認知沖突背景下的小學數學深度學習探索

陳陽

【摘要】在數學教學中，教師經常引導學生先回顧原有的知識經驗，再開啟新知識的學習.這種模式已成為數學教師實施教學的常用思路.但學生的數學學習過程中總是伴隨著對原有知識經驗的“破”與“立”.當認知沖突產生后，如果教師能基于知識本質將沖突轉化為建構新知的契機，那么深度學習的理念與實踐就能被體現在常態化數學課堂中.文章基于認知沖突背景，提出了通過教學引導學生深度學習的策略，并對認知沖突對于深度學習的重要性進行了探究，旨在更好地促進深度學習課堂的建立.

【關鍵詞】認知沖突；深度學習；小學數學

一、問題的提出

近年來，隨著對“深度學習”的認識的不斷深入，越來越多的小學數學教師注重在常態課堂中滲透深度學習理念.馬云鵬教授認為，小學數學深度學習是指教師基于學科內容本質和學生發展目標，精心設計問題情境和學習任務，引發學生認知沖突，然后組織學生通過深度探究進行有意義的學習.

認知沖突是學習中一種常見的心理認知狀態.認知沖突指原有認知結構與新的信息或認知結構存在矛盾的一種知覺狀態.當原有知識與新知識存在差距時，就會導致心理失衡，隨即產生認知沖突.認知沖突是引發學習與思考的心理動因.有學者指出，深度學習依賴于深度教學，深度學習要深在數學內涵與本質上，要深在過程與方法上.教師應該善于抓住學生在自主思考過程中產生的原生性認知沖突，借助失衡的心理認知狀態引導學生開展深度學習.在引導學生化解認知沖突的同時，教師要幫助學生感悟數學思想方法和知識形成的過程與方法，在日常課堂中探索小學數學深度學習之路.

二、分析認知沖突，開展深度學習

（一）把握演進實質，化解概念沖突

好問題是深度學習發生的基本前提.教師經常以知識回顧來開啟新授課.在回顧過程中，一些教師僅僅把新知識與原有知識經驗按照教材的“時間線”進行串聯.這樣的教學雖然關注了知識的“發生”路徑，但沒有關注知識的“生長”方式，沒有讓學生原有的知識經驗成為其研究新問題的有力支撐.

在接下來的教學中，教師通過畫圖，引導學生發現分數的分子不僅可以比分母小，還可以與分母一樣大或者比分母大.教師在學生觀察分數的分子與分母的大小關系后，通過分類，引導學生得出真分數和假分數的概念.

真分數和假分數的“真”和“假”體現在哪？學生的認知沖突在于：單位“1”在平均分后，取出的份數不會多于總份數，而根據“母子”關系的語境，分“子”應該比分“母”小.

教師在組織學生進行復習回顧時，固化了這樣的認識：從計數的角度看，分數和自然數一樣，是數出來的.分數單位是分數的計數單位，分子表示同一分數單位的數量.隨著分數單位的不斷累加，分子超越分母是必然的.而隨著分數單位的增加，單位“1”也要根據需要進行累加，在觀察圖2時，不能憑經驗認為將幾個圖形組成的整體看成單位“1”.假分數的“假”在于分數單位的數量達到和超過了分母所設定的“額度”，而不再是從總份數中“取”出的幾份.

基于以上分析，教師在復習回顧環節就可以考慮回顧“數是數出來”的觀念，學生在接受累加分數單位以獲得分數的基礎上才能參與剖析為什么分數會有“真”與“假”之分.在學生原有知識的內核中找到新知識的“嵌入點”，可以讓知識得以自然生長.

其實，類似的學習經歷學生在認識小數時已經遇到.

在蘇教版教材中，三年級讓學生初步認識小數的含義，五年級讓學生進一步理解小數的意義.其實，學生在生活中很早就認識了小數的“形”，數學課最重要的是幫助學生理解小數的“意”.對于學生來說，最大的認知沖突在于從“形”到“意”如何順利地建立聯系.教材上，小數是通過分數來建構意義的，即分母是10，100，1000，…的分數可以表示為一位小數、兩位小數、三位小數……小數與分數雖然在形式上相差很遠，但彼此間卻可以互相闡釋.學生如果沒有深度的理解，就只能簡單記憶.

賁友林老師指出，小數不僅長得很像整數，更加重要的是小數擁有整數十進制計數法的“筋骨”.小數與分母是10，100，1000，…的分數的共通之處在于可以通過十進制計數，反向將自然數1進行平均分，向著更“小”的方向繼續拓展計數系統.看來，對自然數1的“分”可以建立起學生對小數“小”在何處的意義理解，同時讓學生真正認識到：十進制計數法是小數與整數之間存在的本質聯系.

（二）分析表象特征，化解方法沖突

深度學習的特征之一是對學習內容的深加工，教師應該引導學生在變與不變、同與不同中探索知識的內在聯系.在數學學習中，教師經常指導學生用已有的知識經驗和方法嘗試解決新問題，但經驗和原有的方法不是萬能的.在經驗“失靈”時，學生往往會陷入問題解決方法上的認知沖突.

例如，在蘇教版小學數學五年級下冊“2和5的倍數特征”的教學中，在讓學生在百數表內找出2的倍數時，教師引導學生發現100以內2的倍數的特點并形成初步的認知，再通過進一步驗證與歸納，讓學生得出2的倍數的特征.緊接著，在教師的啟發下，學生可以將結構化的規律探索經驗運用到對5的倍數的特征研究上.

學生在研究2和5的倍數的特征時，獲得了研究一個數的倍數特征的基本經驗，即探索一個數的倍數特征可以先找一些數，然后從個位上的數看起，特征就會慢慢顯現.但是，研究3的倍數特征時，“只看個位”的經驗不成立.對此，教師必須引導學生重新觀察百數表中3的倍數的分布特點，進而引導學生發現“3的倍數各個數位上數字之和也是3的倍數”這一特征.

面對從“看個位”到“看各位”的變化，教師可以考慮在2和5的倍數特征的研究中就結論及方法本身進行適當分析，幫助學生獲得“原理”性認識，適當降低后續研究的沖突“烈度”.為什么2和5的倍數只需要看個位上的數就行了？顯然，十位的計數單位是十，百位的計數單位是百……而一個百是10個十，一個千是100個十……由此看來，一個數無論十位、百位、千位……上的數是幾，都可以看成是10的倍數，而10本身是2個2個或者5個5個數出來的.

由此看來，10與2和5的關系是分析2和5的倍數特征的根本，而通過分析10與3的關系就能解釋“為什么3的倍數的特征需要把各個數位上的數字相加”“不同數位上的數字為什么可以相加”等問題.2和5的倍數特征不是研究3的倍數特征的“攔路虎”，而是“鋪路石”.

又如，在“小數乘法運算”的學習中，學生同樣會遇到算法上的矛盾.

在學習小數乘法之前，學生已經掌握了小數加減法的算理，即只有相同數位上的數才能相加減，表現在算法上是先將小數點對齊，再從低位算起.但小數乘法的算法是先將小數的末位對齊，按整數乘法計算，然后看乘數一共有幾位小數，積就是幾位小數.對于一些學生來說，小數乘法的算法對于小數加減法來說是一種認識上的“倒退”.

從算法上看，小數加減法和小數乘法是不同的.但從算理上看，小數乘法和小數加減法一樣，都離不開“計數單位”.例如，在計算1.5×1.3時，從計數單位的角度可以理解為1.5×1.3=15×13×（0.1×0.1）.這樣變化的依據是“15個0.1是1.5”“13個0.1是1.3”“0.1的十分之一是0.01”.而這些依據，學生在“小數的意義”一課中已經獲得了.結合乘法運算律，學生在理解小數乘法算法時，可以通過研究積的計數單位數量的變化，將小數加減法的算理與小數乘法的算理溝通起來，從本質上理解小數乘法，從而將兩者算法上的沖突化解.

（三）對比變化特點，理順意義沖突

對于學生而言，數學學習是淺層學習和深度學習相結合的過程.鄭毓信教授指出，深度學習是對淺層學習的反對.在需要學生就數學概念形成深度理解的情況下，教師應該避免教學的表面化.具體表現為，學生盡管已經明確一些數學概念的含義，但在解決問題的過程中往往會出現混淆.

例如，在蘇教版小學數學六年級下冊的“正比例和反比例”的學習中，學生知道“兩個相關聯的變量之間，成正比例時兩個量的比值一定，成反比例時兩個量的乘積一定”，但在解題過程中時常會在關系含義上出現倒置的情況，即將“正比例”錯誤地理解為兩個相關聯變量的乘積一定，“反比例”則理解成兩個相關聯變量的比值一定.

在與學生的交流中發現，學生雖然經歷了從現象到模型的理性建構過程，但新形成的理性認識與既有經驗交織時，容易形成認識偏差.在實際應用過程中，“正比例”和“反比例”關系常常會被學生簡化為乘除運算關系.乘除運算與數量的增加、減少有著密切聯系.學生容易基于對“正”與“反”的語義理解，將“正”與“擴張”聯系在一起，將“反”與“收斂”聯系在一起，進而產生了“正”即“乘”，“反”即“除”的想法.這樣的認識將一種函數關系簡單理解為運算關系，造成對正、反比例意義本身的理解錯誤.

教師需要引導學生破除思維淺表化的傾向.正比例和反比例體現了變量之間的依存關系，因變量隨著自變量的變化而變化并形成變量之間的對應法則.通過教師有意識地引導，學生在理解正比例關系時會知道：正比例的“正”指向的是兩個變量同時增大或者同時減小的正相關性，而不是生硬地強調“比值不變”.比值一定只是對正相關現象的進一步嚴格規范.同樣，反比例中的“反”則體現了兩個變量存在負相關的現象，乘積一定則是對負相關現象的進一步嚴格規范.

學生最初認識分數時，是從“率”的角度開始的.在理解“平均分”的基礎上，為了表達部分與整體、部分與部分之間的關系，分數應運而生.作為數的一種，分數同樣可以表示具體的量.但相較于量而言，分數在表達“率”方面更加凸顯其價值.學生在理順分數的雙重含義后，才能實現量與率之間的正確切換.

概念和模型或許是詞匯、一段話、式子或者圖形，學生要以動態的觀點來把握看似靜態的概念與模型，只有充分理解新習得的概念或模型的形成原理，才能保證對概念的運用不“變質”.

三、基于認知沖突的深度學習思考

曹培英老師站在數學內涵和本質的角度認為深度學習是在規律中說理、在推理中不斷抽象；在學習過程和方法方面，深度學習是指用舊知識推導新知識、從特殊現象得到一般規律.以認知沖突推進教學，在一定程度上就是引導學生進行有深度的思考，從而引發深度學習.

（一）認知沖突是開啟深度學習的重要抓手

認知沖突是學習者學習過程中產生的心理狀態.在認知沖突的產生和化解過程中必然伴隨著數學思維品質的不斷提升.如果學習者能主動從失衡的認知狀態出發開展學習，那么深度學習將成為可能.教師的作用就是將這種可能變成現實.這就向教師提出了兩個要求：一是對教學內容的內在邏輯和研究方法有深刻的理解；二是對學生的學習狀態有正確的分析.

關于數學思維的教學，鄭毓信教授認為，隨著年級的升高，教師關注學習內容時要注意多元化與統一性，在揭示不同學習對象內在統一性的過程中促使學生對知識結構進行必要的重構，對觀念進行必要的更新或糾正.學生深度學習是通過教師指導、合作交流、動手操作、主動思考，讓原來片面、模糊、粗糙的認識加以糾正和完善的過程.教師需要深刻理解知識之間的聯系與變化，從全局和結構化的角度組織學生有效開展學習活動.

（二）分析認知沖突的產生原因是開展深度學習的重要前提

如果說找準聯系、抓住變化、引發思考、形成經驗是引導學生進行深度學習的基本邏輯，那么分析認知沖突進而引導學生追溯知識本源的過程正是引導學生開展深度學習的有效方式.

學生在學習過程中產生認知沖突的原因主要有：

一是沒有形成新舊知識之間的正確聯系.在完成學習任務時，學生需要在認知結構中選擇適當的觀念讓新舊知識相互作用.如果學生認知結構中的固有觀念是模糊或者錯誤的，那么學生就會在舊知識調用、新知識匹配等環節中產生問題.在模棱兩可的聯系中學習，學生就會產生認知沖突，并且沖突的結果可能導致學習的無效.

二是知識之間形成干擾，學習中產生負遷移.例如，學生雖然學習了分數與除法的關系，但是依然不會主動把一道除法算式的商寫成分數形式.因為之前在學習小數除法時進行了大量豎式練習，學生會認為除法中的商不是整數就是小數.又如，學習了加法交換律后，學生會將這個規律應用到形如“a+b-c=a-c+b”這樣的加減混合的簡算中，一些學生會得出“a+b-c=a+c-b”這樣錯誤的變化.

（三）解決認知沖突的過程是開展意義深度建構的過程

學生解決認知沖突，需要對原有認知進行改造.從確定自己的錯誤認知意識到認知框架建構得不平衡，再從產生解決認知沖突的興趣或焦慮，到重新達到新的認知平衡并對沖突進行評估.認知沖突的解決涉及學生多方面的心理和能力因素，包括知識經驗基礎、學習動機與策略、數學關鍵能力、同伴作用與師生關系等.教師應該引導學生在認知結構從不平衡到平衡的過程中開展認知結構的深度建構，在認知再平衡到對新平衡的評估中開展反思，從而讓學生學會學習.

在認知結構重建方面，認知沖突中的心理不平衡狀態可以成為學生認知重構的驅動力來源.教師的作用是讓學生正視不平衡狀態并且采取行動完成認知再平衡任務.

在數學關鍵能力培養方面，學生對原有認知結構的調整伴隨著學生學習主動性、自我反思、遷移性理解、實際運用等方面能力的提高.一個能通過反思、理解、聯系、建構、再反思、應用等完成對自己知識體系改造的學生，肯定是一個具備深度學習能力的學習者.

在認知沖突中思疑解惑是促進深度學習的有效途徑.在師生共同努力下，通過分析沖突原因、引導對話思辨、促進認知重建，學生可以逐步形成基于個體學習需求的科學認知網絡.而教師也能在研究中發展深度教學能力，在知識本質的解釋、轉換、推理等過程中更好地促進課堂深度學習生態的建立.

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