隨機波列中極端波浪波形和波高分布的數值試驗研究

夏維達, 馬玉祥, 董國海

(大連理工大學 海岸與近海工程國家重點實驗室,遼寧 大連 116024)

極端波浪是波高顯著高于背景波浪的大波,由極端波浪引發的海洋事故每年都會造成巨大的經濟損失和嚴重的人員傷亡。極端波浪具有波高大、非線性強等特點,并且出現之前無明顯征兆,因此會對海洋結構物和船舶的航行安全造成巨大威脅[1-3]。對其的研究雖然已有幾十年,但是目前對極端波浪生成和特性的研究仍然是學界的研究熱點[4-9];波浪波高分布和極端波浪波形的研究對工程設計也有重要的意義。在一般的海洋結構物設計中,通常采用斯托克斯波為設計波浪,波高根據長期的水文數據確定;但是實際的海洋環境復雜,波浪為隨機過程,所以為了更精確地計算結構物響應,通常需要長時間的模擬。Boccotti[10]和Tromans等[11]經過嚴密的理論推導,給出了隨機波列中最可能出現的極端波波群的波面表達式,也叫新波模型(new wave model),為海洋結構物設計計算提供了新的思路。該模型的有效性也得到了驗證[12-15]。之后Walker等[12]在新波模型的基礎上加入了非線性項,并驗證表明非線性修正后的模型能夠較好地符合海洋中實測極端波浪的波形。Santo等[14]也研究了墨西哥灣颶風下觀測到的極端波浪,并與新波模型進行了對比,發現實測的波浪具有更加明顯的垂直不對稱性并且具有明顯的三維傳播特征。Whittaker等[13]后來也通過實測數據驗證了包含二階非線性的新波模型在淺水條件的適用性。極端波浪的波形特征在波浪與結構物相互作用的研究中也至關重要。Slunyaev等[16]運用數值方法,模擬了隨機波浪的傳播,將波浪形態的分為前峰波、后峰波、前谷波和后谷波4類,發現大部分極端波浪的波峰后的波谷相對峰前的波谷要更深。Sergeeva等[17]也發現了類似的結果。Ma等[18]通過模型實驗研究了逆流對規則波列中由調制不穩定性導致的畸形波的波陡、波形的不對稱性的影響,發現逆流的存在會改變畸形波的不對稱性。

隨機波浪的波高分布在工程設計中具有重要的作用。Longuet-Higgins[19]對有效波高、平均波高和極大波高的關系做了系統性的研究,并給出了窄譜下的最大波高分布。Longuet-Higgins[20]接著在線性波浪模型下推導出了波浪波高服從Rayleigh分布;Kinsman[21]在現場觀測中發現偏態會導致波面分布不再服從正態分布,于是他擬合出一種更符合實測數據的波面分布。Tayfun等[22]和Forristall[23]在考慮了二階非線性后各自提出了二階的波峰分布。但是二階Tayfun分布和Forristall分布只考慮了約束波對波峰分布的影響,并沒有考慮自由波共振作用的影響。Mori等[6,24]在窄譜的假定下,將波面高程概率密度函數用Edgeworth級數展開后,提出了MER分布。Tayfun等[25]同樣考慮了四階近似共振對波峰分布的影響,推導出了三階Tayfun分布。這些波高分布模型都不是完美或者適用于所有工況的,需要根據實際情況和實際觀測數據選擇合適的波高分布模型。本文通過數值模擬多組不同工況下隨機波的演化,對極端波浪的平均波形做了研究,驗證了新波模型的有效性;最后對比了實驗數據的波高,波峰分布與各種理論分布(Rayleigh分布、MER分布、Forristall分布和Tayfun分布等),探討各種分布的適用性。本文中極端波浪的標準為波峰ηc/Hs>1.25的波浪或波高H/Hs>2.0的波浪。

1 數值模型及波浪參數

1.1 數值模型介紹

本文數值模擬采用的模型是高階譜模型,由Dommermuth等[26]和West等[27]提出,能夠滿足完全非線性自由表面條件。該模型可以模擬任意階數的波浪非線性傳播和相互作用。高階譜方法的優點是收斂性好、計算速度快、精度高;并且不受水深、譜寬等的限制。對于不可壓縮的無粘無旋理想流體,引入自由水面處的速度勢函數:Φs(x,y,t) =Φ(x,y,η,t),將其代入到自由表面邊界條件中,則自由表面條件可表達為:

(1)

(2)

(3)

式中:w(m)和Φ(m)分別表示m階的垂向速度和速度勢;Φ(m)可以通過偽譜方法求解速度勢的初邊值問題得到。將式(3)代入式(1)和(2)便得到了波面升高η和表面速度勢Φs的演化方程。演化方程可以通過四階龍格庫塔法進行求解。為了模擬造波邊界,同時引入了附加速度勢模擬造波板的運動,造波邊界條件精確到二階非線性。同樣也加入了吸收邊界來減少波浪的反射,吸收邊界的實現采用對式(1)加入壓力項[28],使得波面升高衰減。

1.2 波浪參數

表1 波浪參數

2 結果與討論

2.1 極端波浪平均波形特征與新波模型的對比

新波模型基于線性理論,沒有譜寬的限制,可以描述極端波浪的平均波形;并且理論上平均波形也是最有可能出現的極端波浪波形。新波模型波面函數正比于隨機過程的自相關函數,其表達式為:

(4)

式中:α為波峰高度;S(ω)為波浪場的譜密度函數;σ為波浪的標準差。Lindgren推導出了極端波浪波峰附近波面的方差,也稱為Lindgren方差[30],其表達式為:

(5)

Walker[12]基于斯托克斯波展開式,在線性新波理論的基礎上加入了非線性項,三階非線性新波模型表達式為:

(6)

式中:ηLH為希爾伯特變換后的線性新波波面;h為水深;S22和S33取值參考Walker[12]中的方法。

為了研究極端波浪的波形特征,分別從6組數值模擬工況中提取出所有波峰高度滿足ηc/Hs>1.25的波浪,并對波面進行平均,然后與三階新波模型進行對比。圖1為有效波高相同(Hs=0.03 m),譜寬依次減小的4組工況C01(γ=1.0),C02(γ=3.3),C03(γ=5.0)和C04(γ=7.0)模擬得到的極端波浪平均波形與三階修正新波模型的對比圖;圖中實線為極端波浪波面平均后的結果,短線為新波模型波面;灰色區間為新波模型理論平均波面95%置信區間的范圍;置信區間范圍的上下限為η±2σE;其中σE為波面均值分布的標準差,也就是均值的標準誤差;σE=(σL/N)0.5;N為極端波浪個數,每個工況的極端波浪個數在200左右。圖中時間橫坐標和空間縱坐標分別以譜峰周期Tp和有效波高Hs做了無因次化處理,并且都將極端波浪波峰時刻作為原點。從對比結果可以看到新波模型與數值模擬結果吻合較好,并且平均波形都在三階新波模型95%置信區間的范圍內;但是對于譜寬最寬的工況C01,波峰兩側的波谷位置處,三階新波模型預測的波谷值較大;而對于其余工況,誤差主要出現在極端波浪生成之前,波浪周期相對新波模型更短,波高也更小。從圖中可以看到4組不同譜寬工況下三階新波模型均能夠較好地描述極端波浪的波形特征,但是對于窄譜,誤差相對更小。從圖1中還可以看到隨著譜寬的減小,無因次波峰高度明顯增大;4組工況平均后的波峰高度與有效波高的比值ηc/Hs分別為:1.38、1.39、1.43、1.44、并且波谷也隨著譜寬的減小而增大;表明譜寬會影響極端波浪的波高,譜寬越窄,極端波浪波高越大。除此之外,隨著譜寬的減小,極端波浪水平的不對稱性也更加明顯。極端波浪前端的波浪周期明顯小于譜峰周期,尤其是最大波前第2個波浪;而極端波后的波浪周期基本等于譜峰周期。由于極端波浪前的周期小于波浪后的周期,根據線性色散關系,極端波浪前的群速也小于極端波浪后的群速,導致傳遞的能量在波峰附近聚集,這說明了線性色散關系對極端波浪的生成有著重要的作用,Lighthill[31]也給出了類似的解釋,此時色散關系是極端波浪形成的重要原因。

圖1 C01、C02、C03和C04工況極端波浪平均波形與三階新波模型對比

圖2為譜寬相同,有效波高不同的4組工況模擬得到的極端波浪平均波形與三階修正新波模型的對比圖;從對比結果可以看到在波陡較大時,三階修正的新波模型明顯高估最大波峰兩側的波谷深度和波峰高度,超出三階新波模型95%置信區間的范圍;并且在有效波高較大的工況C06和C07中,數值模擬得到的極端波在波峰兩側更加陡峭;產生誤差的原因有可能是因為當波陡更大時,波浪的非線性更強;另一個原因可能是因為三階新波模型的推導是基于斯托克斯展開,只考慮了約束波的影響,并沒有考慮自由波的共振對波高的影響。進一步觀察模擬得到的極端波浪波形還可以發現:隨著有效波高的增大,平均后的波峰高度與有效波高的比值分別為:ηc/Hs=1.40,1.44,1.46,1.45,波谷深度與有效波高比值分別為ηt/Hs=0.91,0.76,0.67,0.62;波峰波谷比值為ηc/ηt=1.54,1.89,2.18,2.34;結果表明當有效波高增大時,極端波浪的垂直不對稱性顯著增大。然而4組工況的極端波浪的無量綱波高分別為H/Hs=2.31,2.20,2.13,2.06,也就是說極端波浪的無量綱波高隨著非線性的增加反而減小。在波陡較大的3組工況C05、C06和C07中基本沒有出現水平周期上的不對稱性,這可能是由于隨著有效波高的增大,色散關系不再為極端波浪形成的主要原因,非線性已經成為主導,共振導致局部波譜變化。

所以總體看來,修正的三階新波模型基本可以較好地描述極端波浪的平均形狀;但是對于窄譜和波陡較小的工況,誤差更小;在波陡較大時,實際波浪更為陡峭,新波模型會高估最大波峰兩側的波谷和波峰高度。極端波浪的波高隨著譜寬的減小和波陡的增大而增大;而無量綱波高隨著非線性的增加反而減小。在有效波高較小時,色散作用時極端波浪形成的重要原因;而當有效波高增大時,非線性占據主導作用,此時水平不對稱性降低,垂直不對稱性增強。

2.2 波高分布對比分析

Rayleigh分布是線性窄譜下的波浪理論分布,并沒有考慮非線性的影響。MER分布考慮了峰度的影響,峰度值越大,說明該數據系列中的極端值越多。高斯分布的峰度值為3.0,若實際分布的峰度值大于3.0,則表示比高斯分布存在更多的極端值。由于波浪的非線性作用,實際海浪的峰度值大于3.0。

圖3為有效波高相同,但譜寬不同的4組工況模擬得到的波高分布;從圖中可以看到在H/Hs<2.0時,4種工況Rayleigh分布能夠較好地預測波高分布,基本上和模擬的波高分布重合;當H/Hs>2.0時,Rayleigh分布明顯低估了極端波浪的發生概率。2.02.5時,MER分布只在工況C02時與實驗數據吻合較好,這是由于譜寬較窄時波浪的共振非線性作用增強(BFI增大),極端波浪出現概率增加,MER分布也不能準確描述極端波浪分布。

圖3 C01、C02、C03和C04工況的累積波高概率分布與Rayleigh和MER分布的對比

圖4為譜寬相同,有效波高不同的4組工況模擬得到的波高分布與理論波高分布的對比圖。同樣的Rayleigh分布低估了極端波浪發生概率,雖然MER分布比Rayleigh分布較好反映極端波,但仍會低估極端大浪的出現概率。

圖4 C02、C05、C06和C07工況的累積波高概率分布與Rayleigh和MER分布的對比

圖5給出了波峰分布的對比,可以看出Rayleigh分布、Forristall分布和二階Tayfun分布都低估了大波峰出現的概率;Forristall分布和二階Tayfun差別并不大,因為兩者都是考慮了二階非線性;而三階Tayfun分布在ηc/Hs<1.25范圍內與實驗波峰分布吻合較好,而當波峰更大時,三階Tayfun分布也會低估極端波浪發生概率。雖然三階Tayfun也是在窄譜假定下得到的理論分布,但是從結果看來在寬譜下的結果也很好。

圖5 C01、C02、C03和C04工況的波峰概率分布與理論分布的對比

圖6也可以發現三階Tayfun分布在ηc/Hs<1.25時基本與實驗分布一致,誤差主要發生在ηc/Hs>1.25時;波陡越大,高階非線性作用增強,三階Tayfun分布與實際結果相差越大;但是在有效波高最大的工況誤差反而減小了。

圖6 C02、C05、C06和C07工況波峰概率分布與理論分布的對比

3 結論

1)修正三階新波模型能夠較好地描繪極端波浪的波形;但是在波況的波陡較大時,實際波浪更為陡峭,并且具有明顯的高波峰淺波谷的特點;修正的三階新波模型會高估最大波峰兩側的波谷和波峰高度。極端波浪的波高會隨著譜寬的減小和波陡的增大而增大,但是無量綱波高反而隨著波陡的增加而減小。

2)當H/Hs>2.0時MER分布與實際波浪分布吻合較好;當波浪更大時,對于H/Hs>2.5時,MER分布只在部分工況與實驗數據吻合較好,有效波高增大也導致MER誤差增大。與MER分布類似,在波峰分布中,三階Tayfun分布在ηc/Hs<1.25時基本與實驗分布一致;譜寬越窄誤差越大,有效波高增大誤差也會先增大后回落。