考試命題中模型簡化的科學性研究

李睿 李越 陳志華

摘? ?要： 真實問題情境在命制物理試題中是考查或培養學生模型建構、科學推理等科學思維能力的良好素材。為了適配相應的學業水平，部分試題會理想化真實情境，簡化從中構建的物理模型。文章分析2022年福建省中考物理試卷的壓軸計算題，討論物理簡化模型的科學性和命題的嚴謹性，提出真實問題情境中物理模型科學簡化的條件，為情境化試題的命制提供參考，并引發了對教學中重力加速度變化的思考。

關鍵詞：中考物理題；模型簡化；真實問題情境；科學思維

義務教育物理課程標準倡導“強調真實問題情境，引導學生不斷探索，提高分析問題、解決問題的實踐本領和科學思維能力，發展核心素養”的課程理念[ 1 ]。從真實情境問題中構建物理模型，可以引導學生在科學探究過程中學習科學研究方法、養成科學思維習慣[ 2 ]。在實際進行情境設計時，需要抓住主要因素，忽略次要因素，降低模型復雜程度，才能與當前學業水平相符，因此，中考物理試題的題干中，“忽略”“不考慮”“不計”等字眼的出現屢見不鮮。筆者以2022年福建省中考物理試卷的壓軸計算題（第31題）為例，分析與討論在真實情境問題中如何對物理模型進行科學合理的簡化，為“雙減”背景下真實情境試題的設計提供參考。

1 真題解析與思考

1.1真題再現

如圖1是一款能自動浮沉的潛水玩具，正方體潛水器內裝有智能電磁鐵，將它放入裝有水的圓柱形薄壁容器中，容器放置在水平鐵板上，不計容器的重力。潛水器啟動后通過傳感器測出其底部與鐵板間的距離l，自動調節電磁鐵電流大小，改變潛水器與鐵板間的吸力F的大小。閉合開關前，潛水器處于漂浮狀態。閉合開關，潛水器啟動后先勻速下沉，完全浸入水中后，變為加速下沉直至容器底部，下沉全過程F隨l變化的關系保持不變，水深變化的影響忽略不計。已知潛水器的邊長為10 cm，重為5 N，容器的底面積為1000 cm2，水深為25 cm。求：

（1）潛水器漂浮時受到的浮力。

（2）下沉全過程潛水器重力所做的功。

（3）潛水器沉底靜止后容器對鐵板的壓強。

1.2真題解析

該試題在潛水玩具的自動沉浮過程中考查浮力、重力、壓強、功等物理概念，以及模型建構和科學推理等科學思維水平。案例鮮活，貼近學生生活。題目的設問逐步遞進，梯度合理，有利于學生發揮正常水平，契合中考評價體系“一核、三層、三翼”的要求。

第（1）問主要考查漂浮狀態下物體的受力分析和二力平衡條件，難度小。學生通過分析潛水器在漂浮時受到豎直向下的重力和豎直向上的浮力作用，根據平衡條件，即可得到正確答案：漂浮時受到的浮力為F浮=G潛=5 N。

第（2）問主要考查阿基米德原理和重力做功，難度一般。根據阿基米德原理可求得漂浮時潛水器的浸水深度：

其中S1是潛水器的底面積，即S1=100 cm2。下沉全過程中，潛水器下沉距離？駐l等于漂浮時其底面與容器底部的間距，因此，該過程中重力所做的總功為：

WG=G潛Δl=G潛（H0-x0）=1 J②

其中H0是初始水深，即H0=25 cm。

第（3）問有一定的難度，區分度較高，要求學生具備較好的科學推理能力。學生僅知道壓強的計算公式是不夠的，還要能夠分析作用于鐵板的壓力情況，具體推理過程如下：

首先，壓力的來源分析。由于“容器重量不計”，潛水器沉底靜止后，作用于鐵板上的壓力包含水的重力G水、潛水器的重力G潛以及潛水器與鐵板之間的吸力F。

其次，重力的計算。根據阿基米德原理分析得到水與潛水器的總重力就等于25 cm深的水的重力，即

G水+G潛=ρ水gS2H0=250 N③

其中S2是容器的底面積，即S2=1000 cm2。

再次，潛水器沉底靜止時與鐵板間的吸力F0的計算。勻速下沉過程中，潛水器在自身重力G潛、浮力F浮和吸力F的共同作用下處于平衡狀態。任意時刻潛水器底部與鐵板距離為l，考慮到“水深變化的影響忽略不計”，則根據平衡條件可以求得吸力為

F=F浮-G潛=ρ水gS1（H0-l）-G潛?④

之后以此規律加速下沉。因此，沉底（l=0）靜止時，潛水器與鐵板間的吸力為

F0=ρ水gS1H0-G潛=20 N⑤

最后，代入公式求得壓強：

1.3? 模型簡化討論

題目中通過忽略水深變化來簡化模型的做法是否科學？下面分別分析考慮水深變化與忽略水深變化的模型，通過對比兩種模型中相關物理量的變化情況來討論模型簡化的嚴謹性，從中得到真實問題情境下物理模型科學簡化的條件。

1.3.1? 考慮水深變化的實際模型

由生活中的真實情境可知，潛水器完全浸入水之前，水面會隨著潛水器的下沉而上升，使得水深發生變化；完全浸入水之后，水深才保持不變。由式{1}可知漂浮時潛水器的下半部分恰好浸在水中。設勻速下沉階段潛水器浸水深度為x，如圖2所示，排開的水使得水面上升，則

H'=H0+S1（x-x0）/S2⑦

圖 2? 潛水器下沉過程水面變化示意圖

由勻速下沉過程分析得到的式{4}改寫為

F=ρ水gS1（H'-l）-G潛⑧

當潛水器完全浸入水中時，x=2x0，代入式{7}可知，潛水器下沉后水深共變化了

則水的實際深度為

H'=H0+ΔH=25.5 cm⑩

將其代入式{8}，并令l=0，可求得潛水器沉底靜止后的吸力為

F'0=ρ水gS1H'-G潛=20.5 N{11}

結合已計及水深變化得到的式{3}，這種情況下，鐵板上的壓強為

1.3.2 忽略水深變化的簡化模型

式{3}所得的潛水器沉底時水和潛水器的總重力等于初始狀態下的重力，即水的重力保持不變，說明此處已經是考慮水深變化的。如果忽略水深變化，即水深保持為常量H0=25 cm，那么潛水器下沉全過程中，容器內水的體積均為

V0=S2H0-S1d0=2.4×104 cm3{13}

其中d0為潛水器邊長，即d0=10 cm。因此，水的重力為

G'水=ρ水V0g=240 N{14}

那么，第（3）問所求的壓強應為

1.3.3 模型簡化的科學性分析

由以上分析可見，如果考慮水深變化，吸力的分析和計算比較困難。真題中指出“水深變化的影響忽略不計”，將水深視為常量，簡化了模型，一定程度上降低了科學推理的難度，符合“雙減”背景下的中考命題要求。但這簡化了的模型是否合理呢？從真實情境問題構建簡化的物理模型時，需要兼顧模型的科學性、嚴謹性。某個微小量忽略不計，不代表與該物理量相關的其他物理量也一定能夠忽略不計，因為當微小量A乘以一個較大的值，或除以較小的值后所得到的新物理量B，在所研究的問題中可能已不可視為微小量。

對于建模過程中，某物理量是否可以作為微小量的判定，可以借鑒于中學物理實驗中對于實驗誤差允許范圍的界定。一般情況下，當測量值相較于真實值的變化在5%的范圍內，則認定該測量值是較為準確[ 3 ]。由此可知，在研究的問題中，若某物理量相對于真值的偏差小于5%，則認定該物理量對問題的影響足夠小，可視其為微小量，其影響作為次要因素忽略不計，進而簡化模型。

下面研究真題中幾個與水深變化相關的物理量，即潛水器完全浸入后的水深H、容器內水的總重力G、潛水器沉底后的吸力F以及潛水器沉底后鐵板上的壓強p，通過對比它們在水深變化忽略前后的值來討論模型簡化是否合理。

由式{9}和式{10}可知，潛水器完全入水后導致的水深變化量？駐H遠小于實際水深，因此真題將？駐H視為微小量，忽略不計。以計及水深變化的實際模型中的值為標準值，簡化模型的水深的誤差僅為1.96%，如表1所示。由表1第4列可以發現，忽略與計及水深變化的兩種情況下，重力、吸力和壓強的差值均正比于水深變化？駐H，相較于各自的標準值，簡化值對應的百分誤差分別為2.04%、2.44%、2.03%，均小于5%，說明？駐G、？駐F和？駐p也都可以視為微小量。由此可知，在研究第（3）問所提及的問題中，水深變化的影響確實可以忽略不計。另外，題干還指出容器是“薄壁”的，即壁厚度d→0，則與其成正比的容器質量也可以是微小量，“不計容器的質量”也是成立的。因此，本試題簡化了的物理模型是科學的，命題是嚴謹的。

官方宣布的參考答案中，第（3）問所求的壓強等于式{4}所示的2700 Pa，那么，相應的百分誤差僅0.18%，更接近于真實問題情境。但“水深變化的影響忽略不計”這一條件，是僅適用于吸力F的計算？還是也適用其他物理量的計算？題干中的表述，可能讓審題人產生誤會，命制題目時應嚴謹，以防出現理解上的分歧，比如可以直接指明“計算吸力時不計水深變化的影響”。

2 引發類似問題的思考

中考試題對初中教學具有較強的導向作用。以上關于真題的討論與分析引發了教學中物理模型的建構及簡化處理的思考，比如初中物理中重力與質量的比值g。

初中物理教學中，一般習以為常地將g認定為恒定值9.8 m/s2，更多時候粗略取值為10 m/s2。實際上，g認定為常數的過程包含模型簡化的思路，教師可以適當地拓展，將萬有引力定律超前給出，然后取一些特殊位置上的g值加以對比，突出微小量的判斷依據，初步培養學生建構物理模型的意識和能力，同時認識到“適用條件或范圍”的重要性。

若在地球之外，比如中國空間站，相對于地球海平面處的？駐g還是可忽略的微小量嗎？有關研究表明空間站是一個微重力環境[ 4 ]，空間站內的重力加速度g3=9.8×10-10 m/s2，約為g1的百億分之一，趨近于零，相對于海平面重力加速度的變化？駐g≈g1，變化非常顯著，相對誤差遠遠大于5%，說明？駐g不再是微小量。課堂上，以天宮課堂第一課中分別出現在北京和空間站的乒乓球的重力差值為例（如圖3所示），讓學生認識到同一個物理量在不同問題中的影響程度的變化，深刻理解微小量的意義。

3 總結

本文以2022年福建中考物理的壓軸計算題為研究對象，定量分析水深變化及相關物理量對所研究問題的影響。因簡化值相對于真值的偏差均小于5%，認定水深變化對所研究問題的影響足夠小，可視為微小量，在從真實情境構建物理模型的過程中，屬于次要因素，可忽略不計，從而肯定了該模型簡化的科學性和命題的嚴謹性。在此基礎上，探討了如何通過重力與質量的比值的教學過程，引導學生深刻認識“適用條件或范圍”，學會具體問題具體分析，訓練學生的模型建構和科學推理等科學思維能力。同時，試題模型的科學簡化研究，有利于提高課后作業設計的質量，有效避免題海戰術，符合“雙減”背景下“減負提效”的要求。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 義務教育物理課程標準（2022年版）[S]. 北京： 人民教育出版社， 2022.

［2］ 李忠相.例談日常生活情境類試題的命制要領[J].物理教學，2023，45（2）： 61-63，48.

［3］ 蔡鉗. 由“鐵球下落”引發的思考[J]. 物理教師， 2022， 43（7）： 61-63.

［4］ 黃玉梅. 談太空授課中的幾個問題[J]. 物理教學， 2019， 41（4）： 78-80.