基于能量有限元法的耦合層合梁振動分析

陳校鋒, 朱翔,3, 李天勻,3, 陳梅英

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院, 湖北 武漢 430074; 2.船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室, 湖北 武漢 430074; 3.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心, 上海 200240; 4.中國艦船研究設計中心, 湖北 武漢 430064)

隨著科技的進步和人們對產品舒適性要求的提高,結構在全頻段內的振動和噪聲越來越受到關注。傳統的振動和噪聲數值計算方法主要有有限元法(finite element analysis, FEA)和統計能量法(statistical energy analysis,SEA),其中有限元法在分析結構的中高頻振動時,對模型的要求非常精細,這使得模型的單元和節點數目過于龐大、計算成本較高。統計能量法雖然適用于高頻范圍內的分析,但要求子系統有較高的模態密度,且只能得到子系統能量的均值,無法預測子系統中能量的空間變化。能量有限元法(Energy finite element analysis,EFEA)以波動理論為基礎,通過建立能量密度與功率的關系,得到一個類似于熱傳導方程的以能量密度為基本變量的微分方程,并且可以通過類似有限元的離散對方程進行求解,適合預測結構的中高頻振動響應[1-2]。

目前,已有學者將能量有限元法成功應用于各種結構中高頻的聲振分析。Zheng[3]和潘德闊[4]等將結構的隔聲效應引入EFEA中,預測和分析了不同外部激勵對高速列車結構的內部噪聲響應的能量貢獻,并對輪軌噪聲激勵進行了優化,有效降低了車內的高頻段噪聲。王懷志等[5]建立了航天領域中某儀器艙結構的能量有限元模型,用于振動環境的預測,其結果相比SEA模型更接近于實測值。尚保佑[6]和王迪[7]等分別利用EFEA分析損傷充液管道和損傷板的振動,通過計算損傷前后單元的能量差值準確判斷了結構的損傷位置。2008年后,有學者開始將能量有限元法應用于復合材料結構。Yan[8]根據經典層合板理論,對傳播波的群速度進行平均化處理,將層合板簡化為各向同性板,利用EFEA較好地預測了層合板的高頻振動能量密度分布。蔡忠云[9]針對含有脫層損傷的復合材料層合梁振動問題,提出了能量密度分析方法,分析了脫層處的能量傳播特點和能量密度分布以及軸向沖擊對損傷層合梁動態屈曲行為的影響。Vlahopoulos[10]采用譜有限元法評估材料性能和功率傳遞系數,以用于復合材料結構系統建模的EFEA公式,對復合材料加筋圓柱殼的模擬結果與測試數據取得了很好的一致性。Liu等[11]建立了功能梯度梁的能量密度控制方程,以此研究了功能梯度梁中金屬材料和陶瓷材料占比對梁的動力學特性的影響。Xie等[12]基于薄板理論推導了正交各向異性加筋板的能量有限元方程,預測該結構的高頻動力響應,并進行了相應的測試驗證EFEA模型的準確性。

從目前的研究來看,對復合材料的能量有限元分析大多基于經典層合板理論,未考慮轉動慣量和剪切變形效應的影響,這對于較厚板梁結構的振動響應預測會產生一定誤差。本文基于一階剪切變形理論,推導了復合材料對稱層合梁的能量有限元方程,建立耦合節點處的連接矩陣來構建耦合層合梁的整體矩陣。計算層合梁的能量密度,將EFEA的計算結果與波傳播法的結果進行了對比驗證,分析了不同細長比下Timoshenko梁模型與Euler梁模型的能量密度分布和耦合角度對耦合層合梁能量密度分布的影響,并討論了EFEA的適用頻率范圍。

1 層合梁的能量密度控制方程

1.1 能量密度和功率

復合材料耦合層合梁結構如圖1所示,根據一階剪切變形理論,對稱層合梁的運動方程為[13]：

圖1 復合材料耦合層合梁結構

(1)

式(1)的通解可假設為:

(2)

式中:各項的系數均為復系數;klc為縱波復波數;kbc為彎曲主導彎曲波(BDFW)復波數;ksc剪切主導彎曲波(SDFW)復波數,其定義為[15]：

(3)

層合梁的時間平均遠場能量密度和功率分別為:

(4)

(5)

考慮小阻尼結構η?1時,復波數的虛部會遠小于實部,因此可以忽略能量密度和功率中的二階小量,再取其空間平均值,得到時間平均和局部空間平均的遠場能量密度和功率:

(6)

(7)

1.2 能量有限元方程

比較式(6)和式(7),可以發現能量密度和功率之間存在一定的關系,以彎曲主導的彎曲波為例,該傳播波的能量密度和功率有:

(8)

式中:

(9)

而對于Euler梁模型,彎曲波的能量密度與功率的關系為:

(10)

式中cgE為彎曲波的群速度,其表達式為:

(11)

(12)

利用Galerkin加權殘值法對能量密度方程進行求解,可以得到:

(13)

(14)

寫成矩陣形式,即能量有限元方程:

(15)

層合梁中的縱波和剪切主導彎曲波同樣可以得到類似的方程,其中剪切主導的彎曲波在臨界頻率以下為耗散波,其能量密度在遠場中可以忽略不計。

2 耦合層合梁連接矩陣

2.1 功率傳遞系數

實際工程中多個梁往往耦合在一起,考慮多梁耦合的模型,此時能量密度在結構耦合處不連續,需要通過功率流的連續性建立耦合節點間的聯系,即連接矩陣[17],進而得到系統的整體矩陣,求解整個結構的能量密度。考慮同一平面內由N根半無限梁組成的耦合梁結構,且假設只有梁1受到外載荷激勵,定義其為入射梁,如圖2所示。

圖2 半無限耦合梁結構

(16)

(17)

(18)

式中:含右上標(j)的表示梁j的參數。式(17)和式(18)中的各未知系數可根據耦合節點處的平衡條件和位移連續條件求得。分別計算式(17)和式(18)中各項與式(16)的比值,即可得到功率流反射系數和透射系數:

(19)

(20)

2.2 連接矩陣

能量密度與功率流在耦合節點處存在關系:

(21)

(22)

將式(21)代入式(22)并利用功率的反射和透射關系可以得到:

(23)

(24)

同樣將式(21)代入式(24)并利用功率的反射和透射關系可以得到:

(25)

I=Je

(26)

式中連接矩陣:

J=PQ-1

(27)

(28)

求解能量有限元方程式(28),即可得到單元的能量密度,從而進一步得出結構振動響應。

3 驗證分析和討論

3.1 算例驗證

考慮圖1所示的耦合梁結構,梁1與梁2的材料、鋪層方式和幾何特性相同,梁長l1=l2=1 m,橫截面寬為b1=b2=0.01 m,高為h1=h2=0.01 m,鋪層方式為[0°/60°/-60°]2 s,單層材料參數如表1所示。在層合梁1的中點x0=l1/2處施加F=1 N的橫向點諧激勵力,EFEA模型的單元大小為0.1 m,形函數為二次Lagrange插值函數。

表1 耦合層合梁材料參數

將計算得到的耦合梁能量密度分布與波傳播法的結果進行比較,并且均取1/3倍頻程內的均值作為中心頻率的能量密度:

(29)

當中心頻率f=10 kHz,梁1與梁2的耦合角度α=45°時,耦合層合梁的能量密度分布如圖3所示。其中能量密度的參考值為1×10-12J/m,橫坐標x的區間[0,1]表示梁1的計算結果,區間[1,2]為梁2的結果,x=1為耦合節點位置。

圖3 耦合層合梁能量密度分布(f=10 kHz,α=45°)

從結果可以看出,2種方法得到的能量密度分布吻合得較好。EFEA計算的縱波能量密度比WPA法稍大0.5 dB左右,而EFEA的彎曲波能量密度則大致處于WPA法的均值處。在耦合節點處,能量密度出現了明顯的突變,表明能量密度在結構的突變位置是不連續的。2種方法計算的彎曲波能量密度在耦合梁的兩端和激勵點有較大的差異,主要是因為WPA考慮了近場耗散波的影響,而EFEA則忽略了近場效應。

若根據EFEA模型單元的大小,對WPA法計算的結果取單元內均值,其結果如表2所示。結果表明EFEA得到的耦合梁能量密度與WPA法的均值結果相差1 dB以內,說明了采用EFEA預測耦合層合梁的中高頻振動特性是可行且準確的。

表2 耦合梁彎曲波能量密度均值

3.2 細長比

圖4為層合梁的物理模型,其材料參數與表1相同,梁長l=1 m,令梁寬和高分別為b=h=0.01、0.05、0.1 m,即層合梁的細長比分別為100、20和10。比較Timoshenko梁模型和Euler梁模型的能量密度分布,以此來探討轉動慣量和剪切變形效應對層合梁振動的影響。

圖4 復合材料層合梁物理模型

在層合梁中點處施加F=1 N的橫向點諧激勵力,求取不同細長比的梁在5 kHz和50 kHz激勵下的能量密度分布,分別如圖5和圖6所示。計算結果表明,隨著激勵頻率的增大或層合梁厚度的增加,Timoshenko梁模型和Euler梁模型能量密度分布的差異也在逐漸增大。

圖5 層合梁能量密度分布(f=5 kHz)

圖6 層合梁能量密度分布(f=50 kHz)

在較高頻率激勵下和較厚的層合梁中,Timoshenko梁模型WPA解的能量密度分布趨于平穩,逐漸逼近EFEM解,說明此時結構的能量密度分布是較為均勻的,而Euler梁模型的WPA解則始終處于隨位置波動的分布特性。另一方面,層合梁的能量密度分布呈現從梁的中點即激勵點向梁的兩端逐漸衰減的態勢,且Timoshenko梁模型的能量密度比Euler梁模型衰減得更快。該結果與文獻[15]中各向同性介質梁的結果相一致,這主要是由于剪切變形效應會導致結構的能量阻尼變大,從而使得能量密度的衰減加快。因此,隨著激勵頻率的增大和層合梁厚度的增加,轉動慣量和剪切變形效應的影響會變得更加重要,對能量密度的計算結果將會產生較大的影響。

3.3 耦合角度

在耦合層合梁上作用橫向點諧激勵力時,激起的傳播波主要為彎曲波。而彎曲波傳播到耦合節點發生波的反射、透射和波形的轉化則主要受耦合角度的影響。根據圖1所示的耦合層合梁結構,計算不同耦合角度下耦合層合梁的能量密度分布,結果如圖7所示。

圖7 不同耦合角度層合梁的能量密度分布(f=10 kHz)

從圖7中可以看出,梁1中縱波和梁2中彎曲波的能量密度隨著耦合角度的增大而減小,梁2中的縱波能量密度則呈現相反的趨勢,有了明顯的增加。并且梁1和梁2中同種波形能量密度之間的差值也隨著耦合角度的增大而增大。該結果說明,在耦合角度較小時,耦合節點處主要發生同種波形之間的反射和透射,不同波形之間的轉換則較少;當耦合角度增大后,梁1的彎曲波傳播到節點時,會有更多的成分轉換為梁2中的縱波,彎曲波則相應的減小。耦合角度達到90°時,梁2的縱波能量密度(52.9 dB)甚至高于其彎曲波能量密度(50.8 dB)。

為了探討本文層合梁能量有限元法的適用頻率,本文計算了耦合層合梁在不同頻率下的能量密度分布,給出了層合梁2點x=1.55 m處的能量密度,如圖8所示,其中WPA法的結果為點x=1.55 m所在EFEA單元的均值。結果表明,中高頻段下EFEA的計算結果較為準確,與WPA法吻合得較好。相比縱波,彎曲波能量密度在較低的頻率下就有了較好的結果,其原因是層合梁的彎曲波波長較短,而縱波的波長則較長。圖9給出了層合梁縱波與彎曲主導彎曲波的無因次波長(λ0=λ/l)。可以看出,在接近6 kHz時,縱波的無因次波長才小于1,即縱波波長小于層合梁的長度,彎曲波波長則在200 Hz左右便小于梁長。對照圖8可以發現,彎曲波能量密度在200 Hz以上的頻段就取得了較好的結果,只在個別頻率下與WPA法有較大的差異。其原因可能是此時縱波的無因次波長較大,而耦合梁又存在彎曲波和縱波2種波之間的轉換,使得縱波的誤差影響到了彎曲波的結果。而在6 kHz以上,EFEA計算的2種波形的能量密度都更接近與WPA法的結果,具有更好的準確性。

圖8 層合梁2點x=1.55 m處的能量密度(α=45°)

圖9 縱波與彎曲主導彎曲波的無因次波長

能量有限元法求取的能量密度是均值,當傳播波的波長大于梁的長度時,即無因次波長大于1時,均值就無法很好地表示層合梁各點的響應結果,會產生較大的誤差。因此,至少在傳播波的波長大于梁長所對應的頻率以上,EFEA才能較好地預測耦合層合梁的中高頻振動。

4 結論

1)采用EFEA預測耦合層合梁結構的中高頻振動響應是準確的,并且在傳播波的波長小于梁長的頻率下能取得更好的結果;

2)不同細長比下Timoshenko梁模型與Euler梁模型的能量密度分布的結果表明,在高頻激勵下和短粗梁中,轉動慣量和剪切變形效會對結果產生顯著的影響。

3)層合梁中的振動波傳播到耦合節點處發生的反射、透射和不同波形之間的轉換會受到耦合角度的影響。