基于“三觀”結構情境的立體認知教學實踐
——以“用一元二次方程解決實際問題”教學為例

■萬志建，陳鋒

數學教育的目的是教會學生發現、探索、研究、解決生活中的數學問題。數學問題的解決不僅有助于發展思維，而且可以培養學生解決日常生活問題的基本技能。蘇科版教材“用一元二次方程解決實際問題”一章中，以“鐵絲圍矩形問題和增長率問題”作為教學情境來開展教學，旨在通過教學情境的創設，讓學生體會知識之間的聯系，并學以致用，與實際生活形成聯系。在實際教學中，很多教師只是簡單地將情境與部分知識點相對應，作為導入的一個引子，教學銜接有失自然，呈現碎片化脫節現象，不利于發展學生的整體思想；也有部分教師講“鐵絲圍矩形問題”后采用變式教學，深挖題、廣發散，由此引伸到求某一矩形區域內做路后剩余區域面積問題，然后對等寬的路的形狀、位置、數量進行變式，從中滲透平移、割補、極限思想，盡管挖掘有深度、互動有熱度，但過于聚焦局部，深而不廣，沒有真正發揮情境的作用。《義務教學數學課程標準（2022 版）》（以下簡稱課標（2022 版））在教學建議中指出，要整體把握教學內容，注重教學內容的結構化及與核心素養的關聯，豐富教學方式，重視單元整體教學設計，強化情境設計與問題的提出。基于此，本文以“用一元二次方程解決實際問題”教學為例，從宏觀、中觀、微觀三個視角創設情境，構建立體教學。

宏觀情境是指站位單元，縱向梳理課時產生的前因后果、結構關聯、價值意義，幫助學生用整體的、聯系的、發展的眼光看問題；站位學段，橫向類比同類單元的學習內容與經歷，整體把握章節結構，感悟學習方法，內明本單元的知識走向，外通同類單元知識結構。中觀情況是指站位課時，用完整的大情境統領和串聯課時知識點，隨著情境的展開，知識點應景而生，知識明線和素養暗線交織前行，幫助學生明晰知識產生的源點、傳承的支點與發展的遠點，培養學生的抽象、推理與建模能力。微觀情境是指化整為零，聚焦知識點中的關鍵語點，設置鋪墊，各個擊破，從而突破重點，化解難點，加深學生對知識點的顯性與隱性認識； 集零為整，把知識點放置于不同的情境中，通過變式拓展，讓學生全面理解知識點的內涵與外延，從而夯實“四基”，提升“四能”。“三觀”情境意在貫通章節、串聯課時、聚焦局部，幫助學生經歷問題的形成、發展及演變過程，發現和提出有意義的數學問題，進行數學探究，從而構建普適的數學模型，來表達和解決問題，發展數學核心素養，提高學生的應用意識和實踐能力。情境可以理解為學生進行學習活動時的一種環境和背景，它給學生提供思考的空間，是誘發學生提出問題并解決問題的一種刺激材料[2]。如果把知識比作必需的營養，則教師創設的情境相當于精心設計的營養配餐，設計時既要了解不同地區學生習慣的菜系、口味等宏觀背景，也要體現菜品的搭配組合、呈現的先后順序這條主線，更要立足聚焦于各個菜品的色香味和特色亮點，激起學生學習興趣，讓學生在細嚼慢咽中充分吸收知識營養。

一、以宏觀情境貫通章節，構建單元整體模型

課標（2022 版）在教學建議中指出，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，本質上就是從宏觀角度設計情境。縱觀初中教材的編寫呈逐級遞進、螺旋上升的特點，因此可依據單元中各課時的銜接和學段中同類單元的關聯創設情境，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系[3]，讓學生預知學習內容，了解學習方法。要想構建整體的知識結構，首先必須放眼整章分析課時的地位作用、來龍去脈，從而創設逐層遞升、環環相扣的教學情境，形成清晰的課時生長路徑，繼往開來地構建單元教學任務，更好地幫助學生把握整章單元知識結構，體會數學知識間的邏輯關聯，提升綜合解決實際問題的能力。本課時內容從單元視角看，是從源于生活中具體問題分析，得出方程模型，再到一元二次方程的概念和求解等內容基礎上的繼續，既是對章首提出的實際問題呼應回歸，形成知識鏈閉環，也是真正解決實際問題的重要一課，體現數學來源于生活、服務于生活的本質。其次必須站位學段，類比同類單元，梳理教材內容中形式、教學結構的內在邏輯關聯，發揮教材中知識點的節點效應，從孤立到通聯[4]，使學生能夠基于以往學習的經驗，對章節內容的安排及走向形成合乎邏輯的解釋，并為整體架構知識體系，為類比遷移解決實際問題提供思路與方法，有效促進深度學習。在學習本課時前，學生先后經歷用一元一次方程、二元一次方程、分式方程解決實際問題，已具備扎實的知識技能，積累了豐富的學習經驗，領會了相應的數學思想方法，因此溫故知新有助于學生感悟其中相通的規律、本質和價值，提升技能的遷移類比能力。

問題1：在本章中我們依次學了哪些內容？

教學說明：讓學生順次回顧已學內容，梳理本章知識的生長、發展過程，形成清晰的課時生長路徑，以明確本課時的起點，從宏觀上設計單元整體情境，將課時內容融入整體章節，進行知識的整體架構，構建前后知識之間聯系的橋梁，為后繼學習奠定基礎。

問題2：我們已經了解一元二次方程，學習了相關內容，并掌握了如何解一元二次方程，如何應用一元二次方程呢？

教學說明：讓學生從兩個視角解釋，一是學以致用解決章首提出的很多實際問題，首尾呼應體現章節內容的完整性；二是類比之前方程單元的學習經驗，無論是一元一次方程、二元一次方程還是分式方程，都是從實際問題出發引出概念，再學習如何解方程，最后回歸到用方程解決實際問題中去。從而構建出如圖1 所示的單元知識結構，凸顯知識間的本質聯系，體會本課時的價值。

圖1 單元知識結構

問題3：類比之前方程的學習經驗，如何開展方程類知識的學習？

教學說明：初中教材的編寫呈逐級遞進、螺旋上升的特點，學生通過橫向比較方程類單元之間的關聯，思考解決方程類問題的通性通法，讓學生在見到具體問題之前，心中已有初步的方法構想，從章節整體出發，采用宏觀情境，構建普適的單元整體教學模型。

二、以中觀情境串聯課時，生成教學明暗雙線

課標（2022 版）在教學建議中指出，為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養之間的關聯。因此教學情境的創設要基于課時內容，從學生實際的生活經驗和已有的知識背景出發，按知識“從哪里來？是什么？怎樣學？怎樣用？向哪里去”的邏輯，串聯起一條教學活動（問題）明線，多個知識點通過相互關聯形成知識鏈[5]。同時“數學直觀、數據分析、邏輯推理（去異求同）、數學抽象（揭示特質）、數學建模（靈活應用）、提煉思想”的素養暗線隨著情境的發展、問題的驅動，與教學明線如影隨形，比翼雙飛，交織前行，形成生長課堂結構。作為一名教育工作者，學校的教育教學活動要以人為本，以學生的認知規律為本，創設不同類型的數學情境，教給學生具有生長力的數學，讓學生數學知識獲得生長的同時，也讓學生數學思維、數學素養獲得生長。學生在生長情境中不斷增強創新及應用能力，提升數學建構、數學推理、數學抽象等素養。本課時內容主要包括面積問題、增長率問題及利潤問題，通過圍地種桃情境，融入“空地圍籬笆、收成增長率及降價促銷”等三個情節，生長出這三類問題，讓學生掌握“用一元二次方程解決實際問題”的主要題型、方法技能，感悟數形結合、數學建模、類比、轉化等數學思想。

問題1：回顧章首內容，從問題到方程，我們列舉了哪些問題？

教學說明：通過回顧章首問題，讓學生對“用一元二次方程解決實際問題”的主要題型有一個初步的了解，也為后續用“從一塊空地說起”這一中觀情境串聯、拓展部分題型作鋪墊，構建出如圖2 所示的課時知識結構。

圖2

問題2（面積問題）：小明家旁邊有一塊空地，現用40 米長的圍欄：

（1）能否圍成面積是96 平方米的矩形區域？

（2）品味“能否圍成”其中的含義，你想到了什么？ 舉例說明。

問題3：學數學使人精明，如果小明家旁有一段20 米長的圍墻，你能設計出哪些問題？

（1）能否靠墻圍成面積是198 平方米的矩形區域？

（2） 在與墻平行的一邊開一扇2 米寬的門，能否靠墻圍成面積是220 平方米的矩形區域？

（3）在問（2）基礎上，現準備在矩形區域內部挖縱橫兩條等寬的溝渠，使剩余面積為162 平方米，求溝渠的寬度。你還能設計哪些問題？

問題4（增長率問題）：小明家準備在這塊空地上種植水蜜桃，從第三年開始收獲產量500 千克，第四年增長了20%，求第四年的產量。若到第五年的產量為720 千克，求第三年到第五年平均每年增長的百分率是多少。

問題5（營銷問題）：自從小明家水蜜桃量產后，開始在市場上銷售，在銷售中發現：平均每天可售出20 箱，每箱扣除種植成本后盈利40 元。經市場調查發現：如果每箱降價1 元，平均每天就可多售出2 箱。

（1）如果降價后銷售這種水蜜桃當天盈利1200 元，那么每箱單價降了多少元？ 從中有何啟發？

（2）思考：如果從外面低價批發轉賣，每箱也能盈利40 元，按照這種市場規律，你認為最多可盈利多少？

教學說明：具有各自功能價值的問題依據特定的內在聯系有機組合而成的問題串，既能反映一節課的教學內容，又能體現一節課完整的“骨架”[1]。本課以“一塊空地”為背景，生長出“面積、增長率、營銷問題”等新情境，銜接自然，渾然一體，融會貫通整個課時。一方面讓學生感受知識的聚焦與發散，聚于一元二次方程，散于三個方面的應用，深度理解知識應用的變（呈現背景改變）與不變（尋找等量關系），也為后續學習用二次函數解決實際問題暗埋伏筆；另一方面，讓學生感悟生活中處處有數學，處處離不開數學，數學問題的產生從來不是割裂斷層的，而是和諧共生、關聯層進的。

三、微觀情境聚焦局部，深耕細作具體問題

宏觀和中觀情境旨在讓學生對知識有整體性的認識，微觀情境則立足于一枝一葉，立足于由表及里、由粗入微的認識，著眼于對每一知識點更為務實的探究打磨、聚焦發散，注重一個“透”字。通過還原知識點形成的現實情境，讓學生在情境中厘清知識點的來龍去脈，并通過數學的語言，簡約、精確地描述自然現象、科學情境和日常生活中的數量關系與空間形式，在現實生活與其他學科中構建普適的數學模型，表達和解決問題，形成數學的表達與交流能力，發展應用意識并提升實踐能力[6]。如面積問題的設計，為使問題更具生活性和生長性，背景設計為小明家旁的空地，為后面的依墻而建、預留門寬等暗埋伏筆，在分析“能否圍成面積是96 平方米的矩形區域”時，注重剖析關鍵詞“能否”兩字的含義，并由此衍生發散系列問題；在用等量關系列方程時，從兩個不同角度列式比較優劣，并由此明理悟道；最后又在此例的基礎上開枝散葉，逐層深入，并由此掌握“用一元二次方程解決實際問題”的規律方法，提升學生建模素養。

問題：小明家旁邊有一塊空地，現用40 米長的圍欄，能否圍成面積是96 平方米的矩形區域？

教學說明：本題雖然簡單，但承載的教學作用意義重大，一是要讓學生會用數學語言表達“能否圍成”的含義，并能聯想到用方程模型解決實際問題。二是引導學生會用數學的思維分析本題中的未知量及等量關系。一般而言，兩個未知量需要兩個等量關系來解決，而列方程一般只選用其中一個等量關系，究竟選哪一個？為什么？另一個等量關系起什么作用？ 這些要讓學生去嘗試體驗，得出最優化解決方案。三是引導學生列方程求解，得出答案，并據此概述用一元二次方程解決實際問題的解題步驟。四是讓學生回首細品“能否圍成”的延伸意義，用數學的眼光、數形結合思想直觀想象面積是否無限大，通過方程建模、數學推理、計算得出面積最大不能超過100 平方米，為后續學習二次函數最值暗埋伏筆。