一類無感蔡氏電路的綜合設計性實驗

包 涵 武花干 徐 權 張 希 陳 蓓 包伯成

(常州大學 微電子與控制工程學院, 常州 213164)

蔡氏電路(Chua′s circuit)是結構簡單的非線性電路,實驗制作簡單易實現,通過調節一個電阻值,便可從實驗電路中觀察到奇妙的混沌現象[1-2]。然而,蔡氏二極管(Chua′s diode)的等效實現與電感線圈的手工繞制是蔡氏電路物理制作的難點。

自蔡氏電路發明以來,蔡氏二極管的等效實現和蔡氏電路的無感化實現是人們主要關注的兩個方面[3-4]。經典蔡氏二極管具有三段分段線性函數形式,它是由兩級負阻抗變換器(Negative Impedance Converter, NIC)并聯連接實現的,已成為分立元器件實現的公認標準[5-6]。近年來,文獻[7]提出了由單級NIC等效實現的蔡氏二極管,并發現了簡化蔡氏電路的共存多吸引子現象;文獻[8]則提出了由三級NIC等效實現的蔡氏二極管,并報道了蔡氏電路的隱藏吸引子現象。然而,無感化實現的原因在于手工繞制電感線圈伴有寄生的串聯等效電阻[9],使得硬件體積龐大,魯棒性差。一種最為簡單的無感化實現方法是采用二階有源RC濾波器替換原有的二階LC振蕩器,可構建一類形式多樣的簡化蔡氏電路[10]。這類無感簡化蔡氏電路硬件價格低廉、易于物理制作,且適用于IC集成。

1 經典蔡氏電路

經典蔡氏電路是一個三階非線性電路,如圖1所示。可以分成三部分,11′端右邊電路是一個非線性電阻RN即蔡氏二極管,22′端左邊電路是由電容C2、電感L及其串聯等效電阻r構成的LC振蕩器,中間電路是由電阻R和電容C1構成的簡單電路。因此,從原理上講,蔡氏電路是由一階有源RC濾波器通過電阻R線性耦合二階LC振蕩器來實現的。

圖1 經典的三階蔡氏電路

蔡氏二極管是蔡氏電路能產生復雜混沌現象的重要元件,一般具有三段分段線性函數形式的非線性有源電阻性元件。對于圖1中11′端右邊電路,定義流過的電流為iN、兩端的電壓為uN,則蔡氏二極管的伏安關系(Voltage-Current Relation, VCR)可用數學表達式描述為

iN=f(uN)

=GbuN+0.5(Ga-Gb)[|uN+Bp|-|uN-Bp|]

(1)

因此,蔡氏二極管可以用三個電路參數來表征,即內區間電導Ga、外區間電導Gb和內外區間的轉折點電壓Bp。

三階蔡氏電路有三個動態元件即電容C1、電容C2和電感L,分別對應于三個狀態變量即電容兩端的電壓u1、u2以及流過電感的電流iL。由電阻、電容和電感三個基本元件的VCR,應用基爾霍夫電壓、電流兩個基本定律,可以建立蔡氏電路的狀態方程組為

(2)

式中,f(u1)是蔡氏二極管RN的VCR特性函數。在確定電路參數下,當選取不同電阻R時,蔡氏電路展現出周期數不同的極限環、單渦卷混沌吸引子和雙渦卷混沌吸引子等振蕩行為。

2 無感蔡氏電路的實驗方案

2.1 蔡氏二極管的等效電路

蔡氏二極管是蔡氏電路中唯一的非線性電阻性元件,其等效電路設計是蔡氏電路物理實現的關鍵。由式(1)描述的蔡氏二極管的VCR一般具有三段分段線性函數形式,由三個電路參數Ga、Gb和Bp來表征。按照Ga和Gb的數學屬性與數學關系,三段分段線性蔡氏二極管的特性曲線可分為三類,如圖2所示。圖中的S0、S+和S_為電路的直流平衡點,它們是通過求解蔡氏二極管RN的特性曲線與負載線-1/R的交點來獲得的。不難觀察到,圖2中的三類特性曲線都有Ga< 0的關系式,圖2(a)中的特性曲線有關系式|Ga|>|1/R|、Gb>0,圖2(b)中的特性曲線有關系式|Ga|>|1/R|、|Ga|>|Gb|且Gb<0,而圖2(c)中的特性曲線有關系式|Ga|<|1/R|、|Ga|<|Gb|且Gb<0。

(a) |Ga|>|1/R|、Gb>0

(b) |Ga|>|1/R|、Gb<0

(c) |Ga|<|1/R|、Gb<0圖2 三類三段分段線性蔡氏二極管的特性曲線

當蔡氏二極管采用圖2(a)所描述的特性曲線時,蔡氏電路有一個不穩定的鞍點S0和兩個穩定的鞍焦點S±,會呈現自激的雙渦卷混沌吸引子,但易于產生依賴于初始狀態的共存多吸引子即多穩定性現象[7]。相比之下,當蔡氏二極管采用圖2(b)所描述的特性曲線時,蔡氏電路有一個不穩定的鞍點S0和兩個不穩定的鞍焦點S±,會呈現自激的雙渦卷混沌吸引子,但不易產生多穩定性現象[5]。特別地,當蔡氏二極管采用圖2(c)所描述的特性曲線時,蔡氏電路有一個穩定的鞍焦點S0和兩個不穩定的鞍點S±,在特殊的初始狀態下會呈現隱藏的單渦卷混沌吸引子[8]。

利用運算放大器的飽和電壓特性,可由運算放大器與電阻組成的NIC等效實現由式(1)所描述的VCR。對應于圖2所示的特性曲線,三類三段分段線性蔡氏二極管等效電路的原理圖如圖3所示。三類蔡氏二極管等效電路的電路參數分別滿足[5,7-8]

(a)單級NIC

(b) 兩級NIC

(c) 三級NIC圖3 三類三段分段線性蔡氏二極管的等效電路

(3a)

(3b)

(3c)

其中,Esat是運算放大器的飽和電壓,數值可由電路仿真或硬件實驗測得。

綜上所述,三類三段分段線性函數描述的蔡氏二極管均可由式(1)的數學關系式來統一描述,并由電路參數Ga、Gb和Bp來表征。根據電路參數中內外區間電導的數學屬性與數學關系,蔡氏二極管具有如圖2所示的三類特性曲線。這三類特性曲線可分別由如圖3所示的三類等效電路實現,且對應著三類不同的數學表達式。

2.2 蔡氏電路的無感實現

如圖1所示,蔡氏電路的22′端左邊電路是由電容C2、電感L及其串聯等效電阻r構成的二階LC振蕩器。一般需要手工繞制磁環電感線圈來實現一定的電感量,其物理制作是蔡氏電路硬件實驗的難點。特別是磁環電感線圈的體積和重量都較大,難以實現硬件電路的小型化和輕型化。為了從根本上解決經典蔡氏電路的固有問題,可采用二階有源RC濾波器替換圖1中的LC振蕩器,實現無感蔡氏電路。

常見的四類二階有源RC濾波器電路,如圖4所示,包括文氏橋振蕩器(也是帶通濾波器)[10-11]、有源帶通濾波器[4,10]、高通濾波器[12]以及低通濾波器[13],它們電路結構不同且端口特性也不同,但都有著相同的元器件數量。與圖1所示的經典蔡氏電路進行比較,這四類基于有源RC濾波器實現的蔡氏電路主要特點是:無電感元件,易于物理制作,硬件體積小巧,適用于IC設計,且有較好的魯棒性。盡管無感蔡氏電路與經典蔡氏電路有著不同的電路結構與電路參數,但它們都能產生相似的動力學行為。

(a) 文氏橋振蕩器

(b) 有源帶通濾波器

(c) 高通濾波器

(d) 低通濾波器圖4 四類二階有源RC濾波器電路

3 無感蔡氏電路的實驗案例

這里,采用圖3(a)所示的單級NIC等效電路實現蔡氏二極管,圖4(a)所示的文氏橋振蕩器替換二階LC振蕩器,這樣可獲得一個基于文氏橋振蕩器的無感蔡氏電路[10]。無感蔡氏電路有三個動態元件,電容C1、C2和C3,分別對應于三個狀態變量u1、u2和u3,其狀態方程組可表示為

(4)

其中,k=Rb/Ra表示文氏橋濾波器的反饋增益,f(u1)是由式(1)描述的三段分段線性函數。

基于文氏橋振蕩器的無感簡化蔡氏電路的元件參數列于表1所示[10]。采用供電電壓為±15 V的AD711KN運算放大器,其輸出飽和電壓的實驗測量值為Esat≈13 V。因此,蔡氏二極管RN的電路參數可計算得

表1 基于文氏橋振蕩器的無感簡化蔡氏電路的元件參數

Ga=-555.56 μS,Gb=100 μS,Bp=1.754 V

(5)

式中,Ga為負值,而Gb為正值。

采用表1所示的元件參數和式(5)的蔡氏二極管電路參數,并設置初始狀態u1(0)=1 mV、u2(0)=0 V和u3(0)=0 V,即給電路一個小擾動。基于Matlab軟件,采用龍格庫塔ODE45算法[14],對式(4)描述的狀態方程組進行數值仿真,可獲得在u1-u2和u1-u3平面上的相軌圖,如圖5所示。圖5結果說明,基于文氏橋振蕩器的無感簡化蔡氏電路可產生典型的雙渦卷混沌吸引子,類似于經典蔡氏混沌吸引子。

(a)u1-u2平面

(b) u1-u3平面圖5 無感簡化蔡氏電路的相軌圖

常用的Multisim電路仿真和設計軟件是一款符合行業標準的、具有SPICE仿真環境的軟件,得到了國內外高校師生的廣泛好評和大量使用[15-16]。在NI Multisim 12.0軟件中建立基于文氏橋振蕩器的無感簡化蔡氏電路的電路仿真模型,如圖6左邊部分所示,其中運算放大器選用AD711KN,供電電壓為±15 V。采用表1所示的元件參數,進行Multisim電路仿真,可捕獲在兩個不同平面上的相軌圖,如圖6右邊部分所示。其中,右邊上方是在u1-u2平面上的相軌圖,右邊下方是在u1-u3平面上的相軌圖。電路仿真結果與圖7的數值仿真結果完全吻合。

圖6 電路仿真模型及其仿真得到的相軌圖

(a) u1-u2平面

(b) u1-u3平面圖7 實驗測得的無感簡化蔡氏電路的相軌圖

基于圖6所示的電路仿真模型,在面包板上制作無感簡化蔡氏電路的實驗電路。選用可調精密電位器、單極性獨石電容和±15 V電壓供電的AD711KN運算放大器。由LCR測試校正各元件參數,確保與數值仿真期間所使用的一致,并由數字示波器輸出捕獲的實驗結果。實驗測得的混沌吸引子的相軌圖,如圖7所示。

必須說明的是,為了測試圖4(a)中電容C3的相對電壓u3,需要制作一個輔助測試電路,它由運算放大器連接四個2 MΩ電阻的減法電路來簡單實現。實驗測試與數值仿真結果相符,說明了無感簡化蔡氏電路的可行性。

4 結語

結合蔡氏電路的模塊化設計制作思路,采用三類蔡氏二極管等效電路,并利用四類二階有源RC濾波器替換無源LC振蕩器,可組合實現形式多樣的無感蔡氏電路。通過具體案例分析,給出了無感蔡氏電路的數學建模、數值仿真、電路仿真、電路設計與硬件實驗等綜合實訓的教學范例。蔡氏電路綜合設計性實驗可以幫助學生更好地掌握理論知識,極大地培養創新能力并提高科研素養。