鐵路橋墩通用計算平臺任意截面形變剛度與溫度初載法研究

王雨權，國巍，蘇偉，廖立堅，李林安，周俊龍

(1.中國鐵路設計集團有限公司 土建工程設計研究院，天津 300308；2.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；3.天津大學 力學系，天津 300350；4.中國建筑第六工程局有限公司 工程技術研究院，天津 300170)

到2025 年，高鐵營運里程將達5 萬km，多數高鐵的橋梁占線比超50%[1-2]。隨著鐵路網覆蓋區域不斷擴大，高鐵橋梁的設計、建造及運營環境日趨復雜[3]。軟土地基沉降、列車循環活載、日照溫差、收縮徐變等均可誘發橋墩沉降、側偏、移位變形，導致軌道幾何狀態惡化，影響行車安全[4-8]。高鐵需保持毫米級甚至亞毫米級的軌道平順性，設計階段應著力提高橋墩及基礎的外力、變形的計算精度。國內高鐵建設任務重、簡支梁占比高，高鐵橋梁設計的主要任務便是大規模簡支梁橋墩和樁基礎的高質量批量化設計。為滿足設計周期及質量要求，主要鐵路設計院都開發了批量化、集成化的橋墩及樁基礎設計軟件，但這些設計軟件在求解橋墩外力、剛度、墩頂位移等設計指標時，往往隱含簡化條件。如橋墩地震力采用《鐵路工程抗震設計規范》(GB 50111—2006)中的單墩模型簡化算法計算，誤差具有離散性[9]；剛度計算采用分節段等截面柔度法處理[10]，對于形變橋墩，計算精度依賴于節段劃分的疏密，影響鋼軌縱向力的準確分配[11-12]；計算溫度引起的墩頂位移時，采用基于實測的經驗公式法或線性化溫度場處理，誤差較大[13]，復雜橋墩截面作用非線性溫度時，依賴于有限元建模處理，無法滿足設計周期的要求。設計中可采用包絡法處理，但存在不必要的工程浪費。面對上述工程問題，有必要在現有的批量化、集成化設計平臺中增加能精準計算復雜墩形外力、墩頂位移等設計指標的功能。有鑒于此，本文立足自主研發，構建了基于任意截面幾何特性計算方法，通過余能原理及卡氏第二定理建立了形變剛度矩陣，推導了形變單元的等效溫度計算方法。從而構建了一套高效率、高精度的鐵路橋墩通用計算平臺(以下簡稱平臺)。

1 平臺的功能架構

鐵路橋墩設計或全橋樁基計算時，需對橋墩進行多指標驗算，并對橋墩所受外力、剛度及位移進行完整計算。因此，平臺應具備精準計算復雜截面墩形外力、墩頂位移、活載支反力[14]、配筋檢算等功能，并可選擇設計規范自動進行相應荷載計算和組合工作。集成化的平臺使得平均設計效率提高30%以上，如活載支反力計算時，根據設計控制工況，直接計算出“雙孔重載”等類型的活載支反力計算結果用于橋墩和樁基檢算，省卻了繁瑣的有限元建模時間，圖1給出了整體架構及功能示意。

圖1 平臺功能架構圖Fig.1 Functional architecture of the platform

平臺根據橋墩里程、線路高程、地面線及橋梁設計原則，批量化計算出每個橋墩的墩高，調取或輸入橋墩截面信息，然后運用任意截面幾何特性計算功能計算出橋墩各節點處的截面特性。與形變單元剛度及加載技術結合，計算出剛度矩陣，并可進一步計算出地震力等外荷載。與溫度效應計算功能結合，可計算出任意溫度場作用下的墩頂位移、溫度應力等檢算指標。對于波浪力等無法直接計算的外力，平臺預留了外力參數供設計者輸入。

平臺底層核心技術為基于任意截面的形變單元加載技術，包含任意截面幾何特性計算、形變單元剛度、形變單元的溫度效應計算等核心算法，下面分別對上述算法進行介紹。

2 任意截面幾何特性計算方法

橋墩截面越來越復雜，如多線橋墩出現了位置不定、形狀各異的掏空截面，泰國高鐵出現了花瓶型橋墩等追求景觀效果的異型橋墩。這類復雜截面無法通過常規截面模板定義，更無法通過參數化公式計算截面特性。因此，需設計一套能適應任意截面(如圖2 所示)輸入的格式，并構建基于該格式的任意截面幾何特性通用算法。

圖2 任意截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of arbitrary section

2.1 任意截面輸入格式

對如圖2所示的任意截面，構建了一套輸入規則，約定如下。

1) 各邊按逆時針方向輸入，分號“；”隔開。2) 每條邊包含5 個參數，逗號“，”分開。3) 5 個參數的物理意義如下：①截面號，>0 外輪廓，<0內輪廓；② 起始端點x坐標；③起始端點z坐標；④ 半徑r，=0直線段，>0圓弧半徑；⑤ 圓弧標示，=0整圓，>0劣弧，<0優弧。

例如，邊長為3 的正方形，其左下角在原點，兩邊與坐標軸平行，按輸入規則可用表1 數據表示。

表1 邊長為3的正方形輸入數據Table 1 Input data for a square with side length 3

2.2 任意截面幾何特性的算法

任意截面的幾何特性計算，常采用梯形(三角形)分塊法、格林公式法[15]，這些算法在計算面積等常規特性時具有優勢，但無法計算扭轉系數、剪切中心等特性。格林公式需描述邊界，難以適用復雜截面。

采用網格剖分并基于泊松方程的數值法實現任意截面特性問題的求解[16]，數值計算公式簡述如下。

截面面積：

式中：Ne表示單元數；Ng表示積分點數；Hi表示第i個單元的加權系數。

截面慣性矩：

式中：x，y為橫截面坐標；(x0,y0)為形心坐標。

扭轉特性計算需基于泊松方程的數值方法求解，以ω表示扭轉函數，控制方程可表示為

式中：A表示截面輪廓內的單元。

在橫截面的外邊界Γ0上，滿足如下邊界條件：

基于方程(4)，可得等效剛度和載荷右端項：

將式(5)代入平衡方程式(6)，即得扭轉函數ωe。

式中：Ke和Re分別為基于泊松方程的單元剛度矩陣和等效結點荷載向量；N為形函數向量，與剖分單元相關；T為轉置運算符。

然后，即可利用下式計算扭轉常數J：

計算得到截面特性后，在橋墩剛度或內力計算時，只需賦予單元兩端截面所對應的參數即可。

3 形變單元剛度及加載

橋墩在高度方向上一般呈現下寬上窄的形式，為更精準模擬橋墩受力，有必要推導出適合形態變化橋墩計算的形變單元剛度及其加載體系。

3.1 形變單元剛度

推導形變單元剛度可基于位移場形函數假設，但該方法的平衡方程只能在特定內部積分點得到滿足[17-20]。為確保平衡方程在單元內部任意位置都精確滿足，本文基于懸臂模型及力的平衡條件，利用余能原理及卡氏第二定理，推求了形變單元剛度矩陣。如圖3 所示，假定形變單元左端固定，即：

圖3 形變單元示意圖Fig.3 Schematic diagram of tapered element

式中：ui，vi，wi分別為節點i的縱向、橫向、豎向水平節點位移；θix，θiy，θiz分別為節點i繞3個水平方向的轉角位移。

由靜力平衡條件可得，距單元左截面x處的軸力、剪力、扭矩和彎矩分別為：

式中：N，Qy，Qz分別代表軸向力、2 個方向的剪力；T，My，Mz分別代表扭矩、繞y，z軸2 個方向的彎矩；下標j代表節點j。

對線彈性結構而言，余能U*與應變能U的數值相等，根據定義可得

式中：右端第1 項為拉壓應變能；第2 和第3 項為剪切應變能；fsy和fsz為剪應力非均勻分布系數，即截面剪切形狀系數，對于橋墩單元可忽略；第4項為扭轉應變能；最后2項為彎曲應變能。

將式(9)代入式(10)進行積分，然后根據卡氏定理求解，并整理成矩陣形式的表達式

式中：Rj為柔度矩陣，其積分格式如式(12)所示。

由式(12)可知，只要給出橋墩形變單元具體的截面變化規律，就可以求出表達式中的各積分系數。對柔度矩陣Rj求逆可得到對應的剛度矩陣Kjj。

建立形變單元的剛度矩陣，有關系式：

式中：F表示單元節點力，δ表示節點位移。對應于圖3 所示左端約束懸臂模型，即δi=0 的情況，式(13)可簡化為：

由靜力平衡條件得

可記為

式中：H為式(15)表達式中的平衡矩陣。

由式(13)和式(14)可得：

綜合式(17)及Kjj的表達式，即可得到形變單元的剛度矩陣。

3.2 單元節點荷載的處理

對于橋墩結構，剛度較大，截面形式對于節點力的影響不大。單元節點荷載可采用結構力學中轉角位移方程求解。單元總的節點荷載Fe可用如下表達式表示：

式中：Fef表示單元非節點荷載引起的等效固端力；Ke·δe表示單元節點位移產生的節點荷載。

4 溫度效應計算

溫度引起的墩頂位移時常控制空心高墩的結構尺寸。鐵路設計手冊[10]給出了基于實測數據的溫度墩頂位移經驗計算公式，該公式只適用于圓形及圓端型空心墩，也無法適用于復雜溫度場。實際工程中，復雜橋墩還需按實測溫度場計算。為提高通用性，需設計一套適用于任意溫度場溫度數據輸入的通用格式。

4.1 溫度場的輸入格式

如圖4(a)所示，沿墩高方向劃分單元，設單元上下截面為i，j截面，溫度沿坐標軸Z作用于橋墩。從單元ij截取微元體，以單元中間截面溫度場表征單元溫度，圖4(b)給出了該截面的溫度場示意圖。

圖4 橋墩溫度作用示意圖Fig.4 Schematic diagram of temperature effect for bridge pier

O-XYZ為整體坐標，溫度信息與單元尺寸掛鉤，可分別輸入(B，H1，H2，T1，T2)這5 個參數表示計算參數。其中B為沿x軸考慮溫度變化的等效寬度，如溫度分布不規則，則按溫度分布面積等效原則換算；H1，H2表示溫度荷載位置到參考坐標的距離；T1，T2表示H1，H2位置處對應的溫度。

4.2 溫度效應計算

溫度效應的等效荷載計算，對于等截面單元和形變單元，方法有所不同。

對于等截面單元，遵循初應變法按下式計算：

式中：N為沿墩高方向的縱向軸力；My，Mz為繞y軸、z軸的彎矩；Ty，Tz為局部坐標方向y，z的非線性溫度分布；T取Ty，Tz兩者較大值，按輸入的T1，T2取值計算；yc，zc為截面形心位置坐標；E為彈性模量；α為混凝土的線膨脹系數。

對應的單元節點力矩陣{Pi,Pj}T為：

形變單元由于各位置的截面特性不同，溫度在各截面上引起的曲率變形也不同。這些變形等價于單元內部作用了等效分布荷載及節點等效彎矩和剪力。下面通過引入初軸力、初彎矩概念，基于單元力學平衡關系，計算出最終的等效節點力。

4.2.1 初始軸力和初彎矩

首先計算初軸力和初彎矩，遵循初應變法按照如下公式計算。

式中：N，M為軸力和彎矩；上標0 代表初始值；下標y，z代表2方向；Ai，Aj為單元兩端面積。

表2 5種工況墩高組合數據Table 2 Pier height combination data sheet for five conditions

4.2.2 等效均布荷載

在形變橋墩單元內，初彎矩沿單元長度連續變化，可等效為單元長度范圍內作用有y，z2方向等效分布荷載qy(x)，qz(x)，計算公式如下：

將求得的qy(x)，qz(x)代入固端力計算公式，即可得到對應的等效節點荷載，用上標1表示。

4.2.3 集中剪力

由于溫度荷載為內力荷載，構件內部應滿足自平衡，從而可得相應的集中剪力，計算公式如下：

疊加初始軸力和彎矩、均布荷載、集中剪力對應的等效固端力后，即可得到最終溫度等效荷載。

5 算例驗證

融合任意截面、形變單元、溫度效應等技術編制而成鐵路橋墩通用計算平臺，為檢驗平臺算法的準確性，利用有限元軟件Midas 及Abaqus 對形變橋墩地震力及溫度作用墩頂位移分別對比驗證。

5.1 地震力驗算

地震力驗算工況選取某高鐵(60+100+60) m 連續梁為算例，聯間墩簡支梁側及制動墩為固定支座，其余為縱向活動支座。橋墩和承臺采用C35混凝土，樁基礎為摩擦樁，承臺底采用“m”法等效彈性約束。地震基本烈度Ⅶ度，地震動峰值加速度0.15g，場地類別Ⅲ類，反應譜特征周期0.45 s，橋梁重要性系數1.5，采用反應譜法進行墩底地震力及地震彎矩的對比分析。圖5 為其Midas 模型，梁和橋墩均為形變構件，平臺采用本文的形變單元模擬，截面幾何特性采用任意截面特性計算功能計算。

圖5 Midas測試模型Fig.5 Midas’ test model

為豐富測試結果，以該連續梁實際工況為基礎，補充4 組墩高組合，對應墩高如表2 所示。提取無車情況下各工況地震作用下對應的1～4 號墩墩底縱向水平力及彎矩、橫向水平力及彎矩的計算值。

表3 給出1 號墩在5 種墩高組合工況下對應的平臺與Midas的計算數值及其誤差值。

表3 各地震工況地震力與地震彎矩對比(1號墩)Table 3 Comparison of seismic force and seismic bending moment for each seismic condition (Pier 1)

圖6(a)給出了1 號墩在5 種工況下縱橫向水平力對比圖，圖6(b)給出了1 號墩縱橫向彎矩對比圖。圖中，Px，Py代表Midas 的縱向、橫向水平力，kN；Fx，Fy代表平臺的縱向、橫向水平力，kN。Mx，My代表Midas的縱向、橫向彎矩，kN·m；MFx，MFy代表平臺的縱向、橫向彎矩，kN·m。

圖6 Midas與平臺計算結果對比圖(1號墩)Fig.6 Comparison of Midas and platform calculation results (Pier 1)

從表3 及圖6 給出的對比結果可看出，平臺與Midas 的計算值很接近，最大誤差0.18%。由于地震力計算涉及振型頻率的求解，與形變單元的剛度矩陣及其任意截面計算功能相關，從而顯示了本文所推導的形變單元技術的高精度性，2～4 號墩的對比誤差值與1號墩接近，本文從略。

平臺在計算地震力時，根據鐵路抗震規范自動形成有車和無車的地震力模型，設計者使用時，只需填好地震烈度等參數，即可共享全橋圖設計中的橋墩、樁基與地質信息(如圖8所示)。

5.2 溫度墩頂位移驗算

為驗證溫度效應計算功能，采用能代表典型形變構件的橋墩進行驗證。選取某鐵路圓端形空心橋墩進行溫度墩頂位移的對比分析。選取墩全高分別為21，30，40 和50 m 4 個橋墩進行計算，橋墩上下均有一個3 m 高的實體段，墩身混凝土材料為C35 混凝土，墩頂空心部分壁厚0.5 m，墩底壁厚根據實際工程的內外坡率線性放坡計算。溫度場采用《鐵路橋涵混凝土結構設計規范》(TB 10092—2017)附錄B 中的溫度場，溫度曲線公式T(y)=T0e-αy，T0為溫差，15 ℃；α為溫差分布系數，5；T(y)為截面計算點y處的溫差值。

采用Abaqus 進行仿真驗證，模擬單元為c3d8R 單元，溫度曲線采用預定義溫度場函數模擬。Abaqus計算的縱橋向墩頂位移仿真云圖如圖7所示，單位mm。對Abaqus 中墩頂橫截面所有單元的墩頂位移取平均值，并將平均值列入表4中。

表4 圓端形空心墩各墩高墩頂位移對比Table 4 Comparison of the displacement of the top of each pier height of the round end-shaped hollow pier

圖7 Abaqus計算結果Fig.7 Abaqus calculated result

平臺采用本文所述的形變單元溫度等效荷載法處理，以21 m 墩高的墩頂位移計算為例，設計者只需選擇設計規范，輸入橋墩尺寸，填好相關溫度參數(圖8 方框處)，平臺即可自動計算出墩頂位移。分別計算出4種墩高對應的墩頂縱橋向位移并填入表4中。

圖8 平臺計算溫度作用墩頂位移界面圖Fig.8 Interface diagram of platform for temperature effect calculation of pier top displacement

從表4 可以看出，最大誤差0.52%，誤差隨墩高增加而減小，由此可見，本算例給出的計算墩高均超21 m，誤差均少于1%。本文所述溫度效應計算功能的準確度高，并節約了計算復雜墩形所需建模的時間。

6 結論

1) 任意截面自定義輸入格式及基于泊松方程的有限元求解方法在計算任意截面幾何特性時，其計算精度滿足工程要求。

2) 通過基于力的平衡方程及利用余能定理、卡氏第二定理求解得到的形變單元剛度矩陣，能滿足計算平臺處理形變構件的模擬功能，地震力計算最大誤差0.18%。

3) 通過自定義溫度場格式及引入初軸力、初彎矩概念，并通過力學平衡求得的節點等效溫度荷載，能滿足復雜溫度場的加載計算需求，當圓端形空心墩墩高超過21 m 時，溫度墩頂位移最大誤差0.52%。

4) 依托形變單元、任意截面幾何特性、溫度效應等效荷載等核心技術的鐵路橋墩通用計算平臺，與高鐵橋梁數字化設計系統完美融合，實現高鐵橋墩及基礎的批量一體化設計。