基于控制障礙函數的飛行器避障與制導控制

杜宏寶, 王正杰, 唐禮喜, 張小寧

(北京理工大學 機電學院, 北京 100081)

0 引言

現代戰爭的形式更加復雜,尤其體現在城市戰中,充滿了建筑、車輛和行人等[1-3]。在俄烏沖突的城市攻防戰中,巡飛彈等制導彈藥被大量使用,例如“見證者-136”和“彈簧刀”系列都起到了重要作用,但一方面由于復雜的城市環境難以實施有效打擊,另一方面打擊過程難免損毀重要文物或者傷及無辜。由此可見,戰場環境的復雜化和動態化對未來飛行器制導技術的發展提出了新的挑戰與要求,發展能夠避障的制導技術具有重要意義。為了提高低馬赫制導武器在障礙物環境的適用性,有必要研究飛行器的避障與制導問題,以避開靜態及動態物體的同時能夠擊中目標,實現繞射打擊。

關于避障與制導問題,目前國內外的相關研究基于不同理論,如基于流函數法[4-7]、基于路徑搜索方法[8-15]、基于人工勢場法[16-18]、基于最優控制理論[19-20]以及基于控制障礙函數(CBF)的方法[21-24]等。文獻[6]基于流函數的思想發展了擴展動態系統調制法,能夠實時避開運動障礙物,但由于是對障礙物附近的速度場調制求解,具有一定的短視性,且難以進一步推廣到具有高維動力學約束的情形。文獻[9]研究了針對靜態障礙物的避障制導問題,基于改進快速擴展隨機樹(RRT*)路徑搜索方法,在實現躲避障礙物的同時打擊目標,先搜索路徑再作軌跡跟蹤。與之類似的還有文獻[10-15],均是基于路徑搜索類避障方法,通常需要機載計算機規劃出一條可行軌跡。這類方法由于計算復雜度高、實時性差,不適用于躲避運動障礙物的情形。文獻[16] 基于人工勢場法,通過構建關于空間位置及相對速度的勢函數,引入引力和斥力的虛擬力概念來驅動運動體避開障礙物到達目標,但存在較大的輸入震蕩,且這類方法存在局部最小問題,需要通過人工干預攝動地解決;或需要對全局勢場進行優化設計,通常不具備實時性[17-18]。文獻[20]從彈障與彈目運動學模型出發,基于最優控制理論推導出避障制導律,具有很好的實時性。文獻[21]基于CBF實現了無人艇的避障,解決了CBF在高階系統設計困難的問題[22]。文獻[20-21]的不足之處是只處理了靜態障礙物,未考慮運動障礙物情形。CBF具有良好的拓展空間,文獻[22]綜述了近年來關于CBF的理論發展與技術應用。

綜上所述,從現有研究文獻可以看出,一類方法采用軌跡規劃實現運動體的避障[8-15,23],由于實時性差,不適用于飛行器在動態障礙物環境的避障制導問題;另一類方法屬于局部反應式的避障方法[4-6,16-21],通常是在障礙物附近作大過載機動動作避開障礙物,具有短視的缺點,因此全局性差,或沒有解決動態障礙物和運動目標情況[25-30]。

本文針對運動障礙物及機動目標情形飛行器的避障制導問題,旨在發展一種具有實時性、普適性與全局性的控制方法。本文的創新點概括如下:

1)提出的控制方法同時實現了針對運動障礙物及機動目標情形的避障與制導,以飛行器與目標及障礙物的相對運動關系作為系統狀態進行反饋,研究一種控制律來節省計算資源,提高了避障制導的實時性。

2)提出的避障制導控制方法在飛行器與障礙物、飛行器與目標的相對運動關系基礎上,采用速度障礙法構建有效的CBF,并結合現有的比例制導律[31-32]設計了避障制導律。由飛行器與障礙的相對運動關系構建二次優化約束,避免了CBF在高階系統的設計困難;同時可以與其他成熟制導律結合,從而實現動態和靜態避障,具有普適性。

3)提出的避障制導控制方法以飛行器與障礙物的相對速度作為狀態進行反饋,從而對飛行器與障礙物的相對位置具有預判能力,避免了臨近障礙物時飛行器突然執行避障動作、軌跡突變的情形,飛行器飽和過載占比小,彈道軌跡平滑,具有良好的全局性。

1 飛行器-障礙物與飛行器-目標運動學模型

1.1 飛行器-障礙物運動學模型

圖1所示為飛行器與障礙物的相對運動關系。圖1中,OXY為慣性坐標系,M為飛行器,Obs為障礙物,d為彈障距離,v和a分別表示飛行器速度與加速度,vo表示障礙物速度,θ表示彈障視線角,σ和σo分別表示飛行器彈道角與障礙物的運動方向。由圖1可知,彈障間距離變化率與彈障視線角變化率滿足式(1)和式(2)關系。避障過程中通過改變飛行器彈道角方向,使得彈障間距大于安全距離,實現避障。

圖1 飛行器與障礙物相對運動關系

(1)

(2)

1.2 飛行器-目標運動學模型

如圖2所示,T為目標,r為彈目距離,vt表示目標速度,σt表示目標運動的方向角,q表示彈目視線角。制導的過程即通過改變飛行器法向過載來保證飛行器能夠擊中目標。

圖2 飛行器與目標相對運動關系

由圖2可知,飛行器與目標的相對運動關系滿足式(3)～式(5):

(3)

(4)

(5)

式中:f為氣動擾動。

為了便于加入避障約束,將式(3)～式(5)表示成仿射系統形式如式(6),f暫且忽略不考慮。其中,系統狀態變量為x=[r,q,σ]T,飛行器法向過載a為制導控制輸入。

(6)

2 避障與制導方法研究

2.1 控制障礙函數

CBF是類似于控制Lyapunov函數(CLF)的一類方法,通過求解控制律來改變系統的軌跡,使得系統狀態避開空間中的某個區域或者趨近于一個平衡狀態[22,24]。考慮一般的非線性系統仿射形式如式(7),x∈X為系統狀態變量,X為系統狀態空間,u∈U為系統的控制輸入,U為系統輸入空間。系統能否安全地運行,由能否構造一個可行的系統輸入空間、使得系統狀態軌跡在安全狀態空間內所決定。

(7)

式中:f(x)為表示系統自然狀態的非線性函數;g(x)表示與控制輸入相關的非線性函數。

CBF方法與CLF類似,由控制系統的狀態變量所構建,以實現系統狀態運行在安全的狀態空間內。在CLF中,V(x):D?Rn→R(R為實數空間,n為系統狀態空間維度)是Lyapunov函數,如果存在控制輸入u=k(x)滿足式(8),則可以保證系統穩定性并且指數收斂于某一狀態。

(8)

與CLF不同,CBF的設計是為了找到控制輸入,能夠使系統狀態保持在安全不變集合內。控制障礙函數B(x)的定義通常滿足式(9)～式(12):

B(x):D?Rn→R

(9)

C={x∈D?Rn:B(x)≥0}

(10)

?C={x∈D?Rn:B(x)=0}

(11)

IntC={x∈D?Rn:B(x)>0}

(12)

式中:D表示控制障礙函數的定義域;C表示安全狀態空間;?C表示安全狀態空間的邊界;IntC表示空間內部。

系統狀態變量保持在C內即保證了系統的安全。為了使系統狀態在安全可行集內,系統控制輸入u=k(x)需要滿足式(13)和式(14):

(13)

(14)

式中:α表示K類函數;Lf、Lg分別為李導數算子關于f(x)和g(x)的表示。

CBF的應用通常是與標稱控制器構建二次優化問題,既保證系統穩定的同時又保證控制系統安全運行。式(15)即為有約束二次優化問題,un表示標稱控制輸入,H為正定矩陣。但由于系統的相對度大于1,即系統輸出與控制輸入間的最小積分器個數大于1,式(14)中LgB(x)恒為0,B(x)是無效的控制障礙函數,因此構建適用于制導控制系統的控制障礙函數具有重要意義。

(15)

2.2 避障制導律

(16)

式中:ro為安全距離。

為構建有效的CBF,引入速度障礙法[25-28],使得CBF中包含彈障速度信息。如圖3所示,灰色陰影區域為速度障礙空間,速度障礙法的核心概念是運動體與障礙物的相對速度矢量不落入速度障礙空間。

圖3 速度障礙法示意圖

因此,只需保證彈障相對速度矢量不落入潛在的碰撞空間內,即在未來時刻不會碰到障礙物。式(17)是本文構建的有效控制障礙函數,

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

將式(4)、式(18)～式(21)代入式(17),可以得到式(22),對式(22)求李導數,由于LfB(x)=0,代入式(5)可得到式(23)。

(22)

(23)

式(22)和式(23)中的彈障距離d可通過巡飛彈激光測距儀獲取[33];彈道傾角、障礙物速度及方向可通過巡飛彈自身定位及探測的環境信息狀態估計得到。本文應用工程上成熟的比例制導律,如式(24)所示:

(24)

結合比例制導律,由式(22)～式(24)構建二次優化問題,如式(25):

(25)

式中:A為飛行器可行過載集,優化解即在A中求解最優避障制導律;β為安全系數。

式(25)的二次優化問題具有明確的物理意義,表示滿足約束的區間內,與比例制導律取值最接近的法向過載。在式(6)系統中LfB(x)=0,由優化約束構成的區間最終可表示為LgB(x)a≥-βB(x)。利用KKT條件,當約束條件起作用時,a*=asafe表示為式(26),因此其閉式解較容易得到,式(27)即為最終避障制導律形式,避障制導律由比例制導項與避障項組成。通過引入速度障礙法的相對速度約束構造控制障礙函數,可以很好地解決原CBF的局限性[22]。

(26)

(27)

圖4所示為本文飛行器避障制導律的流程框圖,通過傳感器獲取障礙物與目標的位置與速度信息,解算出與飛行器的相對運動信息作為避障制導律的必要信息。通過構造以比例制導律為標稱控制輸入的二次優化問題,以基于CBF的不等式為約束,求取使得飛行器能夠避障且不偏離目標的橫向過載。自動駕駛儀根據所得橫向過載指令發送給飛行器,以實現位置的控制。

圖4 飛行器避障制導控制流程

避障制導律的穩定性分析可由避障階段與制導階段來分析,即避障制導律中比例制導項與避障項,采用Lyapunov直接法分析,構造Lyapunov函數如式(28):

(28)

(29)

將式(3)、式(4)兩式求導并代入式(29),可得到式(30):

(30)

(31)

比例制導項穩定條件是N′>2,考慮式(27)表示的避障制導律,避障項導致局部不穩定,在制導過程的全局穩定性取決于比例制導項。因此全局穩定的條件是比例制導律基礎上滿足平衡點不在障礙空間內,即制導結束時刻目標不在障礙空間內部。

3 數值仿真與結果分析

為驗證本文避障制導律的性能,針對不同工況進行數值仿真分析。首先比較比例制導律與避障制導律,驗證避障制導律的有效性;其次模擬避障制導律在障礙物尺度不同、障礙物速度不同以及目標速度不同的情況下,分析避障制導律的運動特性與動力特性,總結軌跡與過載變化規律及適用范圍。此外,考慮到避障制導律在工程中的諸多擾動因素,比較不同β值的彈道軌跡特點,可通過調節β以適應實際應用。最后預設飛行器最大可行過載為9g,與文獻[6]和文獻[20]中的避障制導律進行性能比較。

3.1 不同條件避障制導仿真

為了驗證本文提出避障制導律的有效性,對不同工況進行數值仿真分析。仿真條件的選擇是考慮到障礙物對制導過程確實有影響來設計的,障礙物速度低于10 m/s時,飛行器很容易避開障礙物;障礙物速度大于50 m/s時,則對飛行器的影響時間很短,彈道軌跡幾乎是比例制導律的軌跡。目標速度選擇在130 m/s附近時,障礙物會對飛行器制導有影響。因此仿真基本參數選定如表1所示,飛行器速度是定值,目標速度與障礙物速度在一個范圍變動,目標機動過載為1g,比例制導律的比例導引系數N′=5。圖5為無避障能力的比例制導律仿真結果,障礙物由左向右以20 m/s的速度運動,目標以130 m/s的速度勻速向右偏轉。虛線段為預期飛行器與障礙物的軌跡,最終飛行器在打擊目標過程中撞到障礙物,打擊目標任務失敗。

表1 避障制導律仿真參數

圖5 比例制導律的彈道軌跡

圖6(a)所示為本文提出的避障制導律在障礙物尺度不同的情形下的彈道軌跡對比,仿真參數與圖5相同,對比發現避障制導律的有效性。從圖6(a) 中可見,隨著障礙物尺度的增大,避障制導軌跡也與預想的一樣需要繞更大的彎路,整個制導任務時間增加,更早地執行避障機動。圖6(b)所示為障礙物不同運動速度下的彈道軌跡對照,障礙物半徑為 40 m,障礙物速度選取10～50 m/s之間的5種工況,障礙物依然從右向左運動。為便于展示區分障礙物的運動軌跡不同,賦予障礙物0.5g的順時針機動。從圖6中可以看出,避障制導律的軌跡不隨障礙物速度增大而繞遠,當障礙物速度達到30 m/s時,飛行器從障礙物后方經過,制導時間相比10 m/s和 20 m/s 更短。由于速度更快,相應的障礙物對飛行器的影響時間更短;障礙物速度在40 m/s和 50 m/s 時,飛行器的軌跡更短,并且幾乎重合。

圖6 避障制導律的不同工況下彈道軌跡對比

圖6(c)所示為目標運動速度不同的避障制導軌跡,障礙物半徑為40 m。從圖6(c)中可見:目標速度較小時彈目視線之間不受障礙物影響,如目標運動速度120 m/s時,飛行器從障礙物后方經過;當目標運動在130 m/s時,障礙物的影響導致彈道軌跡較彎曲;當目標運動速度增大到140 m/s時,彈目視線角的增大使得障礙物對飛行器影響較小,因此彈道更直。綜合上述仿真與分析可知,飛行器根據障礙物運動方向實時的執行機動動作,能夠自主抉擇從障礙物的前方或后方經過,由此可知本文提出的避障制導律具有良好的實時性與全局性。

由于飛行器在實際飛行中受氣動擾動等因素,考慮式(5)的擾動項f為小于1g/v的隨機擾動,可通過調節安全系數實現避障過程的抗擾能力。圖7所示為不同安全系數的彈道軌跡對比,從中可見β越大、飛行器避障過程與障礙物距離越遠,反之飛行器距離障礙物越近。通過改變β來改變式(25)所示的優化約束方程,增大β,可以對障礙空間進行膨脹,保證避障過程的安全性。

圖7 不同β值的彈道軌跡

3.2 過載分析

在避障制導律的彈道軌跡特性基礎上,進一步研究其過載特性。圖8(a)、圖8(b)所示分別為不同障礙物尺度與障礙物速度下的飛行器過載曲線。由圖8(a)所示一簇曲線能夠很清楚地看出避障制導律的機動特性,其中比例制導律與避障制導律的過載曲線在完成避障任務時匯于一條曲線,此時避障過載的分量為0g,僅需要執行制導任務。由于不執行避障控制,比例制導律在初始時刻的過載為0g; 避障制導律初始過載大小依據障礙物的初始位置與大小決定。障礙物半徑為20 m和40 m時,初始機動過載分別為1.3g和5.8g;障礙物尺度增大到60 m后,初始即達到飽和機動過載。隨后隨著障礙物尺度增大,飛行器需要持續更長時間的飽和過載來避開障礙物。

圖8 飛行器過載在不同工況下的法向過載對比

在圖8(b)中,隨著障礙物速度的變化,飛行器過載曲線具有較大的差異。其中:飛行器速度在10 m/s 和20 m/s時,過載曲線的變化趨勢相近,均先減后增,與圖8(a)所示更接近;障礙物速度30 m/s 時過載曲線先增后減,對應3.1節圖6(b)的軌跡可以發現,飛行器從障礙物后方繞過;障礙物速度為40 m/s和50 m/s時,意味著障礙物對飛行器影響的時間窗口更小,因此最大過載不超過0.2g,障礙物速度更大時飛行器過載曲線幾乎重合。圖8(c) 是對應圖6(c)彈道軌跡的飛行器過載曲線,從中可見當目標速度為120 m/s和140 m/s 時,彈目視線角分別從障礙物后方與前方經過,彈道弧度小,受障礙物影響小;目標速度為折中的130 m/s時,障礙物對制導過程影響較大,需要飛行器更大的初始過載及過載變化,打擊目標的同時避開障礙物。

綜合圖8分析結果可以看出,不同工況下的避障制導律均是在比例制導過載曲線的基礎上做出的改變,本文提出的避障制導律由比例制導律構建,但不局限于比例制導律,可結合其他制導律實現避障,因此具有普適性。

為探究避障制導律的適用范圍,大量仿真發現飛行器避障能力與飛行器機動能力密切相關,隨著可用橫向過載增大,飛行器能夠避開移動速度更快、尺度更大的障礙物。圖9所示為飛行器速度及橫向過載與障礙物速度關系。圖9的仿真條件為:障礙物半徑為60 m,初始彈障距離大于500 m,且必須保持勻速直線運動,目標速度為飛行器速度的35%。通過改變飛行器橫向過載,大量仿真發現隨著飛行器橫向過載增大,能避開障礙物的速度范圍增大,橫向過載9g時最高可避開約為飛行器速度175%的運動障礙物。例如圖(9)中飛行器以400 m/s且橫向過載9g時避開障礙物最大速度為700 m/s;當增大障礙物尺度時需要更大的橫向過載;初始彈障距離越大,即保證足夠的時間提前動作避開障礙物,因此能避開障礙物的尺度更大,速度更高。

圖9 飛行器速度及橫向過載與障礙物速度關系

3.3 不同避障制導律對比

為了進一步探究本文避障制導律的性能,驗證其特性優劣,與文獻[6]和文獻[20]提出的避障制導律進行仿真對比。文獻[6]提出的避障制導律是比例制導項與避障項的加權之和,文獻[20]提出的避障制導律針對靜態障礙物設計。

圖10為本文與文獻[6]和文獻[20]的避障制導律在運動學與動力學層面的比較,具體即彈道軌跡、彈障距離和飛行器過載的比較。圖10(a)為本文及文獻[6]的避障制導律對障礙物速度20 m/s 工況的仿真和文獻[20]靜止障礙物的彈道軌跡,圖10(b) 中的彈障距離分別對應圖10(a)中的彈道軌跡,發現都能夠成功打擊目標,同時完成對移動障礙物的躲避,但與文獻[6]的避障制導律相比,本文制導律的彈道軌跡更加平滑,全局性更好;文獻[20] 的避障制導律只能處理靜止障礙物的情形,障礙物位于初始位置,用綠色實心三角形標記,對于運動障礙物的情況飛行器則來不及避碰。

圖10 本文與文獻[6]和文獻[20]避障制導律對比

圖10(c)為3種避障制導律的過載對比,避障過程采取的機動動作趨勢基本一致但幅度不同,在繞過障礙物之后由于是比例制導律起主導作用,變化趨勢更加相近。此外可看出本文所提避障制導律飽和過載持續時間短、比例小,過載曲線更加平緩,不容易出現過載的陡增,因此不會有短視的缺點。而且從方法可拓展性來看,與文獻[6]避障制導律相比更易推廣到高階動力學約束,可實現整個狀態空間上的廣義避障;文獻[20]所提避障制導律局限于處理靜止及障礙物速度相對飛行器可忽略的低速情形。

最終仿真的性能比較如表2所示,從中可以看出雖然本文制導律與文獻[6]避障制導律相比都能夠避開障礙并擊中目標,但本文制導律的全局性更好,具體體現在過載較小,彈道軌跡平緩,因此命中目標時間更短;文獻[20]則不具備運動障礙物的躲避能力。

表2 不同避障制導律仿真性能對比

4 結論

本文基于CBF方法,結合速度障礙法對傳統的比例制導律加以改進,構建出關于避障制導的二次優化問題,得到計算量小、實時性好的解析形式的避障制導律。隨后對所提出的避障制導律進行了數值仿真驗證。得到如下主要結論:

1)在小機動運動障礙物環境中,本文提出的避障制導律解決了飛行器制導中與移動障礙物發生碰撞的問題,能夠同時達成躲避障礙物與打擊目標的目的。

2)從全局彈道軌跡及過載特性曲線可以看出,飛行器根據障礙運動情況實時調整法向過載,因此本文提出的避障制導律具有實時性與全局性,且在無障礙物威脅時退化為比例制導律。

3)與已有避障制導律相比,本文提出的避障制導律確保飛行器能避開運動障礙物,具有更小的飽和過載占比,且彈道曲線更加平緩。