柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制方法

熊 宇，曾貴娥，崔曉

（廣東白云學院 電氣與信息工程學院，廣州 510450）

在自動化生產線上，柔性關節機器人的抓取末端執行器需要具備快速定位功能，而機器人在開關機時末端存在非常大的振動，嚴重影響定位的精準度和速度[1-2]，因此，自動化控制柔性關節機器人抓取末端振動成為研究的熱點課題。

文獻[3]方法提出誤差補償法。利用傅里葉分析設計整形器，將柔性關節機器人的末端振動值輸入到整形器中，完成抓取末端控制。該方法抑振效果差、性能低；文獻[4]方法分析轉速波動機理，建立柔性關節機器人系統的數學模型，利用內環魯棒控制和現代控制理論完成柔性關節機器人抓取末端控制，該方法控制誤差高、精準度低；文獻[5]方法結合多體動力學和角動量守恒構建控制系統算法的數學模型，計算柔性關節引起的轉動誤差，完成柔性關節機器人抓取末端控制。該方法上升時間長、勞動強度低、效率低。

為了解決上述方法中存在的問題，提出柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制方法。采用奇異攝動模型對柔性關節機器人系統進行描述，充分考慮機器人系統中的非線性、耦合和奇異攝動等因素，使得所設計的控制器更加準確和精細。設計優化控制器，并構建控制誤差代價函數，利用拉格朗日法獲取函數最優解，實現柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制，以提高機器人的控制精度和效率。

1 柔性關節機器人模型

1.1 系統動力學分析

在自動化控制之前需要構建柔性關節機器人模型，對其展開系統動力學分析[6]，如圖1 所示。

圖1 柔性關節機器人系統Fig.1 Flexible joint robot system

圖1 中，柔性關節機器人系統的柔性關節為（O1，O2），其載體為Q0。剛性桿和載荷分別表示為（Q1，Q2）、A。構建柔性關節機器人系統慣性坐標系（OXY），其中，Qj（j=1，2）的主軸坐標系為（Oj，Xj，Yj）。V 為系統的總質心。V0、V1表示Q0、Q1的質心。t0、t1表示V0、V1的矢徑。V2a表示Q2和A 結合部分Q2A的質心。t2a表示V2a的矢徑。tv為V 與O 對立的矢徑。rj代表著軸xj的單位矢量。

依據Sponge 函數假設理論，將自動化機器人的柔性關節簡化成無慣量線性扭簧[7]，如圖2 所示。

圖2 柔性關節簡化模型Fig.2 Simplified model of flexible joints

當柔性關節Oi位置的電機轉子經過旋轉運動通過角度ηi時，在扭簧彈性力的作用下，它帶動的桿Qi的轉動角度為wi=ηi+Δi，在此式中，柔性關節導致的旋轉運動的誤差為Δi。所以，在系統動力學分析時需要將柔性關節機器人和電機轉子動力學分別展開討論和分析[8]。是以柔性關節機器人系統的動能U 需要計算柔性關節機器人的動能Uw以及電機轉子動能Uη。則其表達式如下：

式中：ti表示Vi的矢徑，V0、V1的質量、轉動角速率及中心慣量矩分別表示為mi、σi和Ji（i＝0，1），結合體Q2A 的質量、轉動角速率及中心慣量矩分別表示為m2a、σ2a和J2a，柔性關節O1、O2上電機轉子的轉動角速率及中心慣量矩分別表示為Jη1、Jη2和ση1、ση2。

不考慮外界環境中存在的極小的重力作用，則扭簧的彈性力可以作為柔性關節機器人運動的總勢能，表達式如下：

式中：剛度系數表示為k。

令系統初始動量和動量矩為0，則柔性關節機器人系統的動量和動量矩守恒關系如下所示：

由此初步完成柔性關節機器人系統動力學方程的建立，需要進行運動分解，實現彈性振動控制。

1.2 柔性關節機器人奇異攝動建模

基于關節機器人系統動力學方程，利用奇異攝動法抑制柔性關節機器人的彈性振動。將式（4）近似地分解為慢變和快變子系統，分別代表柔性關節機器人系統剛性、柔性2 個運動部分。則柔性關節機器人系統的控制算法δ 如下所示：

式中：慢變、快變子系統控制算法分別為δd、δg。

令一個很小的正數常數ζ 和正定相對角矩陣的關系為K1＝ζ2K，同時將快、慢變量分別設為彈性力c=K（η-w）和w，此時柔性關節機器人系統動力方程表示為

在速度差值的基礎上將快變子系統的反饋控制算法重新描述，具體如下所示：

式中：Kg＝K2/ζ，K2代表正定對角矩陣。此時，通過收到的速率差值一直調整Kg，確保δg的穩定性，將式（5）、式（7）代入式（6）中：

根據K＝K1/ζ2可知，當ζ→0 的時候，K→∞，這時柔性關節可以近似為剛性；將式（4）中η＝w、，則δd的動力學方程如下所示：

綜上所述，式（8）和式（9）就是柔性關節機器人系統的奇異攝動模型。

2 自動化控制方法

2.1 控制器設計

柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制方法的抑振目標是末端殘余振動，因此柔性關節機器人系統運動方程如下所示：

式中：對稱正定常數矩陣為M；柔性關節機器人系統的坐標列陣為P；常對稱矩陣為K；輸出向量為Bd；結構阻尼為V。

式（10）是根據有限元法構建的柔性關節機器人系統運動方程，是高維度的二階微分方程式?？紤]控制器成本與系統低階模態激勵振動的彈性，對控制器的運動方程展開降階操作，通過實時模態方法將物理空間定義的運動方程映射至模態空間上，變換如下所示：

式中：振動型矩陣為φ；模態坐標向量表示為μ。

將式（11）加入式（10）中，同時左乘φT，（單元動能為T）則系統控制模型表達式如下：

展開前e階低階模態控制操作，此時模型可做簡化處理，表達式如下：

2.2 控制器的優化

將式（13）描述成狀態空間的表達式如下：

通過最佳狀態反饋控制器可以在最大程度上削減柔性關節機器人系統的末端剩余振動，將性能函數重新定義：

式中：權重矩陣為W、E。令控制輸入的表達式如下：

式中：增益矩陣為H。

按照LQR 概念，通過式（15），控制振動的最佳增益矩陣的表達式如下：

式中：矩陣黎卡提代數方程的解為A，即：

2.3 目標函數誤差最小化

上述式中設計柔性關節機器人控制器在末端振動的抓取中存在一定誤差，柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制方法通過建立單一的控制誤差代價函數，達到誤差最小化的目的。

將柔性關節機器人的單位階躍信號視作參照的輸入信號，則與其對應的二階線性系統反饋d（y）表達式如下：

式中：柔性關節機器人系統阻尼比率為σ；無阻尼固有頻率為w0。

通過將其輸入控制器整形后的柔性關節機器人系統的單位階躍響應為

式中：脈沖信號為η；脈沖幅值向量為Si。假設柔性關節機器人系統的響應停滯時間是明確的λ0，將需要整形處理的脈沖信號采取路徑規劃操作，將其向前移動mYv，也就是將參考脈沖信號向后移動mYv，此時實際輸出值和參考輸出值存在誤差r（y），表達式如下：

在實際操作中，有限長時間Ymax完全可以替代y→∞這一要求，此時代價函數的表達式如下：

式中：W代表n×n 維的正定加權對角矩陣，W 的對角因子wi值越大，對S 的懲罰越高。第2、3 項分別表示過程、定位抑制振動誤差項，懲罰因子為l1、l2，將式（22）每項展開運算，如下：

假設：

對式（24）展開化簡處理，則：

式中：n×n 維矩陣為ψ，則代價函數的表達式如下：

式中：A1=W+l1ψ+l2Z，A2=l1η+l2H；η代表n 維向量；Z代表n×n 維矩陣。通過拉格朗日法對S 展開運算，構建拉格朗日函數U（S，λ）為

式中：拉格朗日方法的乘子向量為λ，λ∈E8。U（S，λ）的極值要求為

經過運算后的S的表達式如下：

式中：A1矩陣存在可逆與不可逆2 種情況，當正定加權對角矩陣W上的對角因子w 和懲罰選項l1符合w≥0.2、l1≥1 要求時，確保A1滿秩，此時幅值向量S有解，在實際操作中，對誤差的需求更高，因此懲罰選項l2>l1。

選取一個柔性關節機器人的初始脈沖數n0（n0≥8）啟動迭代運算，直至求解出滿足要求的幅值矢量S*為止，并將S*的維數設置成n，此時脈沖的工作時效為yi＝（i-1）Yv（i=1，2，…，n），此時整形器表達式如下：

此時，求解的誤差值達到最小，實現柔性關節機器人抓取末端振動的自動化控制。

3 測試與分析

為了驗證柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制方法的整體有效性，需要對其展開相關測試。采用AUBO-i3 六自由度工業機器人作為測試對象；采用熙源AT211D100 加速度傳感器置于機器人末端采集振動信號，采樣周期為2 ms。搭建的機器人控制系統配置英特爾i7 四核處理器，搭載MATLAB R2019a 軟件。測試平臺如圖3 所示。

圖3 測試平臺Fig.3 Test platform

將柔性關節機器人末端振動信號抑制效果作為指標，采用所提方法、文獻[3]方法、文獻[4]方法和文獻[5]方法對柔性關節機器人展開抑振處理，不同方法的抑振效果如圖4 所示。

圖4 抑振信號處理Fig.4 Vibration suppression signal processing

根據圖4 可知，文獻[3]方法、文獻[4]方法和文獻[5]方法整形器上的脈沖信號較多，振動信號變化幅度較大，振動信號抑制效果較差，而所提方法不存在上述問題，因為所提方法通過建立奇異攝動模型定義柔性關節機器人系統的運動方程，基于此設計并優化系統控制器，很好地消除了脈沖信號，振動信號變化幅度降低，實現柔性關節機器人末端振動信號的有效抑制。

將整形軌跡相位誤差作為指標，評價所提方法、文獻[3]方法、文獻[4]方法和文獻[5]方法控制精度，不同方法的控制誤差如圖5 所示。

圖5 不同方法的控制誤差Fig.5 Control error of different methods

根據圖5 可知，所提方法的殘余振動整形軌跡相位控制誤差均在0.02°以內，而其余3 種方法是在±0.3°的范圍內波動，對比4 種方法的控制誤差結果可知，所提方法的誤差較小，表明所提方法抑振準確率高，可以精準地完成柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制。

脈沖信號的上升時間是指脈響應達到穩態值的時間，能夠體現末端振動整形器的抑振效率，因此將上升時間作為指標，采用所提方法、文獻[3]方法、文獻[4]方法和文獻[5]方法對柔性關節機器人采取抑振措施的上升時間如表1 所示。

表1 不同方法的上升時間Tab.1 Rise time of different methods

根據表1 可知，所提方法的上升時間最短，其余3 種方法的上升時間遠高于所提方法，是所提方法的5 倍以上，表明了所提方法能夠迅速使振動信號趨于穩定完成整形器抑振目標，抑振效率較高。

4 結語

現階段，對柔性關節機器人的末端振動控制方法存在誤差高、上升時間長的問題，為此提出柔性關節機器人抓取末端振動自動化控制方法。本方法構建奇異振動模型，設計優化控制器，采用拉格朗日法獲取誤差控制最優解，實現柔性關節機器人抓取末端振動的自動化控制。測試結果表明，本文方法提高了控制精度和效率，可有效解決目前方法中存在的問題，為日后柔性關節機器人的發展找到了新的方向。