“宏”觀一道題，“微”觀數學哲理

戴晶晶

［摘? 要］ 通過“宏”觀一道題，“微”觀數學哲理，研究者對特級教師張宏偉的“割鐵皮”一課進行記錄和賞析：通過題組對比，讓學生感悟真理不是永遠都對；通過研透問題，讓學生感悟方法比知識更重要；通過一題多變，讓學生感悟探究的永無止境。

［關鍵詞］ 全景教育；數學哲理；割鐵皮

在“當代教育大講堂·渝州之秋”小學數學教學研討會上，特級教師張宏偉執教的“割鐵皮”（人教版三年級下冊）一課，筆者印象深刻，頗為喜歡。

在教學過程中，張老師借助“割鐵皮”的游戲，和學生做個鐵皮匠，玩剪鐵皮。他通過“從1張長方形鐵皮上剪掉1張邊長5米的正方形鐵片后，求剩下鐵皮的面積和周長”這一道題，變化題目中的信息，引導學生找到計算剩下鐵皮的面積和周長的方法，感悟遇到不確定的信息時要想出所有的可能。整節課上張老師豐富的“表情包”、幽默的話語激活了學生的數學思維，讓他們敢于挑戰、不怕失敗、超越自我，暢游在美妙的數學世界里。

一、題組對比，感悟真理不是永遠都對

出示題目：1張長方形鐵皮，長20米，寬15米，從它身上剪掉1塊邊長5米的正方形鐵片后，問題（1）剩下的鐵皮的面積是多少平方米？問題（2）剩下的鐵皮的周長是多少米？

師：我先找1位同學把題目讀一遍，聽完題目，大家開始做題。

學生獨立完成，教師巡視了解學生的解題情況。

師：通過巡查，老師發現大家第1題都做對了。

板書：第一題：20×15－5×5=275（平方米）；第2題：（20＋15）×2－5×4=50（米）……

學數學最重要的是學思維，我們不僅要學會自己思考，還要讀懂別人是如何思考的。（指著板書）我們來看看黑板上這兩道算式，一起來看看里面有什么樣的解題思路，同時看看第2題的解題思路是否正確呢？

生1：第1題的解題思路是用原來的鐵皮面積減去被剪掉的正方形鐵皮面積等于剩下鐵皮的面積。

師：（指著第2個算式）這道算式又有怎樣的解題思路呢？

生2：先求出原來的周長，再減去被剪掉的正方形鐵皮的周長，等于剩下鐵皮的周長。

師：根據板書內容，這兩個算式有一個共同的地方，是什么？

生2：都是用原來的減去剪掉的等于剩下的。

師：很好，前面兩位同學準確地說出了兩道算式的解題思路，接下來我們看看這兩道題的解題思路正確嗎？

學生紛紛作答，最終一致認為第1題的思路正確，第2題的思路錯誤。

師：第2題究竟該怎么作答呢？

生3：（學生畫圖）通過圖片可以得出，剪掉1個正方形鐵片后，剩下的是1個凹進去兩條邊的不規則圖形，我們把這兩條凹進去的邊平移出來，圖形又變回了原來的長方形。所以，剪掉1個正方形鐵片后，原來鐵片的周長不變，它只是面積減少了。

其他同學紛紛點頭，同意生3的觀點。

賞析：德國數學家克萊因說：“數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度。”追求真理是人類永恒的目標，人們為了證明數學真理，不僅要回答“什么是數學真理”，還要回答“為什么它是數學真理”。張老師精選了1道周長和面積的對比題，巧妙地引發學生的認知沖突，在呈現學生的算式和解題思路后總結出兩種方法的共性：原來的減去剪掉的等于剩下的。面對這個一年級學生就開始接觸的真理，有的學生慢慢發現這個真理在計算剩下鐵皮的周長時不適用了，他們迫切地借助畫圖策略尋找正確答案。此時，張老師趁熱打鐵，告訴學生不能自以為是地認為真理在任何地方永遠都對，對待每一個數學問題都要重新思考，培養他們的批判性思維。

二、研透問題，感悟方法比知識更重要

1. 感悟“畫圖”方法

師：在學習數學的時候，如果無法通過語言描述準確理清題意，我們可以借助圖形，畫圖是我們思考和解決數學問題很重要的一個路徑。在解決切鐵皮這道問題的過程中，聰明的同學把原來的圖和剪掉后的圖都畫出來，通過對圖片的分析，答案就一目了然了。“畫圖法”是解決數學問題的一個很有用的方法，習得一些有用的解題方法，可以給你的學習錦上添花。

師：請大家觀察圖片（圖1），其實這個畫圖還不完美，你們想想是為什么？

生4：沒有標數據。

師：（給每條邊標上數據）標上數據后，老師覺得這個圖形還不夠完美，因為每條邊還沒有自己的稱呼，我們只能說“這條邊”“那條邊”，這樣表述一點也不清楚，所以我們還應該做什么？

生5：給每條邊標上序號。

師：（給每條邊標上序號）現在，這個圖形就完美了！

圖1

2. 感悟“分類”思想

師：我們繼續來分析例題，針對周長問題，大家都對生3的解題思路表示贊同。但老師想說，這道題如果滿分是10分，生3的回答只能得到3.33分。

全班學生都面面相覷，生4的思路明明是正確的，為什么不能得滿分呢？

師：張老師送你們一句話——聽過不如看過，看過不如做過，做過不如錯過。做錯了，這道題才有研究價值，你們知道剛才生3的解題思路為什么沒得滿分嗎？

生6：它沒有固定……（教師示意學生不要往下說了）

師：你很了不起，舉手不說出來是對你同伴最大的尊重，你尊重他思考的時間和空間。我們的審題出了問題，其實題目中有確定的信息和不確定的信息，我們來細品題目中哪一句話是確定的，哪一句話是不確定的？

……

師：“從它身上剪掉1塊邊長5米的正方形鐵片”這句話有爭議了，你覺得什么是確定的，什么是不確定的？

生7：它的邊長、面積和周長是確定的，但是減去鐵皮的位置是不確定的，剪邊長5米的正方形鐵皮有無數種不同的方法。

師：你是一個偉大的哲學家，握握手。數學上處理無數種方法的方法就是分類，解題時我們需要想出所有的可能。那在鐵皮上減去1個正方形，可以有幾種剪法呢？

生8：可以在4個角上剪、在邊上剪、在正中間剪。

師：（出示“從邊上剪”，見圖2）剪去之后我們要比較變化前和變化后的周長，找一找有什么關系。

生9：和原來周長相比，“槍斃”了1個5米，“生出”了3個5米，多了2個5米，所以變化后的周長比原周長多了10米，周長變成了80米。

師：（出示“在中間剪”，見圖3）請大家看看這個圖形的周長和原來圖形的周長一樣嗎？

生10：原來圖形周長沒有被“槍斃”，反而“生出”了4個5米，周長就多了20米，所以變化后的周長是90米。

賞析：數學家華羅庚說：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。”《義務教育小學數學新課標（2022年版）》在總體目標中明確指出：“學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”這一總體目標貫穿小學整個學習過程，這充分說明了數學思想方法的重要性。智慧的張老師通過深入挖掘1道周長題目的數學內涵，教會學生畫圖的方法，不僅要標上每條邊的數據和序號，還要比較變化前后圖形周長的不同，這個數學方法將貫穿整節課和“空間與圖形”領域的學習過程。同時，張老師還在題目中設置了“陷阱”，讓學生經歷先入“坑”再出“坑”的全過程，深刻體會遇到不確定信息要進行分類討論，盡可能想出所有可能。

三、一題多變，感悟探究是永無止境的

師：太牛了，孩子們！上完這節課之后，你和以前相比有哪些收獲或者不一樣了？

生11：以前我們都是用很老土、很死板的方法做題，現在我們掌握了新方法，感覺比以前更厲害了。

生12：遇到問題要多思考，不能用以往的經驗去解決所有問題。

生13：我們做題時要先觀察它什么是確定的，什么是不確定的；找到不確定的把它分類，再進行比較。

師：今天你們都非常牛，學這些方法可以讓你們一生受用。老師在下課前給你們一個猜想：1張長方形鐵皮，長20米，寬15米，從它身上剪掉一塊邊長a米的正方形鐵片后，剩下的鐵皮的周長是多少米？如果在角上剪，剩下的周長變了嗎？

全班學生都說“沒變”。

師：如果在邊上剪，剩下的周長增加多少？

全班學生都說“2個a”。

師：如果在中間剪，剩下的周長增加多少？

全班學生都說“4個a”。

師：全軍覆沒，沒有一個全對。因為它是未知數a，所以結果就不一樣了。如果a和長方形的寬相等會怎樣？請大家回家研究研究！

……

賞析：俗話說“活到老，學到老”。張老師用一道題為載體，引導學生在思考中揭示周長和面積的數學本質，培養學生具體問題具體分析的能力，提升學生解決實際問題的數學素養。在課末，張老師一題多變，僅改變了題目中的一個數學信息，這時全班學生就入“坑”了。張老師故意只給了小提示，留給學生到課后研究這道題，進而出“坑”，打通了課堂和課后的數學學習時空，讓他們感受到數學探究是永無止境的。

綜上所述，小學數學教師在課堂上要像張老師那樣充分利用一道題目的價值，不斷改變一道題目中的關鍵字眼或者條件，讓學生在不斷辨析中深刻且靈活地理解周長的計算方法，感受數學學習能解決生活中的實際問題，感受數學的應用價值。