基于期望阻抗行為的柔性關節控制器設計

田新揚, 戰強, 許欽桓

(北京航空航天大學 機器人研究所, 北京 100191)

近年來,協作機器人以其高負載自重比、易編程、安全友好等優勢,徹底將機器人從圍欄中解放出來,參與到復雜的人機交互作業當中,真正實現了人機協作。協作機器人不僅在焊接、噴涂等傳統制造業占有一席之地,還在3C電子、醫療保健和倉儲物流等領域蘊藏著廣泛的應用前景[1-4]。

目前,絕大多數協作機器人采用諧波減速器作為傳動部件,使得整機結構輕巧緊湊。然而,諧波減速器的使用必然會引入柔性,導致關節負載端出現不必要的振蕩行為,從而影響機械臂的整體工作性能。此外,摩擦的非線性問題進一步增加了關節的控制難度。現有的解決方法是引入關節力矩傳感器,通過直接測量負載力矩結合電機位置反饋實現位置/力矩/阻抗控制,但隨之產生的問題是諧波減速器和關節力矩傳感器2個彈性元件之間的串聯效應導致關節剛度的進一步降低。因此,為避免機器人可能產生的振蕩、不穩定行為,將這種“寄生柔性”納入關節的控制器設計中至關重要。

柔性關節是一個時變、強耦合的高階非線性系統,存在轉矩波動、摩擦等未知干擾,其控制策略一直是機器人領域的研究熱點。目前,PD+控制[5]、反饋線性化[6-7]、奇異攝動法[8]和積分反步法[9-10]等方法均已被證明可以應用于柔性關節控制,但在有效性和實用性上都存在一定的局限性。PD+控制簡單實用、魯棒性高,被廣泛應用于柔性關節的控制中,但控制精度取決于關節剛度的測量精度。反饋線性化方法可通過適當的變換將柔性關節的非線性系統解耦成多個線性系統,從而應用線性控制方法對其控制器進行設計,但該方法需要精確的模型信息,且無法克服外部干擾,魯棒性差。積分反步法的控制效果依賴于系統建模的精確性,且計算量大,不利于在多自由度機械臂中應用。相比之下,奇異攝動法在工程應用中較易實現,但其控制效果對關節剛度具有較高的要求,對于柔性較大的關節控制效果并不理想。為解決上述問題,德國宇航中心Albu-Sch?ffer等[11]提出了一種基于無源性理論的控制方法,該方法在控制器中引入力矩反饋項,解決了柔性關節四階系統穩定性的問題,同時為電機慣量和摩擦力塑形,抑制了關節振動,通過修改控制參數就可以實現柔性關節力矩/位置/阻抗控制。然而,控制率中各參數的實際物理意義仍不明確,特別是期望剛度受限于關節剛度影響,在實際應用中難以直觀地選擇參數來提高系統的性能。因此如何根據期望的阻抗行為設計控制器,并滿足柔性關節穩定性要求,是目前柔性關節控制器設計的瓶頸問題。

無框電機、高減速比諧波減速器結合力矩傳感器是目前柔性關節實現主動柔順的常規方案,并已經在KUKA iiwa、Franka Emika等商業機械臂上得到證明[12-13]。絕對編碼器、增量編碼器已成為機器人關節中的標準配置,但絕大多數機械臂只采用增量編碼器測量電機的位置和速度作為反饋量進行關節控制,而絕對編碼器僅用于關節負載端復位,并沒有納入關節控制框架當中。

為此,本文通過引入關節負載端位置和速度反饋,結合力矩傳感器設計全狀態反饋控制器,實現電機慣量和摩擦力塑形,同時注入期望的阻尼特性抑制振蕩行為,且最終與環境交互產生的阻抗行為不依賴關節自身剛度。利用李雅普諾夫穩定性理論對所設計的控制器進行穩定性證明,并通過仿真驗證控制器設計的合理性,最后通過自研的柔性關節樣機開展驗證實驗。

1 柔性關節模型建立

諧波減速器和關節力矩傳感器的使用為機械臂關節引入了柔性,這類關節被稱為柔性關節。柔性關節由于彈性元件的存在使得系統符合雙質量-彈簧-阻尼特性,系統內部存在4個狀態變量(電機側位置、負載端位置以及對應的一階導數),產生的動力學特性將明顯受到關節柔性和電機慣性影響。考慮關節柔性、電機慣性及摩擦力影響,建立柔性關節的簡化模型,如圖1所示。

圖1 柔性關節結構簡圖

由圖1可知,柔性關節可被視為2個級聯的子系統,其動力學包括電機端動力學和負載端動力學,相應的動力學方程可被表示為:

(1)

K=(Kh-1+Kj-1)-1

(2)

由于減速比的存在,式(1)中電機端的若干參數需要折算,具體的折算關系為:

(3)

2 柔性關節控制器設計

2.1 全狀態反饋控制

對于柔性關節的控制,目前普遍使用Albu-Sch?ffer等[11]提出的基于無源性理論的全狀態反饋控制器,即:

(4)

(5)

式中Bd為重塑后的電機慣量,且B>Bd,故BBd-1>1。比較2個電機端動力學方程,可以看出電機端慣量從B減小到Bd,電機端摩擦力從τf減小到BdB-1τf,加入力矩反饋后關節動力學特性得到一定改善。當控制器的輸入參數為期望力矩時,柔性關節可進行力矩控制;當力矩增益系數一定時,通過調整Kθ和Dθ,柔性關節可實現與環境交互的阻抗控制。

由式(4)的第2個等式可知,當力矩環加入PD控制器后,柔性關節系統形成了控制器等效彈簧阻尼和關節中機械彈簧阻尼串聯的模型,如圖2所示。其中系統的機械彈簧剛度K可由式(2)得出,從而得到關節負載端的等效剛度為:

圖2 全狀態反饋控制

Ke=(Kθ-1+K-1)-1

(6)

因而對于給定的關節剛度輸出Ke,PD控制器中的位置增益參數Kθ則可以被設定為:

Kθ=(Ke-1-K-1)-1

(7)

顯然,Ke的取值高度依賴關節的機械剛度值K。一方面,K的取值隨負載而變化且受限于傳感器精度無法得到精確測量,導致關節與環境的接觸剛度不穩定;另一方面,Ke的取值上限由K決定,即使控制器響應周期足夠快也有可能出現無法達到預期剛度值的情況。

2.2 控制器的改進設計

電機端力矩輸入和負載端位置輸出不匹配增加了柔性關節控制的不確定性,從而影響最終的控制性能。因此,可以從統一坐標系的角度入手,改善柔性關節的動力學特性。由于期望的控制目標是關節負載端與環境交互的阻抗行為,因此直接在關節負載端引入期望力矩τd,與此同時,對電機慣量和摩擦力塑形,并利用阻尼項抑制關節振動。為實現上述目的,引入一組新的電機端坐標,如圖3所示。

圖3 柔性關節動力學轉換過程

同時為抑制振動,引入阻尼耗散項,此時柔性關節的動力學方程可表示為:

(8)

式中η表示在新的電機端坐標下的電機位置。由式(5)可知當電機慣量由B塑形至Bd時,摩擦力亦被塑形,即τfd=BdBm-1τf。為保證原始動力學與當前動力學等價,應滿足:

(9)

對式(9)求二階導數可得:

(10)

(11)

對式(8)中的第2個等式兩邊求導有:

(12)

聯立式(11)和式(12),并代入原始電機端的動力學方程中,可得:

(13)

聯立式(8)的第2個等式和式(9)可得:

(14)

將式(14)代入式(13),消去變量η的相關項,得到只包含狀態變量τ、q的τm表達式:

(15)

式中:KηT=BBd-1-1;KηS=BK-1DBd-1。

(16)

對式(16)求導并整理可得q(3)：

(17)

(18)

柔性關節與外界環境的交互關系如圖4所示。對應的控制框圖如圖5所示。通過絕對編碼器測量關節負載端的當前位置q,根據位置阻抗控制器生成期望力矩τd并作為力矩環的輸入,最后通過力矩控制器生成電機轉矩τm,控制關節完成期望運動。

圖4 滿足期望阻抗特性的柔性關節控制

圖5 滿足期望阻抗特性柔性關節控制框圖

與式(4)類似,位置阻抗控制器采用PD+重力補償形式:

(19)

式中:Kq和Dq分別代表負載端剛度和阻尼系數;G(q)為負載端重力補償項。與式(4)不同的是,式(19)表示的是負載端與環境的阻抗行為,即實際阻抗剛度與負載端保持一致,即:

Ke=Kq

(20)

2.3 穩定性證明及無源性分析

無源系統的穩定性可以通過構造Lyapunov函數來進行分析。考慮關節在自由空間的運動,為負載端選擇一個合適的儲能函數:

(21)

對式(21)進行求導,可得:

(22)

由動力學方程的反對稱特性可知:

(23)

與此同時,對式(19)進行變形可得:

(24)

將式(23)和式(24)代入式(22),整理可得負載端儲能函數導數的最終表達式為:

(25)

另一方面,電機端的儲能函數可表示為:

(26)

對式(26)進行求導,可得:

(27)

由式(8)可知:

(28)

將式(28)代入式(27),整理可得電機端儲能函數導數的最終表達式為:

(29)

由此,可以得到整個系統的儲能函數及對應的一階導數為:

(30)

圖6 柔性關節無源子系統反饋互聯框圖

3 仿真分析

為驗證所提出控制方法的可行性,基于Matlab/Simulink搭建柔性關節的仿真模型進行仿真,并與傳統的全狀態反饋控制對比分析。

3.1 仿真環境搭建

圖7 柔性關節控制器仿真模型

3.2 軌跡跟蹤性能對比

首先驗證控制器的位置跟蹤性能。仿真時采用五次多項式規劃一段從0～π/2的期望關節軌跡,總時間為10 s,為保證一致性,2個控制器的增益參數設定相同。假設重塑后的電機轉子慣量為原來的1/10,則設定控制器仿真參數KT=KηT=9,KS=KηS=0.002,Kθ=Kq=100,Dθ=Dq=10。

圖8和圖9顯示了2個控制器對于期望軌跡的實際跟蹤情況和誤差。從整體上看,柔性關節在2個控制策略下均可以實現良好的軌跡跟蹤,但基于期望阻抗行為控制策略的位置控制精度要優于傳統的全狀態反饋控制策略。從圖9中可以看出,本文提出的控制策略具有更小的跟蹤誤差。

圖8 控制器位置跟蹤效果對比

圖9 控制器位置跟蹤誤差對比

3.3 力矩跟蹤性能對比

為明顯對比力矩跟蹤差異,下面對控制器的力矩跟蹤性能進行驗證。仿真時控制器的輸入為正弦期望力矩,其幅值為5 N·m,周期為0.1 s,仿真時間共1 s。設定控制器仿真參數KT=KηT=9,KS=KηS=0.002。圖10顯示了柔性關節的力矩跟蹤結果,2個控制器對連續變化的力矩均具有較高的跟蹤精度,但基于期望阻抗行為的控制策略相比傳統的全狀態反饋控制策略均方根誤差減少了2～4%。

圖11 控制器力矩跟蹤誤差對比

3.4 力矩振動抑制效果對比

為觀察2個控制器的力矩振動抑制效果,設計如下仿真實驗。控制器參數的設定與3.3節保持一致,首先控制關節由0運動到π/2位置,然后在5 s時向負載連桿末端施加一個幅值為1 N·m且持續0.1 s的階躍力矩信號,并觀察2個控制器的力矩輸出結果。圖12顯示了柔性關節在2個控制策略下的力矩波動曲線,可以看到柔性關節在受到外力沖擊后,基于期望阻抗行為的控制策略相比于傳統的全狀態反饋控制策略可以更迅速穩定力矩振動,抑制效果明顯。

圖12 控制器力矩振動抑制效果對比

4 驗證實驗

圖13 柔性關節實驗樣機

4.1 軌跡跟蹤實驗

為體現柔性關節跟蹤不同信號的過渡過程,實驗時給定激勵信號為斜坡信號過渡到正弦信號,其具體的表達式為:

(31)

式中:A為正弦信號幅值;f為正弦信號的頻率;t為采樣時間。實驗時斜坡信號不變,通過改變f的大小來設定不同頻率的正弦參考信號。控制器的增益參數如表1所示。

表1 控制器增益設定

開始實驗時,設定頻率分別為0.2 Hz、0.5 Hz和1 Hz控制關節運動,并通過絕對編碼器采集關節負載端位置及對應的位置誤差,如圖14所示。

圖14 軌跡跟蹤結果

從實驗結果可以看出,控制器可以很好地跟蹤期望位置信號,基本沒有滯后和超調情況出現,且平均誤差維持在10-3量級左右,但隨著頻率的增大,誤差略有增加,這符合關節位置帶寬特性,屬于正常現象。

4.2 力矩跟蹤實驗

然后驗證控制器的力矩跟蹤性能。實驗時鎖定關節負載端位置,然后給定3組不同角頻率的正弦期望力矩,觀察力矩信號的跟蹤情況。控制器的增益參數如表2所示。

表2 控制器增益設定

設定參考力矩信號的表達式為:

τd=3.7×sin(π/(T×2 000)×t)

(32)

式中:T為參考力矩信號的周期;t為采樣時間。實驗過程中通過改變T的值設定不同角頻率的正弦參考信號,并通過關節力矩傳感器采集關節實際輸出力矩,如圖15所示。

圖15 不同頻率下的力矩跟蹤結果

從整體跟蹤情況來看,控制器可以很好地跟蹤期望力矩信號,沒有滯后情況出現,僅在信號切換時有略微超調現象。

4.3 阻抗特性對比實驗

最后驗證控制器的阻抗特性。首先分析人機交互時環境剛度的測試方法。阻抗模式下,當關節受到外力時,滿足關系:

(33)

與此同時,關節滿足質量-阻尼-彈簧的阻抗特性,對應期望的閉環系統動力學方程為:

(34)

式中Me和De分別為慣性項和阻尼項。

聯立式(33)和式(34),可以得到關節穩態時的環境剛度,具體表達式為:

(35)

根據上述結論開展阻抗控制實驗。為對比基于期望阻抗行為的控制策略和傳統全狀態反饋策略在人機交互時的環境剛度大小,2個控制器的參數設定應保持一致,具體如表3和表4所示。

表3 基于期望阻抗行為的控制器增益設定

表4 傳統全狀態反饋控制器增益設定

實驗時手動推動連桿離開期望位置,并保持在當前位置穩定一段時間,同時通過關節力矩傳感器和絕對值編碼器分別采集關節實際輸出力矩和關節實際位置,實驗數據如圖16所示,由于人手推動連桿時用力不均,因此輸出的關節力矩存在一定的振蕩。

圖16 阻抗特性對比

根據實驗結果計算可以得出,傳統全狀態反饋控制器的平均環境接觸剛度約為16.6 N·m/rad,而利用所提出的控制器對應的平均環境接觸剛度約為19.7 N·m/rad,更接近設定值20 N·m/rad,驗證了所提出控制器的正確性。

5 結論

1)結合關節的絕對位置信息和力矩傳感信息構成全狀態反饋控制器,利用坐標變換實現了對關節負載端的直接控制,實現了對關節振動的抑制,最終的控制率參數更加明確、控制參數易于選擇與調整。

2)應用李雅普諾夫第二方法驗證了控制器閉環系統的穩定性,使用Matlab/Simulink建立了柔性關節的動力學模型,并結合所提出的控制率對柔性關節的位置控制、力矩控制和振動抑制進行了仿真,驗證了控制器的可行性。

3)以實驗室自研的柔性關節樣機為對象,分別對關節的位置跟蹤性能、力矩跟蹤性能和阻抗特性進行評估,結果表明,相比于傳統的全狀態反饋控制策略,關節的位置跟蹤誤差和力矩波動現象均得到明顯改善,且負載端剛度可以不受關節自身剛度限制,達到理想阻抗行為。

后續將會把柔性關節集成到機械臂當中,基于所提出的控制策略對整臂的力控性能進行研究。