小學數學教材“統計”內容的螺旋式編寫研究

陳思燁

［摘? 要］ 螺旋式編寫是課程組織的常見形式之一。文章以小學數學統計內容為例，從螺旋間隔、內容廣度、內容深度三個維度，對人教版、蘇教版、北師大版的螺旋式編寫方式進行分析，并結合研究發現，給出相關建議。

［關鍵詞］ 教材編寫；螺旋式；統計；小學數學

一、引言

教材是最基本的課程資源，是教與學的主要依據。教材內容的編排主要有兩種方式：直線式與螺旋式。直線式的課程前后內容互不重復；螺旋式由布魯納在20世紀50年代提出，他認為“任何學科都能夠按照某種正確的方式，有效地教給任何年齡階段的任何兒童”。螺旋式編寫的特點是隨著年級的升高，課程內容重復出現，不斷拓展廣度、加深深度。統計（Statistics）最早指記述國家和社會狀況的數量關系的總稱，它向各個領域提供一般性的認識方法和思維模式［１］。統計的學習有助于學生數據分析觀念的培養，在小學階段的統計與概率中占主要地位。在基礎教育階段的課程設置上，各版本教材普遍采用螺旋式的課程設計編排模式。筆者以人教版、蘇教版、北師大版小學數學教材為例，分析其有關統計內容的螺旋式編寫，希望對教師理解與應用統計提供參考。

二、研究過程

1. 研究對象

依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課程標準”）的要求，在“一綱多本”的背景下，先后有多個版本的小學數學教材通過全國中小學教材審定委員會審定。研究所選擇的版本是2014年出版的人教版、2014年出版的蘇教版、2013年出版的北師大版。依據“課程標準”，將小學數學學習分為兩個學段：第一學段（1～3年級）、第二學段（4～6年級）。研究只分析每冊教材中的例題，在詳細翻閱了3個版本的12冊教材后，將統計內容在教材中具體分布的情況繪制成表1。其中，一年級下冊簡稱為“一下”，以此類推。

2. 研究設計及其結果

“課程標準”指出：教材的編寫應采用逐級遞進、螺旋上升的原則，螺旋上升是指在深度、廣度都有質的變化，體現出明顯的階段性要求［２］。研究將從螺旋間隔、內容廣度、內容深度三個維度，以人教版、蘇教版、北師大版的小學數學教材為載體，探究小學數學教材中統計內容的螺旋式編寫方式。

（1）螺旋間隔

螺旋間隔主要包括教材中涉及統計內容的螺旋數量（冊數）、螺旋間隔時間和平均螺旋間隔時間。通過統計螺旋間隔，有助于把握教材的整體結構，便于從宏觀上進行分析。在3個版本的教材中，統計內容都以整個單元的形式出現，每冊最多設置了1個涉及“統計”領域的單元，研究中的螺旋數量即為12冊教材中涉及統計內容的總冊數。例如，人教版中有7冊教材涉及統計內容，則其螺旋數量為7。螺旋間隔時間是以學期為單位的，指統計內容在相鄰兩冊教材中出現的間隔時間，其中1冊教材即代表1學期。例如，在北師大版中，統計內容依次出現在一上、二下、三下、四下、五下、六上，有6冊教材涉及了統計內容，因此有5個螺旋間隔時間，分別為3、2、2、2、1，其平均螺旋間隔時間為10÷5=2.00。

由表1可以看出，在第一學段，蘇教版和北師大版對內容安排的時間間隔較長，在一年級上冊接觸了簡單的分類后到二年級下冊再次接觸統計的內容，與此相比，人教版的安排比較均衡。

由表2可以看出，人教版、蘇教版的螺旋數量均為7，2個版本教材均有7冊書出現了統計的內容，蘇教版和北師大版的最長螺旋間隔時間為3個學期，人教版為2個學期，最短均為1個學期。人教版的平均螺旋時間為1.5，即每1.5個學期就會出現有關統計的內容，北師大版的平均螺旋間隔時間最長，為2個學期。

（2）內容廣度

內容廣度是指一門課程所涉及的內容的范圍大小以及所包含的知識點的多少［３］。本文以1冊教材為單位，通過教材中“知識點的數量”來刻畫課程廣度。綜合3種版本的教材可得，涉及的統計內容共有10個知識點，組成3個知識團：①數據收集整理：Z1——實物的分類，Z2——數據的收集，Z3——數據的整理；②統計圖表：Z4——統計表，Z5——象形統計圖，Z6——條線統計圖，Z7——折形統計圖，Z8——扇形統計圖，Z9——選擇合適的統計圖；③統計量：Z10——統計量（平均數）。關于統計的知識點在3個版本中的具體分布情況詳見表3。

從表3可知，3個版本教材關于統計的內容廣度既有共性又有差別。共性在于3個版本都包括了“統計”的基本知識內容，知識點數量不相上下：人教版共出現9個知識點，蘇教版有10個知識點，北師大版包含9個知識點；比較而言，蘇教版知識點略多于人教版和北師大版。差別在于：人教版沒有涉及象形統計圖的學習，而是直接以統計表的形式出現；北師大版未涉及統計表這一知識點，更側重統計圖的學習。

在重復性上，蘇教版側重于Z4的學習，在三下、四上、五上都有所涉及；北師大版螺旋重復較多。比如，在一年級上冊引入實物的分類后，三年級下冊依舊涉及實物的統計分類，在二年級下冊學習了象形統計圖，又在三年級下冊學習了象形統計圖，產生了一定的重復性。

（3）內容深度

課程深度是一個很難量化的概念，它泛指“課程內容所需要的思維的深度”，反映了“課程內容之間的設計順序、編排和組合的邏輯深度以及所潛在的學科思維的深度”。在數學課程中，主要涉及“數學概念和數學原理的抽象程度、概念之間的關聯程度以及課程內容的推理與運算步驟”［４］。因此，研究主要從教材的編排這一角度進行。

從總體上看，統計內容在3個版本的小學數學教材的編排中都呈現螺旋上升的趨勢，知識點前后關聯，隨著年級的升高不斷加深與拓展。在第一學段（1～3年級），3個版本教材對于統計部分的內容要求是簡單感受、了解和認識。到第二學段（4～6 年級），3個版本教材在教學內容上比較相近，以數據的收集整理能力為基礎，不斷提高要求，讓學生逐步學習條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖、統計圖的選擇與平均數，助力學生構建完整的知識框架。

高度抽象性是數學的重要特點之一，3個版本教材在講授Z3之前，都設置了實物的分類、數據的收集等相應知識點作為鋪墊內容。比如，人教版一年級下冊的第三單元“分類與整理”，創設了貼近學生生活的情境，從對實物的分類入手，抽象出簡單的數據分類：首先，學生根據不同的標準來分類實物，感受分類與分類標準的關系；其次，通過教師引導提問“如何把分類的結果呈現在表中”，學生產生初步的想法，用圖形、文字等把圖上的信息記錄到表中，由此經歷簡單的數據整理過程。

三、建議

1. 內容的安排應由淺入深，在各個螺旋之間設置好銜接內容

考慮到小學生的認知發展特點及對統計相關內容的理解能力，教材對學生數據分析方法的要求較低，同時“課程標準”也對學生提出了關于這一內容的要求，只是這些要求相對比較基礎［5］。由表2可知，統計的內容大多分布在小學6至7冊教材中。因此，應由淺入深地編排統計內容，合理銜接，以實現知識的融會貫通。以人教版為例，由二下“簡單的統計表”過渡到三下“復式統計表”，并類比學習從“條形統計圖”過渡到“復式條形統計圖”，循序漸進地進行教學，有效銜接了學生的認知發展水平。但是從單式到復式的教學，在情境設置上缺少相關性，銜接并不到位，割裂了教學情境的一致性；若用同一情境銜接，貫通單式到復式的教學，前后內容會顯得更加緊湊，有助于學生構建系統的知識框架。從表到圖的教學，可以通過兩者的特征銜接，利于學生了解“統計表”數據更清晰，但不利于直觀分析的特征后，體會“統計圖”便于研究差異的本質特征。

2. 適當提高統計量的占比，增加平均數的螺旋重復

通過表3可以發現3個版本教材涉及的統計內容主要以統計圖表為主，較少涉及統計量，且只涉及統計量中的平均數。平均數的編排位置在3個版本教材中并不相同，人教版安排在四下，蘇教版安排在四上，北師大版安排在四下和五下。由此可見，人教版、蘇教版均按照直線式的編排方式對平均數內容進行編排，前后的教材內容幾乎沒有重復。平均數的教學重點不僅在于計算，更在于能理解并體會平均數的作用。僅在一冊教材中涉及平均數的內容，不利于學生更深一步地掌握統計的相關知識。因此，教材的編寫中，可以適當增加平均數的螺旋重復，將平均數與條形統計圖、統計表、統計量等相關內容相聯系，注重知識點之間的相互聯系，使整個知識形成一個體系，突出數學教材的整體性和邏輯性［6］。

參考文獻：

［１］ 李俊. 中小學概率統計教學研究［Ｍ］. 上海：華東師范大學出版社，２０１８.

［２］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（２０１１年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，２０１２.

［３］ 耿素娟. 人教版與蘇教版小學數學“統計與概率”領域內容比較［Ｊ］. 小學教學參考，２０１５（０８）：２９－３０.

［４］ 孔凡哲. 螺旋式上升課程設計編排風格的誤區及其矯正［Ｊ］. 課程·教材·教法，２００６（１０）：４１－４６.

［５］ 吉歡. 中新兩國小學數學教材統計與概率內容的比較研究［Ｄ］. 云南師范大學，２０２１.

［６］ 王瑩. 中新兩國小學數學教材中“平均數”的比較研究［Ｄ］. 揚州大學，２０１８.