數學語言：發展學生數學核心素養的重要載體

王玉珍

［摘? 要］ 數學語言是數學思想的外殼，也是數學文化的表征。在小學數學教學中，教師要引導學生進行數學語言提取、數學語言加工、數學語言建系，讓學生經歷橫向數學化、縱向數學化以及結構數學化的過程。從數學語言入手，從數學語言的轉換、建系入手，能有效提升學生的數學學習力和發展學生的數學核心素養。

［關鍵詞］ 小學數學；語言轉換；核心素養

學習任何一門學科，歸根結底是掌握該學科的語言。數學學科的語言具有自身的獨特性，比如簡潔性、精確性、嚴謹性、抽象性等。數學學科語言包括概念語言、符號語言和圖表語言等，學生的數學學習就是在不同形態的數學語言中穿行。在小學數學教學中，教師應根據數學學科內容的特質以及學生的具體學情，采用相應的教學策略，引導學生進行語言轉換。通過語言轉換，提升學生對數學語言的解讀力，激活學生的數學思維，催生學生的數學想象，助推學生的數學創造。數學語言是提升學生數學學習力和發展數學核心素養的重要載體。

一、語言提?。阂龑W生經歷橫向數學化

學生在數學學習中首先遇到的不是數學的符號、圖表等，而是文字。文字是學生的生活經驗的表征。在實施數學教學時教師要善于提取相關的文字內容，引導學生從文字所表征的生活化的內容過渡、發展到數學化的內容。從生活語言到數學語言，是數學語言轉換的開始。小學數學涉及的內容十分廣泛，包括相關的生產性內容、生活性內容甚至科學性內容等。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：數學化分為橫向數學化和縱向數學化［１］?！皺M向數學化”指從生活化、生產性的內容過渡、發展到數學學科的內容。

從生活語言過渡、轉換到數學語言，一是要讓學生理解文字內容的指向，即文字內容所現出要解決的問題；二是要讓學生理解文字內容背后所關聯的數學學科知識，即文字內容所表征的生活事實需要應用到的數學知識；三是要讓學生感悟到解決文字內容所表達的問題需要應用的數學思想方法與策略。

為了促進學生對文字敘述內容的生活化提取，教師一方面要培養學生的文字理解能力，讓學生抓住常用的、常見的一些文字語言，比如“增長一倍”“增長20%”等；另一方面可以將文字所表述的內容直觀化、形象化、可視化，比如可以讓學生根據題意畫圖、根據題意表演等。凡此種種，都有助于學生將文字語言、生活語言轉化成數學語言。通過對相關的生活語言、文字語言的提取，能讓學生在數學學習過程中學會讀題、析題，學會辨析相關文字表述、生活表述的非數學化內容和數學化內容等，學會在對生活語言、文字語言的解讀中提煉數學性、本質性的內容。

比如教學“分數除法應用題”時，學生對“增長10%”這樣的生活表述常常理解不到位，從而導致分析問題、解決問題遇到相應的障礙?；诖?，教師在教學中要引導學生進行語言的提取、轉化。比如：“增長哪一個數量的10%？”“哪一個數量比哪一個數量增長10%？”“10%表示的是哪一個數量？”“哪一個數量是標準量、哪一個數量是比較量？”“哪一個數量是單位‘1’的量？”“‘增長10%’這樣的一個關鍵句中蘊含著怎樣的數量關系？”

通過這樣的追問，引導學生從生活語言、文字語言中建構數學語言，即能寫出“數量關系”。通過這樣的追問，促進學生提取數學語言，促進學生對數學語言的理解、掌握。

將日常的生活化語言、文字性語言提煉成數學語言，并用數學的思維來認知、思考、探究，能引導學生在數學學科語言與生活語言建立一種“映射關聯”。將生活語言、文字語言轉化成數學語言，有助于學生應用自身的數學思維、認知來分析數學語言，進而提高解決問題的能力。

二、語言加工：引導學生經歷縱向數學化

“縱向數學化”是指在數學的世界中對數學符號、數學語言的生成、重塑和被使用。教師要引導學生對數學語言進行深度加工、精加工，讓學生的數學語言不斷地走向簡潔、規范、科學。在教學中，教師要引導學生進行數學語言表達，為學生的數學語言表達注入邏輯的力量，讓學生的數學語言變得簡潔縝密，讓學生的數學語言能有效地表達數學思維，讓學生的數學語言成為數學思維的直接現實。

引導學生對數學語言進行加工，不僅要在邏輯性、嚴謹性上加工，還要讓數學語言能表達出數學知識的本質、能表達出數學知識背后的思想方法，并鼓勵學生應用符號、圖像、圖形、表格、箭頭等進行多樣化的表達。從某種意義上說，學生對數學語言的理解、掌握和應用確證與表征著學生的數學核心素養。

比如教學“用字母表示數”時，教師要讓學生深刻地感受、體驗“用字母表示數”不是簡單地“用字母代替數”，而是運用“符號化”“形式化”“公理化”對數學知識進行表征與確證的數學化過程。比如，當小明10歲的時候，他的爸爸是35歲；當小明11歲的時候，他的爸爸是36歲……當小明50歲的時候，他的爸爸是75歲。在這個過程中，什么是變化的、不確定的量？什么是確定的量呢？

當學生用數學符號“x”來表示小明年齡的時候，就必須讓學生認識到“x”可以表示的數。小明爸爸的年齡可以怎樣表示？在這個過程中，有的學生一開始就是簡單地用符號代替數，比如有的學生用“y”來表示小明爸爸的年齡。當教師啟發、引導學生開展數學化思考、探究之后，學生開始進行關系性的數學思考，有的學生用“x+25”來表示爸爸的年齡。由此，學生就能深刻地認識到用字母可以表示變化的、不確定的量。同時，用字母來表示變化的、不確定的量是有一定的范圍的（定義域）?！坝米帜副硎緮怠辈粌H能表示變化的量，而且能表示確定性的關系。通過引導學生對相關數學語言進行加工，能讓學生感受、體驗到數學語言的力量。學生發現，數學語言不僅能有效揭示數學知識的學科本質，同時還有助于揭示數學學科知識的邏輯。在數學學科教學中，教師要給學生打造一個語言加工的平臺，賦予學生語言加工的契機，創設一個有助于學生進行語言加工的場域，讓學生能積極主動地進行語言加工。

對數學語言的深度加工、精加工，其實就是數學語言之間的轉換。數學語言轉換的關鍵是要引導學生經歷數學知識符號化、形式化的縱向數學化過程。在教學中，教師不僅要引導學生創造符號（比如教學中讓學生用△、☆等圖形來表示小明的年齡），更要引導學生優化符號、完善符號。只有引導學生積極主動地用數學語言來表征和對數學語言進行優化，才能讓學生習得數學語言精加工、深度加工的經驗。引導學生對數學語言進行深度加工、精加工，不僅要讓學生的語言表達有條理，要讓學生的語言表達有根據，還要讓學生的數學語言表達有目標、有方向、有動力。

三、語言建系：引導學生經歷結構數學化

在數學教學中，有時候同一個學習對象可以用不同的符號來表示，比如用符號來表示計算中的“運算律”等；有時候不同的學習對象可以用同一個符號來表示，比如用“v”來表示速度，用“V”來表示體積等。教師要引導學生對數學語言進行整體性、系統性的梳理，讓學生建立一個有效的數學語言體系，引導學生經歷知識學習的“結構數學化”。引導學生建立數學語言體系，有助于學生應用數學語言進行表達；引導學生建立數學語言體系，不僅能促進學生對數學知識本質的理解，而且能讓學生把握數學學科知識的關聯，洞察數學學科知識的來龍去脈。

在數學語言中，數學的概念、公式、定理、法則等具有獨特的本質、關聯和意義。數學教育家斯托利亞爾說，“數學教學就是數學語言的教學”［２］。學生數學學習的過程就是數學語言不斷形成、不斷優化、不斷豐富的過程。在數學教學中，教師要引導學生用數學的語言描述、用數學的語言交流、在數學的語言中思考。

比如，教學“多邊形的面積”這一單元的相關知識之后，筆者引導學生用數學語言來描述“多邊形的面積公式”：一方面，要求學生對“多邊形的面積公式”進行意義賦予、過程回顧，進一步鞏固學生的數學語言；另一方面，要求學生對“多邊形的面積公式”從數學語言的高度進行整理、建系。在教學中，筆者以“梯形的面積公式S=（a+b）h÷2”為抓手，引導學生整理、疏導多邊形的面積公式。通過語言建系，讓多邊形的面積公式成為一個具有較強結構功能的數學語言系統。在語言建系的過程中，筆者有意識地追問學生：“S”表示什么？“a”表示什么？“b”表示什么？“a+b”又表示什么？相當于原來平行四邊形的面積公式中的什么？“h”表示什么？相當于原來平行四邊形面積公式中的什么？為什么要“÷2”？當“a=0”時，梯形的面積公式怎樣表示？怎樣理解這個時候的梯形面積？當“a=b”時，梯形的面積公式怎樣表示？怎樣理解這個時候的梯形面積？當“a=b=h”的時候，梯形的面積公式怎樣表示？怎樣理解這個時候的梯形面積？

通過這樣的引導、追問，不僅鞏固了學生對梯形的面積的認知，而且溝通了“梯形的面積公式”與“平行四邊形的面積公式”“三角形的面積公式”“長方形的面積公式”“正方形的面積公式”之間的關聯。有的學生說，梯形的面積公式是“萬能的”；有的學生說，梯形可以演變為三角形，也可以演變為平行四邊形、長方形、正方形等圖形；有的學生說，我們只要把握了梯形的面積公式，就能建構出其他多邊形的面積公式等。通過對多邊形面積公式的數學語言追問，學生能真正把握數學知識的邏輯性、層次性。因此，教師以梯形的面積公式的數學語言為抓手，能夠讓學生把握多邊形面積公式之間的關聯、區別，促進學生對多邊形面積公式數學語言的整體性建構。

數學是一門語言，數學學科中的各種概念、定理、公式以及法則、性質等無一不是數學語言。在引導學生數學語言建系的過程中，教師不僅要引導學生掌握數學語言的表象代碼，還要引導學生掌握數學語言的語義代碼［３］。只有借助數學語言的表象代碼、語義代碼，才能讓學生有效地解讀數學語言。數學語言是數學知識、數學思想、方法等的載體、媒介，同時也是數學知識、數學思想、方法的重要組成。數學語言負載于數學知識之中、蘊含在數學思想、方法之中。教師引導學生用數學語言表達，不僅要讓學生用數學語言“說話”，更重要的是要通過數學語言激發學生思維、催生學生想象、引發學生對相關內容的深度探究。

數學語言是數學思想的外殼，也是數學文化的表征。借助數學語言，能引導學生理解相關的數學概念、法則、定理等，建構數學知識，開展數學思維、探究，感悟數學文化、領悟數學精神。在數學教學中，教師應從數學語言、數學語言的轉換、建系入手，積極打造數學語言表達的平臺和拓展學生的數學語言表達時空，讓學生的數學語言表達更自主、更靈動，讓學生在表達中感受、體驗、認識到數學語言的意義和價值，促進學生的數學學習走向豐富、深刻和睿智。

參考文獻：

［１］ 史寧中． 數學思想概論（第１輯）：數量與數量關系的抽象［M］． 長春：東北師范大學出版社，２００８．

［２］ 楊慧娟． “數學表示”的建構主義特征分析［Ｊ］． 重慶師范學院學報（自然科學版），２００２（0２）．

［３］ 彭綱. 促進數學核心素養發展的深度學習活動設計研究［Ｊ］. 中小學教材教學，２０２２（0４）.