把學生帶到學校操場上，先幫學生估一下跨一步的長度，再讓學生沿著操場邊沿跨步走大概100 米的距離（大約200 步），再沿著另一個方向走兩百步，讓學生算一算邊長大約是多少米、面積大約是多少平方米，從而體驗邊長為100 米的正方形面積是10000平方米，也就是一公頃，100 個這么大的操場就是1平方千米。再讓學生估一下自己的學校占地面積大約是多少公頃。經常這樣練習，學生的估算能力和測量能力都能得到提高，對計量單位的把握也就更加精準，量感也就能得到進一步的發展。

（二）通過估測活動，豐富量感

重量單位“克、千克、噸”對于三四年級的孩子來說是無法真正體會的。因此教師在教學“克與千克”時可以借助生活中的一些實物讓學生親身感受一下，幫助學生建立單位表象。比如一個回形針、一粒花生米、一枚兩分的硬幣、一張A4 紙、一個乒乓球等大約是一克，兩瓶500ml 的礦泉水、15 個雞蛋、三袋牛奶（每袋330 克）大約是一千克。教師課前讓學生準備好這些實物，教學時讓學生掂一掂，體驗一克和一千克究竟有多重，再通過實物判斷哪些物體比一千克或者一克輕，哪些物體大約是一千克或者一克……

通過這樣的豐富多彩的實踐活動，學生借助生活中熟悉的實物來建立單位表象，對“克和千克”這樣的重量單位的概念逐步清晰，對量的感受也由直觀表象走向抽象推理，加深了學生對單位本質的理解，豐富了學生的量感體驗，從而促進了“量感”的提升[6]。

（三）通過實踐應用，深化量感

學習是為了應用，而知識只有在應用中才能被學生真正理解和掌握，也只有在實踐中才能進一步深化認知，體現知識的價值。

基礎練習：

1 平方千米＝（）公頃＝（）平方米

一個足球場約7000（）

學校占地面積約4（）

填好后引導學生說說自己的想法。

深化練習（舉生活中的實例）：

比1 公頃小的面積有_______________________

比1 公頃大的面積有_______________________

拓展練習：

1000000（）-100（）＝0（）

實踐應用的三個練習層層遞進。第一個基礎練習是對公頃和平方千米的整理和鞏固，發展學生對量的實際意義的認識，強化學生的認知；深化練習讓學生運用所學的公頃和平方千米的知識舉生活中的實例，培養學生的估測能力，修正面積單位的表象，提高量化的估測能力和表達能力；拓展練習讓學生用學過的面積單位進行選擇，深化面積單位的量感，為后續學習小數和分數化單位做鋪墊[7]。

總之，小學生“量感”的培養是一個循序漸進的過程，而培養學生的量感是通過計量單位的教學來實現的，因此教師要優化計量單位教學的策略，讓量感培養潛移默化地滲透到常態教學之中，讓學生在多元化的數學活動中積累“量感”經驗，發展量感[8]。