意料之外，情理之中

林生

2023年高考是真正地落實(shí)新教材的新高考的第一年，試題以新教材為藍(lán)本，樸實(shí)無華但試題很好地落實(shí)了“立德樹人、服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，突出素養(yǎng)和能力考查，甄別思維品質(zhì)、展現(xiàn)思維過程.2023年高考卷的很多題目都突出基礎(chǔ)的考查，但彰顯綜合性要求，既體現(xiàn)在知識交匯點(diǎn)處命題的創(chuàng)新原則，又格調(diào)清新意境幽，更為重要的是有些題目看起來似曾相識，但有別于“舊題”，很好實(shí)現(xiàn)了“反套路、反題海戰(zhàn)術(shù)、反機(jī)械刷題”等功能，更好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題就是這樣的題目：該試題一改以往考橢圓和雙曲線（2018年到至今，大題考查拋物線的僅在2019年出現(xiàn)）的習(xí)慣，考查的是拋物線，并且是非標(biāo)準(zhǔn)的，這是很多老師和考生“出乎意料”的，但該試題考查的雖然拋物線非標(biāo)準(zhǔn)的形式，以平移后也是標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，這樣的題目作為考查背景，是比較公平的.在第一問考查拋物線定義，第二問考查弦長公式，涉及最值的運(yùn)算也是學(xué)生最熟悉的，很好地體現(xiàn)了在情景中“反套路”的格調(diào)，這也是高考的要求所在，也屬情理之中.不過這也給我們以后的高考備考做了提醒：以后高考要以高考評價(jià)體系為標(biāo)準(zhǔn)，以新教材為藍(lán)本，要注重知識的傳授，要讓學(xué)生掌握的知識必須掌握，不能像以前備考“厚此薄彼”，忽略某種曲線的相關(guān)知識.同時(shí)我們在備考過程中要守住“本手”（要從基本的法則、定義、定理出發(fā)，明確其道理，知道從哪里來到哪里去；熟練其方法，望文生義，望形得法），要對“本手”理解深刻，這樣我們在解題中方可出現(xiàn)“妙手”（四基的熟能生巧、返璞歸真、靈活運(yùn)用等），否則，難免出現(xiàn)解題的“俗手”（機(jī)械解題、缺乏對全局整體的分析）.因此我們要在解題中守住“本手”，追求“妙手”，拒絕“俗手”，那就要在備考過程中對高考試題研究就要進(jìn)行深度分析：守住“本手”——尋求解題的思路和突破口，找出最優(yōu)解題思路和方法，從而得到這類題的常規(guī)解法，接著找出其共性的知識和通性通法，對其通法深度挖掘和提煉反思；還要尋求其知識的“源”與“流”，對此基本類型進(jìn)行變式拓展推廣、舉一反三，開啟思維，縱橫聯(lián)系、觸類旁通，探窺其本質(zhì)，讓考生從題中悟“道”，達(dá)到“一覽眾山小”的境界，從而促使解題達(dá)到“妙手”.最終實(shí)現(xiàn)2024年高考解析幾何的高效備考.下面筆者以2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題這道題為載體，通過探求其解法、分析這種類型的實(shí)質(zhì)，打開這類問題的“思維重門”，對此種圓錐曲線的類型進(jìn)行推廣拓展，同時(shí)還對圓錐曲線中的常規(guī)題型及常用到的一些解題方法和技巧來進(jìn)行舉例分析、變式和總結(jié)歸納，讓考生掌握這一類題型的基本方法和技巧，實(shí)現(xiàn)高效備考，探究出2024年高考圓錐曲線的高效備考的一些建議和策略．

一、平中見生，似曾相識燕歸來——真題回放

（2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到（0，?）的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

【點(diǎn)評】本題試題簡約而不簡單，深刻而不深?yuàn)W.第（1）問考查求軌跡的方程，雖然方程為非標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，但可采取直接求解或用拋物線的定義來解題，這樣設(shè)置有利于考生思維的展開；第（2）問一改平時(shí)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方法，在這里設(shè)置了一個(gè)“門檻”——間接考查直線與拋物線的聯(lián)立得到的弦長，這里涉及到了多元變量，同時(shí)還綜合了代數(shù)恒等變形、不等式、利用導(dǎo)數(shù)求最值等數(shù)學(xué)方法，里面還蘊(yùn)含了絕對值不等式等處理方法，本質(zhì)屬于求最值問題，但卻將本問設(shè)置成與解析幾何融合的問題——矩形ABCD的周長問題.以“生面”的形式展示出來，加上該問綜合性運(yùn)算量大，放縮的技巧性也強(qiáng)，因此很多考生都會(huì)“望而生畏”，但只要認(rèn)真思考該類問題，還是可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的“面孔”——最值問題，利用直線與拋物線相交，轉(zhuǎn)化為弦長問題，再利用扎實(shí)的運(yùn)算功底，所有問題便可迎難而解．

二、多點(diǎn)開花，條條大道通羅馬——解法探幽

三、操千曲而后曉聲，觀千劍后識器——?jiǎng)e有洞天

四、居高臨下覓考道，咬定“本手”立根中

通過上面的深度分析與拓展，今年的解析幾何大題高考題重視基礎(chǔ)，突出對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查.綜合整個(gè)過程來看，本題的出現(xiàn)既在意料之外（一改以往命題套路和風(fēng)格），但又在情理之中（反套路、反猜題），本題的難點(diǎn)不在于運(yùn)算技巧和方法，而在于如何尋找合適的運(yùn)算思路與方法，在于克服心理上的怕“繁”.這也為我們以后的備考指明了方向：不單要在加強(qiáng)解析幾何運(yùn)算思路與方法的尋求，運(yùn)算的算理和算法以及運(yùn)算思維的自然與合理，同時(shí)還要注重解析幾何的通性通法，要掌握解析幾何典型題的拓展與延伸，要做到筑“本手”（從基本的法則、定義、定理出發(fā)，明確其道理，知道從哪里來到哪里去；熟練其方法，望文生義，望形得法）之基，行“妙手”（對知識理解深刻并達(dá)到靈活運(yùn)用）之遠(yuǎn)，脫“俗手”（沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)，不懂知識的來龍去脈和發(fā)現(xiàn)、生成、生長）之庸，咬住“本手”不放，把握住備考的根，我們才可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實(shí)現(xiàn)高考高效備考時(shí)要做好以下方面：

1.切實(shí)回歸概念和基礎(chǔ)是“正道”，注重通性通法為“上上策”

通過今年的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識，注重考查通性通法，同時(shí)“反套路、反猜題、反題海戰(zhàn)術(shù)”，因此在以后的備考中一定要重視基礎(chǔ)知識，要注重通性通法，要注重回歸教材，對課本中的概念、定義、定理、公式必須記熟、理解；重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導(dǎo)，要理清知識發(fā)生的本原（如公式的推導(dǎo)過程等），還要注意挖掘教材中的素材，通過對教材的題目引導(dǎo)考生研究、進(jìn)行總結(jié)歸納，比如對于圓錐曲線定義、合理設(shè)值、設(shè)而不求、整體代換、消元策略等教材中的基本知識和方法要讓學(xué)生知其然，還要其所以然.另外復(fù)習(xí)時(shí)考生還要深入研究教材.以教材中的例、習(xí)題素材適當(dāng)變形，甚至推導(dǎo)衍生得出圓錐曲線一些二級結(jié)論（但不能強(qiáng)制學(xué)生記憶），在這個(gè)過程中不追求數(shù)學(xué)解題中的所謂“技巧”，不搞“偏題”、“怪題”，而是將最基本的代數(shù)數(shù)學(xué)方法和幾何方法融合還原，在整個(gè)過程中側(cè)重方法的選取和思維的訓(xùn)練提升和鞏固，突出思維能力和運(yùn)算能力，及時(shí)引申拓展、培養(yǎng)總結(jié)歸納能力，這樣考生在高考中才可以達(dá)到融會(huì)貫通、高屋建瓴的境界．

2.強(qiáng)化解析幾何認(rèn)知基礎(chǔ)，突出數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，注重算理和算法

對于解析幾何的大題，有很多種題型，選擇入手的解題方法或許也有很多種，但是在復(fù)習(xí)備考中要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)語言把幾何條件和幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件和代數(shù)問題，能根據(jù)具體問題的情景學(xué)會(huì)甄別方法尋求和選取的“優(yōu)劣”，能自覺按照數(shù)學(xué)運(yùn)算的步驟（理解運(yùn)算對象、明確運(yùn)算目標(biāo)、分析運(yùn)算條件、探尋運(yùn)算思路、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果），真正提升靈活運(yùn)用解題的能力.因此，我們在備考時(shí)，要抓住核心問題——運(yùn)算能力的提升，要時(shí)刻注重強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，一步一個(gè)腳印，在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強(qiáng)化，長期不懈地加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練，只有這樣，考生才可以提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不再“畏懼”解析幾何的運(yùn)算，從而達(dá)到高效備考．

3.優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的心理和習(xí)慣，形成良好的應(yīng)考素質(zhì)

對于解析幾何的題目，大部分考生存在運(yùn)算怕難、怕繁的心理，因此我們在復(fù)習(xí)備考過程中首先要克服這種心理，并且針對粗心大意、經(jīng)常犯一些低級錯(cuò)誤等問題進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的訓(xùn)練，不斷培養(yǎng)良好的運(yùn)算習(xí)慣，一步一步地實(shí)現(xiàn)有條理、有程序地解決圓錐曲線問題，最終幫助形成良好的應(yīng)考素質(zhì)．

總之，我們在復(fù)習(xí)備考時(shí)要注意尋找解析幾何的運(yùn)算思維，在平時(shí)備考中要在運(yùn)算對象、運(yùn)算目標(biāo)上多分析，要學(xué)會(huì)對解題思路與方法的反思，有意識地積累解題經(jīng)驗(yàn)，不能僅僅停留在解該道題，還要在解題后多點(diǎn)總結(jié)歸納：該題的解法有“優(yōu)化”嗎？這個(gè)問題能夠一般推廣嗎？改變一下條件如何？改變結(jié)論又如何？……要知其所以然，何由以知其所以然.要學(xué)會(huì)在解題中鞏固對知識的理解，積累解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化運(yùn)算能力，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識，培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)高效備考，最終笑傲2024年高考．

【本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計(jì)劃項(xiàng)目“深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)高效課堂的行動(dòng)研究”研究成果】

責(zé)任編輯??徐國堅(jiān)