基于核心素養的數學課堂教學

陳煜舟

【摘要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》頒布后，“如何將核心素養真正落實到課堂教學中”成了諸多教師、學者熱烈討論的話題.本文通過“二次函數中與角有關的存在性問題”這節專題課的教學，以小見大，將數學思想滲透于學生的數學活動中，以培養學生的數學核心素養，讓學生學有所得.文章應用新課標引領教育新生態，采用“巧設問題，體驗由繁化簡；對比探究，悟得方法優劣；變化局部，調動類比思維；探本尋源，發展建模素養；以編促學，統籌知識全局”等策略，旨在將核心素養真正落實到數學課堂，讓學生在分析和思考問題的過程中感悟轉化、對比、類比等數學思想方法，提煉出思維精華，發展建模素養，在開放性的問題中打破知識的壁壘，建立聯系，從而通過教學活動實現數學教育的育人功能.

【關鍵詞】數學活動；數學思維；核心素養

一、新課標引領教育新生態

2022年4月21日，教育部頒布了《義務教育數學課程標準（2022年版）》，標志著我國以核心素養為導向的新一輪課程改革拉開了序幕.從“雙基”到“三維目標”，再到現在以“核心素養”為本位，數學教學把核心素養的培育作為主要教學目標，使義務教育呈現出新的面貌，也使數學學科獨特的育人價值不斷地體現出來.初中階段，學生的數學學習需要掌握很多顯性的表層知識，如一些概念、性質、公式等.新課標更加關注數學思維的形成、活動經驗的積累、理想信念和價值觀的引領，讓學生在與周圍環境產生相互作用時具備良好的數學核心素養.接下來，筆者以“二次函數中與角有關的存在性問題”這節專題課的教學為例，闡述如何將核心素養的培養貫徹到數學教學中.

二、核心素養落地數學課堂

（一）巧設問題，體驗由繁化簡

首先，學生會畫一個草圖了解點P的大致位置（如圖2），但經過嘗試會發現直接求點P的坐標比較復雜.因此，教師拋出一個簡單清晰的問題“點P的位置在哪里”，以合適的問題引導學生觀察點P的位置：點P在拋物線上，也在直線CP上.這便讓學生意識到：要求點P的坐標，可以先求直線CP的解析式.這是解決該問題最關鍵的一步.

這一巧妙的設計開拓了學生的思路，使學生能通過觀察點的位置主動推理出解決問題的方法.因此，教師應通過巧設問題引導學生分解、轉化綜合問題，為學生提供思維的階梯.

按照上述解題思路，大問題分解成了相對簡單的小問題，由難到易，由繁化簡.教師應有意識地向學生揭示這里利用了轉化的數學思想，將數學思想加以明確.

（二）對比探究，悟得方法優劣

在求旋轉后的直線解析式時可以發現只有一個點C的坐標是已知的，因此還需確定這條直線上另一點的坐標.那么如何選取這個點呢？教師讓學生合作討論后再分享各自的做法.有的小組提出：過點A向l1作垂線，交l1于點D（如圖4），然后求垂足D的坐標；也有小組認為：過點A向AC作垂線，交l1于點D（如圖5），然后求點D的坐標.還有一些類似的方法這里不一一贅述.

接著，教師引導學生回憶求點的坐標的常用方法：向x軸或y軸作垂線.學生馬上聯想到可通過構造“k型全等”求出點D的坐標.為了更好地讓學生感受“構造”這一數學方法，教師請學生將解題方法進行對比，可以發現兩種方法都構造了“k型全等”，即把傾斜著的難以解決的線段轉化為橫平豎直的線段，從而轉移了線段長度，求出了點的坐標，這是一種大家常用的化斜為直的構造方法.但兩種方法有繁易之分，所以教師進一步請學生分析兩種方法的不同之處：圖4中的解題過程比較煩瑣，需要設未知數，圖5可直接求解.教師繼續引導：造成這種區別的主要原因是什么呢？學生通過觀察發現，圖4中由于點D未知，Rt△EDC與Rt△FAD的直角邊都是未知的，所以需要設未知數；而圖5中點A是已知的，Rt△AOC的兩條直角邊都已知，因此可以直接求解.兩種思路的比較讓學生感悟到：在解決此類問題時，應盡可能地選擇以已知點為直角頂點構造“k型全等”.

在這一過程中，學生由淺入深、由表及里，在對比中主動地“悟”出解決這個問題的好方法.教師的啟發引導、小組的相互合作、班級的分享互動，改變了傳統的“教師教，學生學”的教學模式，構建了以學生為中心的課堂.

（三）變化局部，調動類比思維

考慮到正切值的利用應該放在直角三角形中，學生經過觀察、分析能迅速類比得出此類問題的解決思路，依然可以作垂直構造“k型相似”，并且模仿較簡單的輔助線構造方法，即以點A為直角頂點構造“k型相似”.

角度的一般化同時帶來了“k型全等”到“k型相似”的變化，教師通過列舉一個一般化的例子，調動起學生的類比思維，讓學生在以后接觸到其他一般化的角度時也能得心應手地解題，這為后續歸納解題步驟做好了鋪墊.

（四）探本尋源，發展建模素養

此時，學生對本節課的第一個難點有了初步的理解，但是教師不需要急著展開后面的內容，應該給予學生充分的時間，小結解決問題的步驟，歸納圖形的共同屬性.教師引導學生觀察圖形中的已知信息：直線AC是已知的，點A，C為已知點，旋轉角度α也是已知的.列舉出已知信息之后，教師請學生思考要求的是什么，并將已知信息與所求內容用語言組織起來，進行口頭完整敘述.問題是：“已知直線AC繞點C旋轉一個角度α，其中點A，C是已知點，旋轉角度α已知，如何求旋轉后的直線解析式？”解法是：“應該盡可能以已知點A為直角頂點構造‘k型相似，再求點D的坐標，最后求直線解析式.”

將思維的結果用文字語言表達出來，可以幫助學生梳理解題脈絡，并鍛煉他們的表達能力，也能輔助教師及時獲得學情，讓教師了解學生是否觀點明確、條理清晰，是否具有豐富的數學語言系統，從而調整教學策略.

為了將信息多方面地呈現給學生，教師請學生用圖示的方法明確解題思路，進一步把抽象的文字語言轉化為具體、直觀的圖示信息（如圖6）.

接下來，教師帶領學生“回頭”看課堂開始時提出的問題.通過前后比較，學生能夠很容易找出兩幅圖關聯的地方，即有兩條相同的直線，因此可將求二次函數上動點的坐標轉化為求拋物線與直線的交點.至此，這個問題便迎刃而解.這時，教師就可順勢引出本節課研究的專題“二次函數中與角有關的存在性問題”.

自然的過渡強化了學生的解題思路：對于這類二次函數中與角有關的存在性問題，需要先求旋轉后的直線解析式.接下來，教師請學生完善圖6的步驟（如圖7）.

就如初中數學一開始先學習具體的有理數加減乘除、再學習用字母表示數一樣，學生總能慢慢地從特殊的數據處理中得出具有普遍意義的結論.在本節課上，教師通過具體的語言歸納以及直觀的圖示兩種策略，讓學生對于這類問題的解決脈絡逐漸清晰化，建立起這類題目的解題模型，達到對這類問題的深度認知目標，將知識盡快地轉化為學生的能力.

（五）以編促學，統籌知識全局

在應用部分，教師讓學生模仿例題，合作編題，并討論解決.具體過程如下：

教師：這個角度可以為45°，在相同的題目條件下，根據我們研究的內容，還可以怎樣編題呢？

生1：在拋物線上是否存在點P（在AC上方），使得∠ACP=30°？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

生4：問題也可以改成：在拋物線上是否存在點P，使得∠ACP=∠BCO？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

教師在此處可進行適當的停頓，并引導學生發現這是一道什么類型的題目，從而引導學生總結出：對于二次函數中一個角等于已知角的問題，也可以用類似的方法求解.

由角相等也可以聯想到相似，所以也會有學生做下面的聯想.

生5：在拋物線上是否存在點P，過點P作PD⊥AC，垂足為D，使得△CPD∽△CBO？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

生6：在拋物線上是否存在點P，過點P作PD⊥AC，垂足為D，使得△CPD與△CBO相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

思維比較發散的學生也能想到更換角的頂點.

生7：在拋物線上是否存在點P，使得∠CAP=∠BCO？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

生8：在拋物線上是否存在點P，使得∠ACP=∠ACO？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

在這種情況下，AC是∠OCP的平分線，所以也可以利用角平分線加平行推導出等腰三角形來解決.一題多解的具體方法可以留給學生課后思考.

如果此時學生覺得提問題有難度，那么教師可以繼續引導學生思考：兩個角還可能有什么關系？是互余、互補或兩倍角嗎？

生9：在拋物線上是否存在點P，使得∠PCA與∠CAO互余？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

這一環節實際上檢驗的是學生對這類問題是否真正建立起了數學模型，即是否都能轉化為今天課堂開始時提出的問題.開放性的編題活動促使學生全身心地參與課堂活動，讓學生在自己創造性的思考以及聆聽他人想法的過程中感受這類問題的特點，強化了對這類問題的認知，突破了“就題論題”的弊端.以后碰到類似的問題時，學生就能迅速將新問題轉化為舊問題，自身的數學思維得以提升.

教師的例題是一個“綱”，學生通過討論將一個問題進行發散，將已有的知識進行串聯、積累、加工，主動地進行一種更高難度的思維活動，是一種立足于整體的學習.在這一過程中，教師只需要扮演點撥者的角色，在學生有困難的時候幫助其將知識點牽橋搭線，建立起宏觀的數學觀念.

課堂最后，教師拓展布置了一道題：“在相同的條件下，在第四象限是否存在點P，點Q在PB的延長線上，滿足∠CBQ=∠CAB+45°？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.”這道題也涉及兩個角度之間的關系，改編自一道中考題.學生通過課后思考鞏固本節課所學知識及思想方法，鏈接了中考.同時，教師可以通過這道題檢驗學生的習得情況，對學生今日所學做出評價.

三、數學活動變革學科育人

《義務教育數學課程標準（2022年版）》堅持了以往課標中對于數學基本屬性的描述，即“數學是研究數量關系和空間形式的科學”，還明確提出：“數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律.數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言.數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分.”

以這節專題課作為“數學”的典型代表，學生學會了如何解決這類問題，在分析圖形的過程中感悟到了轉化、對比、類比等數學思想方法，同時經歷了文字語言、圖形語言的抽象歸納過程，提煉出思維精華，發展了建模素養，最后在開放性的問題中打破了知識的壁壘，建立了聯系.這些真實、深刻的數學活動讓學生的學習變得更有價值，學生在潛移默化中感悟到數學是什么，具備了認識世界的一種“眼光”、思考世界的一種“方式”、表達世界的一種“語言能力”.正如著名的數學家波利亞所說，“完善的思想方法猶如北極星”，許多人通過它找到了正確道路，從“解題”學會“解決問題”，從“做題”學會“做人做事”，以期學生之所學終身受用.

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準修訂組.聚焦核心素養 指向學生發展：義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[J].基礎教育課程，2022（10）：12-18.

[2]史寧中.核心素養統領的數學教育：《義務教育數學課程標準（2022年版）》修訂的理念與要點[J].小學教學（數學版），2022（07）：4-12.

[3]陳華忠.《義務教育數學課程標準（2022年版）》“新”在何處[J].課程教材教學研究（小教研究），2022（07）：7-10.