初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)：原則、要素及路徑

●余小芬，郭潤，劉成龍

數(shù)學(xué)作業(yè)是指為完成數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，要求學(xué)生在課后開展的獨(dú)立完成的各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)[1]。作業(yè)，作為課程改革的重要方面，是學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)的重要過程，對增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的元認(rèn)知能力、專注力、時(shí)間管理能力等具有重要意義[2]。加強(qiáng)作業(yè)設(shè)計(jì)研究不僅是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)、診斷學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展水平的重要抓手，也是有效落實(shí)“雙減”政策的關(guān)鍵所在。

一、初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)原則

堅(jiān)持全面發(fā)展、面向全體學(xué)生、聚焦素養(yǎng)發(fā)展、注重實(shí)踐創(chuàng)新是義務(wù)教育課程應(yīng)遵循的基本原則。作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，關(guān)注學(xué)生差異，體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)，幫助學(xué)生扎實(shí)“四基”、增強(qiáng)“四能”，形成正確的情感態(tài)度及價(jià)值觀。由此，確定初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的四個(gè)原則。

（一）針對性原則

針對性原則強(qiáng)調(diào)作業(yè)的設(shè)計(jì)必須基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的知識內(nèi)核及學(xué)情狀況，這是保障作業(yè)質(zhì)量、控制作業(yè)時(shí)長的前提和基礎(chǔ)。第一，作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)指向教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，能有效幫助學(xué)生扎實(shí)基礎(chǔ)知識、掌握基本技能。第二，作業(yè)設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平，要能設(shè)計(jì)與學(xué)生思維水平、生活經(jīng)驗(yàn)相吻合的問題情境或?qū)嵺`活動(dòng)，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考及應(yīng)用能力。第三，針對不同課型，作業(yè)設(shè)計(jì)也要有所側(cè)重。例如，新授課的作業(yè)，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵外延的鞏固認(rèn)識，對數(shù)學(xué)定理、公式、法則的理解運(yùn)用；針對復(fù)習(xí)課的作業(yè)，重視知識框架的梳理及綜合問題的解決。

（二）自主性原則

瑞士教育家皮亞杰指出，“學(xué)生認(rèn)知能力不是從外部形成的，只能由學(xué)生自身的發(fā)展來決定。真正的學(xué)習(xí)并不是由教師向?qū)W生灌輸知識，而是出于學(xué)生本身的自發(fā)性和主動(dòng)性”。章建躍博士也認(rèn)為，“學(xué)習(xí)歸根到底是自己的事情，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，學(xué)會(huì)思考，進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界”。尤其在科學(xué)技術(shù)日新月異的今天，教育給學(xué)生的影響，不僅是要讓他們習(xí)得一些事實(shí)性知識，更要幫助他們獲得自主學(xué)習(xí)的能力。自主性原則強(qiáng)調(diào)作業(yè)設(shè)計(jì)要能充分考慮學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷和生活體驗(yàn)，設(shè)計(jì)題型豐富、內(nèi)容有趣、形式新穎、結(jié)果開放的作業(yè)，最大限度地激發(fā)學(xué)生主動(dòng)作業(yè)、高效作業(yè)的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

（三）差異性原則

教育要面向全體學(xué)生，尊重學(xué)生的差異性，教學(xué)中不能采用“一刀切”。同樣，作業(yè)設(shè)計(jì)也要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異。作業(yè)難度要有梯度，內(nèi)容也要有區(qū)分，要增強(qiáng)作業(yè)的選擇性，體現(xiàn)作業(yè)的個(gè)性和彈性，讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[3]，促進(jìn)教育公平。當(dāng)然，除了要考慮學(xué)生個(gè)體間的差異，也要突出學(xué)習(xí)目標(biāo)的層次性和差異性，以此提高作業(yè)的有效性。比如，對同一數(shù)學(xué)知識的考查，可設(shè)計(jì)有差異的作業(yè)形式，在知識鞏固、能力考查、學(xué)情分析、檢測診斷等方面發(fā)揮不同作用。

（四）發(fā)展性原則

發(fā)展性原則既是作業(yè)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，又是作業(yè)設(shè)計(jì)的終點(diǎn)。發(fā)展性原則強(qiáng)調(diào)作業(yè)設(shè)計(jì)要著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展，著眼于學(xué)生未來發(fā)展。要用發(fā)展的眼光看待學(xué)生，要能充分挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能。倡導(dǎo)通過項(xiàng)目式、探究式等作業(yè)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的多元性、開放性和實(shí)踐性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)實(shí)踐創(chuàng)新、合作交流能力，形成“用數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”的意識。

二、初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的要素

（一）符合學(xué)科學(xué)情的內(nèi)容

作業(yè)設(shè)計(jì)以具體教學(xué)內(nèi)容為載體，作業(yè)內(nèi)容的選取既要反映學(xué)科本質(zhì)，也要符合學(xué)生認(rèn)知。首先，數(shù)學(xué)作業(yè)要基于課程目標(biāo)，聚焦數(shù)學(xué)核心知識，滲透數(shù)學(xué)思想方法，圍繞數(shù)學(xué)問題展開設(shè)計(jì)，減少死記硬背、機(jī)械重復(fù)作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生把握學(xué)科本質(zhì)，形成學(xué)科思維。其次，作業(yè)設(shè)計(jì)要做好學(xué)情分析。所謂學(xué)情分析，是教師主動(dòng)了解學(xué)生思想基礎(chǔ)和知識能力基礎(chǔ)的研究活動(dòng)，是歷來數(shù)學(xué)教學(xué)中行之有效的經(jīng)驗(yàn)[4]。正如奧蘇貝爾所指出的，“影響學(xué)生學(xué)習(xí)唯一重要因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并以此進(jìn)行教學(xué)”。只有了解學(xué)生的起點(diǎn)，才能更好把握作業(yè)難度、效度，發(fā)揮作業(yè)價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生從“最近發(fā)展區(qū)”向“現(xiàn)實(shí)發(fā)展區(qū)”跨越[5]。

（二）具備自主探索的環(huán)境

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式[3]。然而，課堂時(shí)間有限，無法充分展開部分學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生也難以在短暫而緊湊的課內(nèi)消化所有內(nèi)容，課后作業(yè)的設(shè)計(jì)恰好彌補(bǔ)這一不足，讓學(xué)生通過課后寬松自由的時(shí)間空間環(huán)境，開展較為充分的探索和發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，延拓學(xué)習(xí)的深度和廣度。此外，面向人工智能高速發(fā)展的時(shí)代，作業(yè)設(shè)計(jì)還應(yīng)注重與信息技術(shù)的有效融合，重視大數(shù)據(jù)、人工智能等對作業(yè)活動(dòng)的輔助作用，如利用翻轉(zhuǎn)課堂、云課堂等網(wǎng)絡(luò)資源，豐富學(xué)生課后學(xué)習(xí)資源，拓寬學(xué)習(xí)渠道，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。還比如，教師利用數(shù)學(xué)軟件指導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的意識，增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)的能力。

（三）具有靈活多樣的類型

要發(fā)揮作業(yè)鞏固、診斷、學(xué)情分析等多種功能，需要考慮作業(yè)內(nèi)容的豐富性和作業(yè)類型的多樣性。多樣性既是對學(xué)生差異性的尊重，也是對教學(xué)內(nèi)容的有的放矢。對數(shù)學(xué)作業(yè)的內(nèi)容而言，可以考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和技能的理解與掌握，也可考查對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟與應(yīng)用，還可考查綜合解決問題的能力與素養(yǎng)。應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)的是，在作業(yè)內(nèi)容的選取及處理上，教師要做到“四要”，即要重視單元視角的整體規(guī)劃，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)及社會(huì)生活的緊密聯(lián)系，要關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識整合，要探索智育與德體美勞的有效融合。

（四）提供科學(xué)有效的評價(jià)

作業(yè)評價(jià)應(yīng)堅(jiān)持以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，關(guān)注學(xué)生綜合能力的提升，關(guān)注學(xué)生情感態(tài)度和價(jià)值觀的變化。教師作為作業(yè)評價(jià)的重要主體，首先應(yīng)轉(zhuǎn)變作業(yè)評價(jià)觀，從重視作業(yè)“量”轉(zhuǎn)為關(guān)注作業(yè)“質(zhì)”，從設(shè)計(jì)鞏固提升的“短作業(yè)”走向素養(yǎng)發(fā)展的“長作業(yè)”[6]。其次要?jiǎng)?chuàng)新評價(jià)方法，注重基于證據(jù)的評價(jià)，探索增值評價(jià)，倡導(dǎo)協(xié)商式評價(jià)，推進(jìn)表現(xiàn)性評價(jià)[7]，全面關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，切實(shí)關(guān)心學(xué)生的已有數(shù)學(xué)水平和提升空間。學(xué)生作為學(xué)習(xí)的第一責(zé)任人，應(yīng)積極主動(dòng)開展自評和互評。通過自評，學(xué)生了解自己在作業(yè)時(shí)間、壓力、情感變化以及掌握知識等方面的程度，增強(qiáng)自我學(xué)習(xí)管理能力。通過互評，學(xué)生產(chǎn)生橫向比較與學(xué)習(xí)，促進(jìn)自我反思和完善[8]。斯塔弗爾比姆曾說：“評價(jià)最重要的意圖不是為了證明，而是為了改進(jìn)。”作業(yè)評價(jià)，也正是為了學(xué)與教的不斷改進(jìn)和提升。

三、初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的路徑

（一）立足教材，展現(xiàn)知識核心內(nèi)容

教材是連接課程方案與教學(xué)實(shí)踐的樞紐，是教師教和學(xué)生學(xué)的載體[9]。數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源[10]。因此，作業(yè)設(shè)計(jì)必須重視教材的分析。作業(yè)內(nèi)容要基于課標(biāo)要求，符合教材內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心知識、思想方法，不能隨意、盲目地增刪知識。立足教材的同時(shí)還應(yīng)超越教材，創(chuàng)造性使用教材。

（二）提供平臺，倡導(dǎo)探索交流活動(dòng)

作業(yè)的完成需要較為充足的時(shí)間和相對自由的空間，這是保障作業(yè)順利進(jìn)行的前提。首先，教師應(yīng)提供較為充足的作業(yè)時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、探索、體驗(yàn)，促進(jìn)對知識的深度理解。其次，教師可圍繞作業(yè)評閱環(huán)節(jié)，展示學(xué)生作業(yè)情況，鼓勵(lì)學(xué)生交流完成作業(yè)的收獲與困惑，加強(qiáng)師生、生生互動(dòng)，提高學(xué)生的表達(dá)反思能力。最后，教師可借助技術(shù)手段和網(wǎng)絡(luò)資源，突破課堂時(shí)空限制，為學(xué)生開展個(gè)性化學(xué)習(xí)和交流活動(dòng)提供廣闊平臺。

（三）體現(xiàn)差異，鼓勵(lì)分層個(gè)性作業(yè)

設(shè)計(jì)差異化、層次化、個(gè)性化的作業(yè)，不僅能減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，減少數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)挫敗感，還能有效挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心。分層個(gè)性作業(yè)設(shè)計(jì)，需要教師結(jié)合教學(xué)重難點(diǎn)和學(xué)情分析，有梯度、有區(qū)分地設(shè)計(jì)作業(yè)。內(nèi)容上從考查基礎(chǔ)知識、基本技能、思想方法到綜合能力逐層遞進(jìn)，形式上不僅要有傳統(tǒng)題型，也要考慮數(shù)學(xué)小報(bào)、思維導(dǎo)圖、研究報(bào)告、數(shù)學(xué)小論文等個(gè)性作業(yè)。

（四）重視評價(jià)，關(guān)注能力素養(yǎng)發(fā)展

作業(yè)評價(jià)是學(xué)校作業(yè)管理的重要一環(huán)，對于掌握學(xué)生學(xué)情、檢測教學(xué)效果、優(yōu)化教學(xué)方法具有重要作用[11]。如何進(jìn)行科學(xué)有效的作業(yè)評價(jià)呢？應(yīng)注重基于證據(jù)的評價(jià)，重視對作業(yè)的批閱、記錄和分析；探索增值評價(jià)，尊重學(xué)生的情感體驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生真實(shí)發(fā)生的進(jìn)步；倡導(dǎo)協(xié)商式評價(jià)，加強(qiáng)對話交流，促進(jìn)評價(jià)雙方自我總結(jié)、反思、改進(jìn)；推進(jìn)表現(xiàn)性評價(jià)，通過作業(yè)展示、成果匯報(bào)、實(shí)踐操作等方式，關(guān)注學(xué)生綜合實(shí)踐能力和學(xué)習(xí)情感態(tài)度的發(fā)展[7]。

四、初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)案例

案例：人教版八年級（下）第十七章“勾股定理”第一節(jié)“勾股定理”的作業(yè)設(shè)計(jì)

勾股定理是平面幾何中的重要定理，也是初中階段圖形與幾何領(lǐng)域的核心知識，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是溝通幾何與代數(shù)的有力工具。本節(jié)學(xué)習(xí)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程，增強(qiáng)推理能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；體會(huì)數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性、簡潔性；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題、解決問題，發(fā)展模型觀念[3]。因此，基于課標(biāo)導(dǎo)向和“雙減”精神，設(shè)計(jì)如下四個(gè)層次的課后作業(yè)：

（一）扎實(shí)基礎(chǔ)——勾股定理的理解應(yīng)用

題目1 如圖1，圖中所有三角形都是直角三角形，四邊形A，B，C，D，E 都是正方形。已知正方形A，B，C，D 的邊長分別為12，16，9，12，求最大正方形的面積。

圖1

題目2 如圖2 所示，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10 尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1 尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)。它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

圖2

題目3 我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理點(diǎn)，有的表示無理點(diǎn)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？ 按照找的方法，在數(shù)軸上畫出的點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：題目1、2、3 皆取自教材，三個(gè)題目在問題難度、內(nèi)容設(shè)置、考查能力方面逐層遞進(jìn)。具體為：題目1 再現(xiàn)面積法證明勾股定理的模型，既強(qiáng)化了探索勾股定理的教學(xué)重點(diǎn)，也體現(xiàn)了勾股定理的簡單應(yīng)用及模型價(jià)值。題目2 在題目1 的基礎(chǔ)上，增加對學(xué)生在實(shí)際情境中數(shù)學(xué)抽象能力的考查，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀、空間想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。同時(shí)，題目2 取材于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，不僅能弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)取得的卓越成就，也能推廣閱讀數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，推動(dòng)數(shù)學(xué)文化走進(jìn)課堂、融入課堂。題目3 蘊(yùn)含“海螺無理數(shù)”的數(shù)學(xué)文化背景，展示勾股定理溝通代數(shù)與幾何的工具價(jià)值，幫助學(xué)生積累勾股定理解決線段長問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)尺規(guī)作圖的能力。

（二）拓展知識——勾股定理的證法探索

任務(wù)1 閱讀教材第30 頁閱讀材料“勾股定理的證明”，嘗試根據(jù)畢達(dá)哥拉斯證法（圖3）、弦圖另一種證法（圖4）、加菲爾德“總統(tǒng)證法”（圖5）的圖形提示證明勾股定理，并總結(jié)上述證法之間的聯(lián)系與區(qū)別。

圖3

圖4

圖5

任務(wù)2 結(jié)合網(wǎng)絡(luò)資源，查詢了解關(guān)于勾股定理的更多證法，并自行整理2 種不同證法，與同學(xué)交流分享。

設(shè)計(jì)意圖：任務(wù)1 一方面引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣，提高自主學(xué)習(xí)、反思總結(jié)的能力，一方面發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理、幾何直觀、模型觀念等核心素養(yǎng)。同時(shí)，在問題證明中感受數(shù)學(xué)思維的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)家們解決問題的創(chuàng)造性。任務(wù)2 鼓勵(lì)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源展開自主探索、同伴交流。不僅讓學(xué)生了解勾股定理發(fā)展歷程中所積累的豐碩成果，拓寬知識視野，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，同時(shí)也增強(qiáng)學(xué)生查詢并獲取資源的能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)交流。

（三）實(shí)踐創(chuàng)新——勾股定理的生活妙用

任務(wù)3 結(jié)合教材內(nèi)容，歸納總結(jié)勾股定理的作用。利用勾股定理解決你在生活中遇到的問題，并嘗試用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)和問題解決。

設(shè)計(jì)意圖：任務(wù)3 將數(shù)學(xué)還原到生活中，為學(xué)生“用數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”搭建平臺，讓學(xué)生在做中學(xué)、學(xué)中思、思中悟、悟中創(chuàng)。

（四）反思學(xué)習(xí)——勾股定理逆命題探究

任務(wù)4 利用數(shù)學(xué)語言寫出勾股定理的逆命題，并嘗試探究該命題的真假。

設(shè)計(jì)意圖：弗萊登塔爾曾說：“即使是兒童，也已經(jīng)具有某種‘潛在的發(fā)現(xiàn)能力’，他們的思維和行為方式已經(jīng)具備了某些教師甚至研究人員的特征，讓他們重復(fù)人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)是完全可能的。”任務(wù)4 作為后續(xù)新課學(xué)習(xí)內(nèi)容，可作為選做題，主要是針對學(xué)有余力的學(xué)生，積極喚醒、激發(fā)他們的思維活動(dòng)，引導(dǎo)他們自我完善知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建命題體系。同時(shí)，幫助他們體會(huì)數(shù)學(xué)研究的方法和手段，增強(qiáng)研究性學(xué)習(xí)的意識和能力。

減負(fù)，不僅要做“減法”，更要做“加法”，并且“減”的關(guān)鍵取決于學(xué)習(xí)質(zhì)量的“加”。作業(yè)，是課程改革中不可忽視的關(guān)鍵領(lǐng)域[2]，只有提高作業(yè)質(zhì)量，關(guān)注作業(yè)有效性，才能減少學(xué)生機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練，切實(shí)減輕學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)，為其全面發(fā)展提供可能。