電路等效變換的性質及其應用

田社平 張 峰

(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院, 上海 200240)

電路的等效變換和等效電路是電路理論中重要的概念。所謂等效電路,是指如果端子一一對應的n端電路N1和N2具有相同的VCR,即相同的兩組端電壓分別代入兩個電路的端口VCR會得出相同的兩組端電流,或者將相同的兩組端電流代入兩個電路的端口VCR會得出相同的兩組端電壓,則兩者互稱等效電路。從一個電路變換為與之等效的另外一個電路的過程則稱為等效變換。利用等效變換和等效電路的概念,可以極大地簡化電路的分析。在電路理論教學中,為講授、證明諸如電阻的串聯和并聯、T形電路和Π形電路、戴維南電路和諾頓電路等之間的等效關系,現行教材大多基于等效電路的定義,亦即,如果所求得的兩個電路的端口VCR相同,則這兩個電路就是等效的[1-4]。顯然,這樣的講授、證明方法無疑是正確的、合理的,也是基本的。這只是問題的一個方面,采用定義來證明電路的等效性有時顯得較為繁復,證明過程中涉及較為復雜的運算,從而增加了學生理解的負擔。因此,有必要探討更為簡潔、容易理解的證明兩個電路等效的講授方法。

任何一個對象,賦予其定義后,它一定具有相應的性質。基于此,本文從等效電路的定義出發,總結出等效電路所具有的性質,并利用該性質證明電路的等效性,或者進行電路的分析,結果發現,證明或分析的過程得到了簡化。

1 電路等效變換的性質

關于等效電路,我們可以得到如下兩個性質:

【性質1】如果兩個電路等效,在兩個電路的某些端鈕(或端口)連接相同的任意電路,則得到的兩個新電路也是相互等效的。

這里,“等效”的含義仍然是針對電路端口而言的。

【性質2】對兩個電路,如果在兩個電路的某些端鈕(或端口)連接相同的任意電路,所得到的兩個新電路是相互等效的,則這兩個電路相互等效。

上述性質是兩個互逆的命題。性質1是顯而易見的。這是因為,如果兩個電路等效,則其端口VCR是相同的;在這兩個電路的某些端鈕(或端口)連接相同的任意電路,所增加的端口約束方程也是相同的(因為連接的電路是相同的),這樣就得到了兩組完全相同的方程組,其解也必然相同。注意,這里默認兩組方程都只有唯一解。

性質2的證明可采用反證法。假設這兩個電路不是等效的,則兩個電路的端口VCR方程不是完全相同的。由于在兩個電路的某些端鈕(或端口)連接的是相同的任意電路,它們的端口VCR又是相同的,因此就得到了兩組不完全相同的方程組。在這種情況下,總歸可以找到這樣的外接電路(因為是任意電路,所以外接電路是可以選擇的),使得兩組不完全相同的方程組的解不同,這與性質2所給條件相矛盾。因此性質2是成立的。

上述兩個性質是等價的,它們在分析有關電路等效變換的問題中能得到很好的應用。

2 應用

【例1】戴維南電路和諾頓電路的等效變換。如圖1(a)、圖1(b)所示分別為戴維南電路和諾頓電路,其中的R為電阻,G為電導。在假設圖1兩個電路可以相互等效的前提下,為求出兩者等效變換的關系式,一般教材都通過列寫兩者的端口VCR方程,比較兩個方程的一致性得到結果。盡管其推導過程是比較簡單的,但是利用上述性質,同樣可以非常方便地得到相同的結論。

(a) 維南電路

(b)諾頓電路圖1 戴維南電路和諾頓電路的等效

圖1兩個電路都包含兩個元件參數,因此只須在兩個電路的端口接入兩種相同的電路即可。為分析方便,可選擇開路和短路這兩種電路分別接入。圖1兩個電路的端口開路時,其開路電壓相同,即得

uS=iS/G

(1)

圖1兩個電路的端口短路時,其短路電流相同,即得

uS/R=iS

(2)

整理式(1)、式(2),得到等效關系式

(3)

可以看出,上述推導過程非常簡單。

【例2】T形電路和Π形電路是可以相互等效的,其等效變換是電路理論教學中的重點,如果基于等效電路的定義推導其等效關系,則推導過程較為復雜,而利用等效變換的性質進行推導則非常簡潔。部分國內外教材就采用了基于上述性質的推導方法[5-7]。下面給出略異但推導過程更簡單的方法。

按照性質1,我們可以在T形電路和Π形電路某一端口外接合適的電路,而在另外的端口觀察其端口特性。

端鈕間(或端口)外接電路最簡單的情況就是開路和短路。將圖2中兩個電路的2端分別開路,則從1、3端看進去的等效電阻應相等,即

(a) T形電路

(b)Π形電路圖2 T形電路和Π形電路的等效

(4)

類似地,可以得到

(5)

(6)

式(4)～式(6)是關于R1、R2、R3的線性方程組,不難解得R1、R2、R3的表達式,從而得出Π形電路等效變換為T形電路的公式為

(7)

或

(8)

將圖2中兩個電路的1、3端分別短接,則從短接端、2端看進去的等效電導應相等,即

(9)

類似地,可以得到

(10)

(11)

同樣,式(9)～式(11)是關于G12、G23、G31的線性方程組,類似地,不難得出T形電路等效變換為Π形電路的公式為

(12)

或

(13)

由上述分析過程可以看出,整個推導過程并不復雜,而且方程求解僅涉及線性方程,也非常簡單。相比較而言,現行教材基于等效的定義,推導時須求出T形電路和Π形電路的端口VCR方程,而且在比較兩個VCR方程時還涉及矩陣的逆運算,其過程較為復雜。

【例3】如圖3(a)所示耦合電感為全耦合電感。如果圖3(b)電路與圖3(a)電路等效,那么參數Le、n應滿足什么關系?

(a) 全耦合電感

(b)等效電路圖3 全耦合電感等效電路

為便于比較,首先基于等效電路的定義來求解。圖3(a)電路的端口VCR滿足

(14)

為求圖3(b)電路的端口VCR,列寫圖3(b)電路輸入端口的KVL方程,得

(15)

(16)

又由理想變壓器特性可得

(17)

比較式(14)與式(16)、式(17),可得出參數Le、n應滿足的關系為

(18)

下面利用等效變換的性質來求解。按照性質1,我們可以在圖3兩個電路的對應端口外接合適的電路,而在另外對應的端口觀察端口特性。將圖3兩個電路的輸入、輸出端口開路,則從兩個電路的輸入端看進去的等效電感分別為L1、Le;從兩個電路的輸出端看進去的等效電感分別為L2、Le/n2。由于兩個電路等效,因此有

(19)

此即式(18)。整個推導過程顯得非常簡單。

值得注意的是,上述推導過程并沒有用到“全耦合”這一條件!這表明,兩個電路外接“非任意”的相同電路是等效的,僅僅是這兩個電路等效的必要條件,而非充分條件。但這并不妨礙等效變換性質的應用。一方面,題目所給條件說明只有圖3(a)電路是全耦合情況時才有可能與圖3(b)電路等效,亦即圖3兩個電路是可以相互等效的。另一方面,只有式(19)成立,圖3(b)電路才能與圖3(a)電路等效。從分析問題的角度,上述推導是合理的。

當然,如果選擇另外的外接電路,也可推出相同的結果。比如,將圖3兩個電路的輸出端口開路,則從兩個電路的輸入端看進去的等效電感分別為L1、Le;將圖3兩個電路的輸入端口外接電感L1,則從兩個電路的輸出端看進去的等效電感分別為L2/2、(L1//Le)/n2。由于兩個電路等效,因此有

(20)

整理上式,同樣得到式(18)。整個推導過程也不復雜。

【例4】耦合電感的T形去耦等效電路。如圖4(a)所示,當耦合電感互相聯結于一個公共端子時,可用三個相互間無互感的電感組成的T形電路等效,如圖4(b)所示。為推導兩個電路的元件參數間,可保持三端之一端為開路,比較另外兩端看進去的等效電感。圖4(a)電路從12端、23端、31端的等效電感分別為:L1+L2-2M、L2、L1;對圖4(b)電路,則分別為LA+LC、LB+LC、LA+LB。由此可得

(a) 耦合電感

(b)T形去耦等效電路圖4 耦合電感的T形去耦等效電路

(21)

由上式解得

(22)

可見,推導過程十分簡明。

利用等效變換的性質推導耦合電感的Π形去耦等效電路的關系式也是非常簡單的,不再贅述。

3 結語

本文討論了等效電路的性質及其應用,該性質非常直觀,也易于理解。所舉例子表明,利用該性質能夠極大簡化有關等效電路問題的分析。筆者曾嘗試利用上述性質講解電路等效變換的相關知識點,如T形電路和Π形電路的等效變換、耦合電感的去耦等效電路,取得了較好的效果。