初中數(shù)學(xué)“一題多變”的教學(xué)策略研究

黃文建

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題通常會(huì)存在多種解答的方式，學(xué)生需要熟練掌握不同解答方式所具備的思想，提高解決問(wèn)題的靈活性，才能夠準(zhǔn)確把握各種求解技巧.也就是說(shuō)，學(xué)生必須從多個(gè)層次對(duì)問(wèn)題做差異化的分析與處理，進(jìn)而使自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效提升.而且，數(shù)學(xué)教師也要在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)多種求解方式，進(jìn)而鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維能力，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以完善.為此，文章以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為例，理性地分析了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀，并從五個(gè)層面對(duì)“一題多變”的教學(xué)策略進(jìn)行了探討，以切實(shí)提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)成長(zhǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一題多變；數(shù)學(xué)教育；教學(xué)策略

數(shù)學(xué)學(xué)科不僅重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，也十分注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用和問(wèn)題解決的能力.所以，初中生要想學(xué)好數(shù)學(xué)學(xué)科，就必須發(fā)展數(shù)學(xué)思維，完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).采用“一題多變”的教學(xué)方式能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到更好的培養(yǎng)，進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)水平提升.因此教師在應(yīng)用教學(xué)方式的同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生從多層次、多角度去分析問(wèn)題，盡可能多地找出求解問(wèn)題的方法.學(xué)生能夠在不同思維方式的啟發(fā)下獲得解題思路、完成問(wèn)題的求解是促進(jìn)數(shù)學(xué)思維成長(zhǎng)的重要途徑，而且在探索求解問(wèn)題的方法中，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行進(jìn)一步的鞏固與深化，進(jìn)而促使自身創(chuàng)造性思維與數(shù)學(xué)品質(zhì)獲得發(fā)展.

一、初中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀分析

學(xué)業(yè)成績(jī)一直是評(píng)判學(xué)生學(xué)習(xí)情況的重要依據(jù)，備受家長(zhǎng)關(guān)注.每位家長(zhǎng)都期望孩子能夠在考試中獲得優(yōu)異的成績(jī)，而且很多學(xué)生現(xiàn)在也習(xí)慣用成績(jī)來(lái)評(píng)判自己學(xué)習(xí)的效果.但將卷面成績(jī)作為評(píng)判學(xué)生學(xué)習(xí)成效的唯一標(biāo)準(zhǔn)太過(guò)局限，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.同時(shí)，受“分?jǐn)?shù)”影響的學(xué)生漸漸習(xí)慣于機(jī)械性的學(xué)習(xí)，不僅對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科感到枯燥乏味，還缺少了探究數(shù)學(xué)知識(shí)的樂(lè)趣，影響了良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.導(dǎo)致這一現(xiàn)狀的另一原因也歸根于教師的教學(xué)理念較為落后，教師多采用講解式教學(xué)方式，主導(dǎo)課堂節(jié)奏，使學(xué)生只能被動(dòng)地做知識(shí)的接受者，不能主動(dòng)選擇所聽的內(nèi)容，師生之間很少互動(dòng)，教師無(wú)法對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況做及時(shí)、準(zhǔn)確的判斷，也并不知曉學(xué)生對(duì)新知或問(wèn)題解答的思路是否真正理解.很多學(xué)生缺少獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，自身的真正學(xué)習(xí)需求并未在課堂學(xué)習(xí)中得到滿足，導(dǎo)致其學(xué)習(xí)成效較低.有的學(xué)生因此而不再愿意主動(dòng)向教師發(fā)問(wèn)，長(zhǎng)期下去，學(xué)生的思維就會(huì)固化，只會(huì)依照教師講解的思路解答問(wèn)題，且由于缺乏獨(dú)立思考的練習(xí)，題目一旦有所變動(dòng)就無(wú)從下手.但數(shù)學(xué)是一門靈活多變的學(xué)科，因此教師要解決上述問(wèn)題，可以積極運(yùn)用“一題多變”的教學(xué)方式，助力學(xué)生發(fā)展思維、提高解決問(wèn)題的能力，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、初中數(shù)學(xué)“一題多變”的教學(xué)策略

（一）問(wèn)題引領(lǐng)探索新知

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要借助問(wèn)題來(lái)引發(fā)學(xué)生對(duì)新知的探索與注意，從而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，鍛煉學(xué)生獨(dú)立思考的能力，進(jìn)而讓學(xué)生在獨(dú)立探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

例如，在北師大版初中數(shù)學(xué)“方程”這一課的教學(xué)中，教師為學(xué)生提出問(wèn)題：“從A地到B地一共有兩條路線，其中一條路線是全程長(zhǎng)度為800千米的一般公路，而另一條路線是全程長(zhǎng)度為500千米的高速公路.若一輛車在一般公路上的平均速度要比在高速公路上的平均速度每小時(shí)慢60千米，在一般公路上行駛從A地到B地所需時(shí)間是在高速公路上行駛從A地到B地所需時(shí)間的2倍.這輛車如果在高速公路上行駛，從A地到B地所需時(shí)間是多少？”在求解該問(wèn)題的時(shí)候，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生先做些練習(xí)：（1）A，B兩地的距離為600千米，已知某輛車的速度是70千米/時(shí)，求該車從A地到B地所需時(shí)間；（2）已知A，B兩地的距離為600千米，某輛車從A地到B地需要花費(fèi)7個(gè)小時(shí)，求該輛車的速度為多少；（3）已知某輛車的速度為70千米/時(shí)，從A地到B地需要花費(fèi)的時(shí)間為7個(gè)小時(shí)，求解A，B兩地之間的距離為多少千米.學(xué)生經(jīng)過(guò)上述3個(gè)簡(jiǎn)單的路程與時(shí)間問(wèn)題的求解后，對(duì)于此類問(wèn)題的等量關(guān)系尋找有了一定的了解.這時(shí)教師再引導(dǎo)學(xué)生選設(shè)未知數(shù).這樣的教學(xué)方式可以讓學(xué)生感受“一題多變”的魅力，同時(shí)有效地激發(fā)了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的求知欲和探索意識(shí)，進(jìn)而讓學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下獨(dú)立思考、解決問(wèn)題.

（二）給予充足時(shí)間思考

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要注意的是很多問(wèn)題包括例題都需要有一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程才能夠完成解答.這就要求教師給學(xué)生留出一定的思考時(shí)間，這個(gè)時(shí)間如果充足的話，學(xué)生才能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深度思考，進(jìn)而掌握解題要領(lǐng).為此，教師要根據(jù)授課內(nèi)容與學(xué)生的當(dāng)下學(xué)情，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行多種不同形式的練習(xí)，進(jìn)而提高學(xué)生的發(fā)散性思維能力，讓學(xué)生的思維變得更加靈活.

例如，如圖1，已知平行四邊形ABCD的兩條邊上分別有點(diǎn)E、點(diǎn)F，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在CD邊上，CF=AE.求證：DE∥BF.

首先，教師應(yīng)留出時(shí)間讓學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)過(guò)的平行四邊形判定定理，并讓學(xué)生思考如何對(duì)四邊形DEBF是平行四邊形進(jìn)行證明，進(jìn)而通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)可得所需證明的結(jié)論.其次，教師在學(xué)生思考的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平行四邊形的判定定理先證明出四邊形DEBF是平行四邊形，并邀請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行口頭證明或板書證明過(guò)程.最后，教師繼續(xù)提問(wèn)：“是否還有其他的求證方式？”繼續(xù)給予學(xué)生充足的思考時(shí)間，讓學(xué)生能夠深入思考平行四邊形的判定方法，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平行四邊形知識(shí)的理解和應(yīng)用能力.

（三）由淺入深進(jìn)行一題多練

數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)于初中生而言并不是簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要循序漸進(jìn)地增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，讓學(xué)生經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程.所以，在課堂教學(xué)時(shí)，教師要綜合考量學(xué)生對(duì)新知的接受能力，幫助學(xué)生構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)難度不斷增加的同時(shí)，迸發(fā)出強(qiáng)烈的探索興趣.

例如，在初中數(shù)學(xué)線路最短問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，教師就可以應(yīng)用“一題多變”教學(xué)策略.教師在出示了基礎(chǔ)問(wèn)題后，可由此展開拓展變式，從而讓學(xué)生在探索問(wèn)題答案的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)此類問(wèn)題求解的基本思路.如：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)村落（如圖2），已知要在水管管道l上修建一個(gè)泵站，將水輸送到甲、乙兩個(gè)村落，這個(gè)泵站應(yīng)該修建在哪個(gè)位置，才能讓所修建的線路最短？（教師提示：先在l上找出幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，看看是否有所發(fā)現(xiàn)）

解：將管道l看作平面上的一條直線，現(xiàn)此問(wèn)題變成需找到直線l上的一點(diǎn)M，使得甲、乙兩個(gè)村落到M點(diǎn)的距離之和最小.為此，可將甲村落設(shè)定為A點(diǎn)，乙村落設(shè)定為B點(diǎn).作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N，連接BN，BN同直線l相交的點(diǎn)就是所找的點(diǎn)M（如圖3所示）.

通過(guò)對(duì)此問(wèn)題的求解，學(xué)生總結(jié)出在平面圖形上求解最短距離問(wèn)題的方法，通常存在兩種情況：一種是甲、乙在直線的同一側(cè)，那么應(yīng)當(dāng)先找出對(duì)稱點(diǎn)，再連接；另一種是甲、乙在直線的不同側(cè)，可以直接連接.

隨后，教師為學(xué)生準(zhǔn)備了“線路最短問(wèn)題”的變式題.

變式1：如圖4所示，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，點(diǎn) M是AB邊的中點(diǎn)，AN為△ABC的高，在AN上找一點(diǎn)O，使得BO+OM的值最小.

解：如圖4，作點(diǎn)B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)，此點(diǎn)恰好與C點(diǎn)重合，連接CM，與AN相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)O，此時(shí)BO+OM的值最小.

此變式是基于管道線路最短問(wèn)題而來(lái)的，由于該問(wèn)題脫離了具象的生活情境，題干描述全部以數(shù)學(xué)符號(hào)的形式表達(dá)，這樣會(huì)讓問(wèn)題的難度增加，學(xué)生需要在充分掌握等邊三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行問(wèn)題的分析，才能夠找到所要找的點(diǎn)O.

變式2：如圖5所示，已知☉O的直徑為4，AB=4，∠COB=60°，點(diǎn)D為弧CB的中點(diǎn)，在直徑AB上找到點(diǎn)M，讓DM+CM的值最小，求DM+CM的最小值.

解：如圖5，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N，點(diǎn)N正好就在圓周上.然后連接OD，ON，DN，再連接CN交AB于點(diǎn)M，連接DM，這時(shí)DM+CM的值最小.

該變式問(wèn)題相比于變式1難度有所增加，而且問(wèn)題中還摻雜了有關(guān)圓的知識(shí)點(diǎn).大部分學(xué)生面對(duì)此問(wèn)題并未想到“管道線路最短問(wèn)題”，但是通過(guò)剖析，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題所考查的根本就是兩點(diǎn)之間直線最短，只是涉及的知識(shí)點(diǎn)較多.為此，教師在引導(dǎo)學(xué)生思考的時(shí)候，可以將問(wèn)題求解中用到的定理或數(shù)學(xué)思想列舉出來(lái)，由此幫助學(xué)生找出問(wèn)題的本質(zhì)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解問(wèn)題的最佳思路.

為了進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維靈活性，在對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力進(jìn)行考查后，教師借助經(jīng)典問(wèn)題為學(xué)生準(zhǔn)備了變式3，以進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維體系.

變式3：如圖6所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)M，使得∠AMB=∠AMD，找出點(diǎn)M的位置.

解：如圖7所示，找到D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P，連接BP，將其延長(zhǎng)后交AC于點(diǎn)M，即為所求.

（四）在“一題多變”中落實(shí)學(xué)生思維訓(xùn)練

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成關(guān)鍵在于思維訓(xùn)練.為了培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師可以為學(xué)生準(zhǔn)備不同形式的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行練習(xí)，進(jìn)而提高學(xué)生的反應(yīng)能力.但從學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況來(lái)分析，影響學(xué)生學(xué)習(xí)成效的因素與其個(gè)人思維能力水平有關(guān).初中時(shí)期的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)都是相同的，應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)也是一樣的，教師在采用“一題多變”的教學(xué)形式時(shí)就可以本著這一原理，進(jìn)而保證學(xué)生的思維訓(xùn)練質(zhì)量.同時(shí)，教師在授課過(guò)程中也要及時(shí)簡(jiǎn)化學(xué)生的探索思考過(guò)程，避免學(xué)生出現(xiàn)思維定式.

例如，如圖8，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，E為△ABC底邊的中點(diǎn)，∠C=40°，求∠BAE與∠CAE的度數(shù).

教師要求學(xué)生在不更改問(wèn)題答案的情況下，選擇一個(gè)已知條件進(jìn)行變換.為此，學(xué)生1提出可以將“E為△ABC底邊的中點(diǎn)”改成“AE是∠BAC的平分線”；學(xué)生2提出將學(xué)生1所用的已知條件變成“AE是底邊BC上的高”；學(xué)生3則認(rèn)為可以將“AB=AC”改成“∠B=∠C”……經(jīng)過(guò)此題練習(xí)后，學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)及特點(diǎn)有了進(jìn)一步的了解，同時(shí)提升了思維的靈活性，發(fā)展了自身的數(shù)學(xué)綜合能力.

（五）在“一題多變”中引導(dǎo)學(xué)生求同存異

教師在為學(xué)生準(zhǔn)備練習(xí)題的時(shí)候，可讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比式練習(xí)，讓學(xué)生明確題意間存在的不同，掌握審題要領(lǐng)，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，促使學(xué)生在練習(xí)中及時(shí)反思和總結(jié).而且，教師也要利用“一題多變”來(lái)開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生養(yǎng)成質(zhì)疑的習(xí)慣，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上發(fā)表意見(jiàn)，帶領(lǐng)學(xué)生一同探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，以增加學(xué)生的思維廣度，使學(xué)生思考問(wèn)題的角度更加廣泛，看待問(wèn)題能夠更加深入，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)動(dòng)力，讓學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)本質(zhì).

例如，組成三角形的基本要素為三個(gè)邊與三個(gè)角，因此教師可引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)分析邊角關(guān)系，讓學(xué)生在探索和發(fā)現(xiàn)中完成對(duì)定理的記憶.對(duì)于“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，教師可帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐論證，利用課堂模擬讓學(xué)生清楚經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，進(jìn)而提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解水平.教師還要對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生在“求異”的過(guò)程中發(fā)展發(fā)散性思維，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)動(dòng)力得以激發(fā).如學(xué)生學(xué)習(xí)到全等三角形的判定定理時(shí)，與此定理相關(guān)的表述，像“如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的三個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等”和“如果兩個(gè)三角形的兩邊及其中一邊所對(duì)的角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等”這兩個(gè)表述是不成立的，教師可以以此為例讓學(xué)生用舉反例的方式來(lái)分析和證明.

變式1：教師上課時(shí)使用的三角板教具和學(xué)生學(xué)具中的三角板對(duì)比就是一個(gè)不錯(cuò)的反例.

變式2：通過(guò)畫圖構(gòu)建一個(gè)“兩個(gè)三角形中有兩邊及其中一邊所對(duì)的角分別相等，但是卻不全等”的模型.如圖9所示，在邊AC上任意取一個(gè)點(diǎn)D，并以D為圓心畫圓，交BC邊于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接DE和DF，則有DE與DF相等，那么在△DCE與△DCF中就有∠C=∠C，CD=CD，DE=DF，但是兩個(gè)三角形卻不全等.

通過(guò)反例教學(xué)，學(xué)生在“求同”中發(fā)現(xiàn)不同，進(jìn)而對(duì)三角形全等的判定定理有了充分的認(rèn)識(shí)和理解.

結(jié) 語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要明確教學(xué)理念，尊重學(xué)生在課堂中的主體地位，積極采用“一題多變”的教學(xué)策略，提高學(xué)生的發(fā)散性思維能力.同時(shí)，教師在教學(xué)中也要積極培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)，鍛煉學(xué)生的獨(dú)立思考能力，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到發(fā)展.

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