發展學生圖形與幾何問題解決能力的實踐分析

唐嘉欣

【摘要】項目化學習是在真實情境中提出能引發學生思考的數學問題，激發學生學習動機，促進學生積極探究，讓學生經歷各種數學學習過程的學習模式.項目化學習運用在數學教學中對教師的教學、學生的學習有積極的實踐意義.本文聚焦第三學段六年級“圖形與幾何”領域———“圓”這一單元，在對教材和學情進行分析后，重整教學內容并進行項目化學習方案的設計，確立項目化學習的流程，結合項目開展的全過程對項目化學習在圖形與幾何領域對學生問題解決能力進行闡述.

【關鍵詞】圖形與幾何；問題解決能力；項目化學習

【基金項目】本文為廣州市荔灣區2019年教師小課題《第二學段學生圖形與幾何問題解決能力的研究———以PBL項目化學習為視角》（2019X11）研究成果之一.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《課標（2022年版）》）對第三學段（5～6年級）的學段目標中提出，“嘗試在真實的情境中發現和提出問題，探索運用基本的數量關系，以及幾何直觀、邏輯推理和其他學科的知識、方法分析與解決問題，形成模型意識和初步的應用意識、創新意識”.《課標（2022年版）》中將學生的幾何直觀、推理意識、模型意識、應用意識和創新意識這幾個核心素養都蘊含在問題解決中.

在大部分圖形與幾何領域的數學課堂教學中，教師最常使用的是直接講授的方式.雖然教師的教學設計有學生討論和表達自己的觀點的環節，但是整個學習過程都由教師嚴格控制，甚至在教學預設中，教師會把學生所有發言的可能性都描述出來.這類常規教學模式的亮點是能高效完成教學任務，使大部分學生能較好地掌握基本知識和基本技能（雙基）.但這只達成了新課標提出的“關注學生知識的獲得”，而未能做到“關注學生思維的獲得”.教師在充分預設下，提出的“問題”，最終答案必將是教師心中的唯一.這樣的問題會制約學生創造性和個性化的發展，不利于對學生問題解決能力的培養.

問題是數學教學的心臟，而問題處理則是一種確定結構中不良問題的目標和解決障礙的過程.教師在課堂中，所預設的問題一般都是結構完整的問題，既有解題所需要的有關信息，又有清晰的問題，而學習者只需利用已有的方法，根據已經確定的問題解決途徑就能夠很輕松地找出問題的答案（教師預設的問題通常擁有唯一的解題路徑和唯一的答案）.而在現實生活中學生要面臨的更多的是擁有大量無關信息、結構不良的問題，問題解決的途徑和能夠使用的信息資源也都不清晰.比如“把圓形面餅放入長方體的打包盒”就是一個結構不良的問題.

要解決這個問題，首先要明確“我想實現什么（把圓形面餅放入長方體中）”.然后就是查找能夠滿足這種情況的數據和信息.在信息化時代，一條關鍵詞可能會產生很多的信息，于是下一步必須從查找到的有關數據中逐步剔除與之不相干的數據.問題求解過程中產生的數據通常是真實的，并伴隨著問題情境產生的.這就要求學生對問題情境進行仔細分析.學生如果沒有仔細地對所要求處理的問題情境進行仔細分析與甄別，那么所得到的關于問題的結論也通常是不全面的.對這種干擾型信息的分析可以更有效地提高學生的認識，進而加深學生對問題相關理論的了解.最后，對結構不良的問題的處理必須通過多次重復嘗試，并調整解題途徑來找到最佳的處理途徑.所以學生在給出了問題路徑和解決方法之后，必須反省和檢驗自己問題的結果，并在實踐情境中加以嘗試和檢驗是否有效，而一旦在實際檢驗中發現問題仍然無法有效解決，就必須逐步返回排查錯誤因素，糾正錯誤，并提出新的解決辦法.

項目化學習的相關理論指出，問題解決過程是一個使用高階認知策略的過程，但它同時需要用到大量的低階認知策略.例如，對問題情境的現有資料加以搜集、匯總、分析，以此確定問題所要求的資料.也就可以從現有的舊知中找出可能的問題解決的途徑.而問題解決方法還包括了對各種問題解決策略的研究與比較、探究問題的原因和解釋問題等，有時也要求推導出所有可能的結果，并通過所得到的各種方案研究哪一個解決方案更符合當下的情境.

筆者與課題組成員根據課題計劃安排，梳理了第三學段“圖形與幾何”領域中適合開展項目化學習的內容，在六年級開展“圓”內容的項目化學習.

一、對教材的分析

“圓”這一單元的學習是在學生學完了對長方形、正方形等平面圖形的周長、面積等相關概念和計算以及直觀認識圓（可以識別的外在特征）的基礎上展開的.長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形都屬于直線圖形，而圓形是曲線圖形.從直線圖形到曲線圖形，對學生來說是一個飛躍.因為學習曲線圖形的概念和方法與學習直線圖形相比是有變化的.學生通過對圓的深入學習，不僅了解了一些關于圓的知識，掌握了畫圓的技能，還通過不同問題情境的學習，理解了“化曲為直”“等積變形”和“極限”等數學思想方法，進而發展了問題解決能力.

二、對學情的分析

在進行項目化教學中，教師利用學生課上訪談，幫助他們完成有關“圓”的KWH表（見表1），從中了解到學生對于“圓”的基本概念和一般性認知（圓的各部分名稱、如何借助工具畫圓）已經非常豐富.他們對于“圓”的知識準備，已經超過了傳統課堂靜態的知識呈現.例如，關于圓周長與面積的運算，學生會用相關公式進行運算，他們的主要困惑是這個公式怎樣產生的，公式背后的原理是什么？又如，學生希望了解為何車輪都設計成圓形？在他們的提問中，我們可以發現學生所需要的更多是將科學知識和日常生活經驗結合起來的新知識.因此課題組教師從這些問題中進行選擇并將其轉化為驅動性問題.

三、“圓”項目化學習設計方案

四、對項目化學習的實施分析

（一）前置學習，基于學情設計任務

借助UMU平臺開啟項目.學生進入學習項目，先通過閱讀文本（繪本、文章），將已有的、零散的對“圓”的一般性認知與相關知識相結合，再通過課堂教學用圓規畫圓的方法，進一步了解圓心、半徑和直徑，以及半徑和直徑的關系.同時課堂教學借助微課演示圓規畫圓的過程，讓學生初步感受“圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合”的幾何學基本概念，最終使學生修正和完善“圓”的有關概念，從而形成系統的、科學的“圓”概念體系.UMU平臺、微課等信息化手段的使用，體現了《課標（2022年版）》的教學宗旨：通過合理運用現代信息技術，創造豐富多彩的課程資料，創設生動活潑的課堂教學，積極推進學校數學教育教學方式方法的改革.

（二）任務推動，基于主題自主學習

通過“圓”的KWH表，課題組教師借助UMU平臺把驅動性問題細分為不同的項目子任務（見表3）.“數學新課程實施必須以學生數學素質的培養為基本任務，課堂中對數學活動實踐的掌握也是其數學素質形成的條件”.學生經歷“做”和“想”的過程，并在此過程中加以沉淀與積累，進而逐漸內化成自身的數學素養.

項目化學習的重要特點之一是通過有意義的驅動式提問來提高學生的學習積極性，使他們積極參與學習.“圓”的項目化學習中，教師設計了“圓周長實驗”“圓面積實驗”“合理利用空間”等驅動性問題，讓學生置身于一種探究的環境中，讓學生經歷一次自發的、與自己能力匹配的學習之旅.在學習的過程中，學生根據自己的能力做出不同的嘗試和努力，真正實現“跳一跳摘蘋果”.就學生自身而言，他們可以獲得充滿成功感的有效學習體驗.

（三）評價分享，基于對核心知識的深度理解

項目化學習中的成果不單是要做出某些實物，更重要的是解決現實生活中的真實問題，體現對核心概念的理解，展現自己和小組成員在此學習過程中的深入思考與實踐.在“圓”項目化學習后，學生圍繞驅動性問題呈現了形式多樣的成果.通過這些成果，學生能夠切實感受到運用數學知識解決實際問題的收獲和感悟.項目化學習成果的呈現除了課堂上PPT、思維導圖口頭匯報外，借助UMU平臺上傳成果讓組內成員相互評價、相互學習.

五、項目化學習對發展學生圖形與幾何問題解決能力的實踐意義

課題組教師在六年級數學課堂中實施“圓”的項目化學習，是項目化學習在小學數學課堂中一個成功的實踐案例，有顯著的正面實踐意義.第一，項目化學習能有效培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力.正如余文森在《有效教學的實踐與反思》一書中指出的“沒有問題就不會有解釋問題和解決問題的思想和方法”，項目化學習以問題為起點串聯起整個學習的全過程，問題是一種教學手段，也是教學目標（通過解決問題實現教學目標）.通過課題實踐檢驗，項目化學習有利于提升學生的問題解決能力.第二，項目化學習能夠充分發揮學生的主體性.《課標（2022年版）》明確指出，“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”.項目化學習以學生為中心，根據學生本身的需要提出課題，全面落實課改精神.第三，項目化學習可以有效訓練學生團隊合作學習的集體意識.項目化學習是以項目協作為主的學習模式，在項目的全過程中學生和學生之間有大量的互動交流，這一過程能有效地訓練學生的數學表達能力，也可以培養團隊的合作能力.

總 結

項目化學習中，學生所產生的數學知識、學習體驗與一般常規數學課堂中產生的知識和體驗是不同的.項目化學習從開始就設置具有挑戰性的問題.這些問題一般都有多種解決問題的路徑，同時，由于學生選擇了不同的解決問題的路徑，因此就會產生不同的結果.在進行項目化學習時，高階思維的問題情境能激發學生學習的內在動力.教師在指導和推進學習進程時會對學生明確提出帶有問題解決、創造、推理分析等高階認知策略的項目任務，學生將會在真實有效的驅動性問題下展開學習并生成真實的學習成果.在學習成果產生的過程中，學生會遇到與問題相關的新舊知識，學生為解決新問題將會自然而然地進入低階學習，例如找與問題相關的資料、識記一些公式和定理、整合相關知識使之形成知識網絡等.學生在這個過程中其實就自主獲得了解決問題所需要的技能.

學生在項目化學習中的學習實踐是一種包含知識、行為和態度的不斷轉換的過程.常規學習過程一般都是先學后練（做），但項目化學習則需要學生在對問題探究與解決中，把一般的學習轉化為有意義的學習實踐.學習實踐突出的是“做”和“學”的不可分割性，學生在學習實踐中不僅能掌握解決問題的基本知識和基本技能，還能對問題、對知識有更深層次的認識和理解.

數學課堂應以培養學生的數學素養為核心目標，學生通過數學活動中獲得的經驗逐步獲得數學素養.通過“圓”項目化學習，課題組教師發現，學生不僅掌握了圓的相關基礎知識，而且在解決各驅動性問題中經歷了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，感受了“化曲為直（圓周長）”“等積變形（圓面積）”等數學思想方法，發展了數學思維能力和問題解決能力.

在“圓”項目化學習中，學生自主生成的有關“圓”的問題始終貫穿學習的全過程.學生在“問題”的學習中，始終處于需要解決的問題情境中，使其產生了緊張感，激發起強烈的解決問題的意愿，從而實現其自主學習、自覺去解決問題的目的.一個有效的項目化學習，問題解決是一個個不斷通關的過程.在解決終極問題前，學生要解決一系列與之相關的“關卡問題”，這些“關卡問題”恰恰就是學生要掌握的基礎知識.學生在經歷解決“關卡問題”的過程中，其學習成功感和學習自信心也會得到提升.在項目化學習中，學生的關注點聚焦在“問題”上，學生經歷一系列的通關解決問題的過程，不僅沒有數學學習的疲憊感，還可以得到成就感，從而提高了其對數學學習的興趣.

課題組以“圖形與幾何”領域的內容為切入點進行了項目化學習實驗，學生可以在實際的問題情境中，在熟悉的事情中認識數學和掌握數學，用數學的眼睛看實際世界，用數學的思維思考實際世界.學生心中的數學不僅是單純的公式、圖像和數值，也是可以解決實際生活問題的好助手.

【參考文獻】

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