小學數學應用題解析與拓展

王莉

【摘要】在小學教育階段，數學課程一直是重要的一環，用于考查學生綜合能力的應用題更是重中之重.因此，培養小學生的解題能力能夠有效提升其數學能力.教師在小學數學教學過程中需要將應用題作為教學重點，幫助學生掌握各種用于解題的數學方法，并且從不同角度出發為學生解釋應用題，給予學生多樣的解題思路和靈活的解題技巧.文章將從應用題題型、解題方法、解題技巧、技能拓展四個方面展開論述，希望能為學生解答小學數學應用題提供幫助，為家長和教師提供經驗和借鑒.

【關鍵詞】小學數學；應用題型；例題解析

引 言

在學習小學數學知識的過程中，很多學生覺得應用題是學習難點，事實上的確是這樣，因為應用題的綜合性強，能夠考查學生的綜合運用能力與實踐能力，是對學生知識掌握程度的有效檢驗手段.對于應用題，很多家長表示無從下手，對于孩子提出的問題不知道該從何處講起，很難有效地幫助孩子做好應用題.其實，應用題也是有訓練技巧和解題技巧的，學生掌握了這些技巧，就能有效提高自身解題能力.

一、應用題題型

雖然小學數學應用題的變化成千上萬，但是只要能夠掌握其中的規律，找到全部的題型就能夠做到有跡可循.文章對小學數學應用題進行了總結，主要分為11個基本類型，小學階段的應用題基本都由這些題型變形而來，解題方法也大致相同.

（一）和差問題

和差問題的特點是已經知道兩個數的和與差，求出這兩個數的具體值.

例1 已知有甲、乙兩數，兩數之和為12，差是4，求這兩個數.

解題方法：由題可知，甲+乙=12，甲-乙=4，所以根據等式的基本性質可以得到：（甲+乙）+（甲-乙）=12+4，所以甲+甲=16，則甲=8，乙=4.

解題格式：甲=（12+4）÷2=8，乙=（12-4）÷2=4.

解題技巧：大數=兩數之和的一半，小數=兩數之差的一半.

（二）差比問題（差倍問題）

差比問題的特點是已經知道兩個數的差與比，求出這兩個數的具體值.

例2 已知有甲、乙兩數，甲比乙大12，甲∶乙=7∶4，求兩數.

解題方法：由題可知，甲-乙=12，所以乙+12=甲，由甲和乙的比例可知，（乙+12）∶乙=7∶4，所以可以得到比例中的一倍量為12÷3=4，所以甲=28，乙=16.

解題格式：12÷（7-4）=4，甲為4×7=28，乙為4×4=16.

解題技巧：“先求一，再求多”，這里的“一”指的是比例中的一倍量，如例題中的一倍量為4，“多”指的是由一倍量根據比例所求出的結果.差比問題只要能夠求出“一”，再乘相應的倍數即可得到所求數值.

（三）正方體展開圖問題

小學數學中，正方體的展開圖是教學難點之一，需要學生具備一定的空間想象能力.正方體共有6個面，如果將正方體全部展開可以得到6個正方形，顯而易見展開的結果不是唯一的，但是也并非沒有規律可循的.經過整理總結發現，正方體展開圖一共有十一種，這十一種展開方式又可以分成四種分布類型（從上至下分布），分別是“一四一型、二三一型、三三型、二二二型”，其中“一四一型”有6種，“二三一型”有3種，“三三型”有1種，“二二二”型有1種，如圖1所示.

解題技巧：熟練地掌握正方體的各種展開圖能夠有效提高解答這類題的速度，所以需要學生找到正方體展開圖的規律，將這些展開圖分類記憶.

（四）和比問題

和比問題的核心是已知多個數的和及它們的比例關系，求出各個數的具體值.

例3 已知有甲、乙、丙三數，甲、乙、丙三數之和為36，甲∶乙∶丙=1∶2∶3，求甲、乙、丙三數.

解題方法：由題可知甲+乙+丙=36，甲、乙、丙三數的比例之和為1+2+3=6，所以一倍量為6，題中的甲占1倍，乙占2倍，丙占3倍，所以甲=6，乙=12，丙=18.

解題技巧：“確定占比，逐個分配”，解和比問題的第一步是確定每個數在總和中的占比，第二步就是將總和按比例分配給各個數值.

（五）余數問題

余數問題的核心是不能整除情況下的數學問題，主要分為兩種，分別是同缺和同余.

例4（同余） 一個數除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么這個數最小是多少？

解題方法：這一題的特點是一個數除以5或6或7的余數都是2，所以將這個數減去2，就可以被5，6，7整除，因此這個數最小是5×6×7+2=212.

例5（同缺） 一個數除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么這個數最小是多少？

解題方法：除以5余4，那么這個數加1就能被5整除；除以7余6，那么這個數加1也能被7整除；除以8余7，那么這個數加1還能被8整除.因此，這個數加1最小是5×7×8=280，這個數最小就是280-1=279.

解題技巧：余數問題遵循“余則減，缺則加”的規律，當余數相同時，減去這個余數該數就能被整除；當余數與所除數值之差相同時，加上這個差，該數就能被整除.

（六）年齡問題

年齡問題的核心是兩人的年齡會變，但是年齡之差不會改變.

例6 小雨今年7歲，媽媽今年27歲，多少年后媽媽的年齡是小雨的3倍？

解題技巧：解題時首先要明白年齡的特點是差不會改變，再將這種關系看成差比問題就會迎刃而解.

（七）雞兔同籠問題

例7 雞兔同籠，有頭32，有腳100，求雞兔數.

解題方法1：上題告訴我們：雞兔一共32只，我們可以先假設這32只都是雞，這樣應該有腿2×32=64（條），這比題中告訴的腿數100條少了100-64=36（條）.這36條腿是怎樣少出來的呢？顯然是因為把兔子算成了雞，把1只兔子算成雞便會少2條腿，把2只兔子算成雞便會少2個 2條腿……據此推想：少了幾個“2條腿”，就是把幾只兔子算成了雞，因此兔子的只數一定是36÷2=18（只），雞的只數也就是32-18=14（只）.

綜合列式：兔：（100-2×32）÷（4-2）=36÷2=18（只），

雞：32-18=14（只）.

解題方法2：假設32只全部是兔子，這樣就應該有腿4×32=128（條），這比題中已知的100條腿多了128-100=28（條）.為什么會多出28條腿呢？顯然是把其中的雞當作兔子計算了，把1只雞當兔子計算就多出2條腿，把2只雞當兔子計算便會多出2個“2條腿”，據此推理：把幾只雞當兔子計算，便會多出幾個“2條腿”，因此雞的只數一定是28÷2=14（只），兔子的只數自然是32-14=18（只）.

解題技巧：兔數=（原有腿數-每只雞腿數×雞兔總數）÷（每只兔腿數-每只雞腿數），或是：雞數=（每只兔腿數×雞兔總數-原有腿數）÷（每只兔腿數-每只雞腿數）.

（八）路程問題

路程問題的核心是路程÷速度=時間，所以解題的唯一方法就是找到公式中的任意兩個要素.路程問題主要分為兩類：相遇問題和追遇問題.

例8（相遇問題） 甲、乙兩人從相距120千米的兩地同時相向而行，甲的速度為40千米/時，乙的速度為20千米/時，多長時間相遇？

解題方法：由題可知，兩人相向而行，所以兩個人每小時走過的路程之和為40+20=60（千米），所以用總距離÷總速度=總時間，即120÷60=2（時）.

例9（追遇問題） 已知甲、乙兩地相距100千米，小花和小明均從甲地出發駛向乙地，小花乘坐公交車，速度為30千米/時，比小明先出發1個小時，小明乘坐汽車，速度為60千米/時，當小明與小花相遇時，還距乙地多遠？

解題方法：由題可知，小明開始行駛的時候小花已經走了30千米，所以小明行駛的距離-30千米=小花在小明開始行駛后所行駛的距離，才能相遇，即60×時間-30=30×時間，易求得時間為小明行駛后的1小時，此時兩人都行駛了60千米，距乙地還有40千米.

解題技巧：解決路程問題需要先明確是相遇問題還是追遇問題，這樣才能確定兩人的速度、時間、路程之間的關系.

（九）濃度問題

濃度問題的本質就是比例問題.

解題方法：由題意可得濃度為20%的溶液用量是濃度為30%的溶液用量的3倍，無論它們各取多少，它們之間的用量的比總是3∶1，那么混合后得到的新的溶液，其濃度為（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5%，由此可知題中相當于將濃度為22.5%和45%的兩種溶液合在一起，最終得到濃度為35%的溶液，質量為45千克.因此，濃度為45%的溶液用量為（45×35%-45×22.5%）÷（45%-22.5%）=25（千克）；濃度為20%的溶液用量為（45-25）÷（3+1）×3=15（千克）；濃度為30%的溶液用量為15÷3=5（千克）.最終可得濃度為20%，30%，45%的三種溶液分別用了15千克、5千克、25千克.

解題技巧：濃度問題中溶液的濃度是變化的，任何題型都是圍繞濃度展開的.然而我們卻要弄清楚到底是誰引起了濃度的改變，是溶質呢，還是溶劑，或是兩者都發生了改變.這便是我們解題中的易錯之處，只有弄清了這一點，問題才能夠順利解決.

（十）植樹問題

植樹問題是研究植樹地段的全長、間隔距離、棵數三種數量之間的關系的應用題.植樹應用題基本分為兩類：沿路旁植樹；沿周長植樹.

例11（沿路旁植樹） 在某城市一條柏油馬路上，從起點到終點共有14個車站，每兩個車站間的平均距離是1200米.這條馬路有多長？

解題方法：根據全長=間隔×（棵數-1）的關系，可得：1200×（14-1）=1200×13=15600（米），所以這條馬路長15600米.

例12（沿周長植樹） 在周長是480米的圓形養魚池周圍，每隔12米栽一棵樹.一共可以栽多少棵樹？

解題方法：根據棵數=全長÷間隔，可求出一共栽樹的棵數為480÷12=40（棵），所以一共可以栽40棵樹.

解題技巧：沿路旁植樹，因為首尾兩端都要種一棵，所以植樹棵數要比分成的段數多1；沿周長植樹，因為首尾兩端重合在一起，所以植樹的棵數和所分成的段數相等.沿路旁植樹：棵數=全長÷間隔+1，間隔=全長÷（棵數-1），全長=間隔×（棵數-1）；沿周長植樹：棵數=全長÷間隔，間隔=全長÷棵數，全長=間隔×棵數.

（十一）盈虧問題

我們把若干數量物體平均分給一定數量的對象，有時會產生剩余，這就叫盈余，當然有可能產生不夠分的情況，就是少了，這就叫虧.凡是涉及盈、虧的算法問題就稱為盈虧問題.

例13 五年級的同學去劃船，當所租的船的條數一定時，若每條船坐8人，則有6人不能上船；若如果每條船坐10人，則剩余2個座位.去劃船的同學一共有多少人？

解題方法：由題可知第一次分配每條船坐8人，有6個人不能上船，說明座位少了6個，就是虧6個座位，第二次分配每條船坐10個人，還剩2個座位，說明是盈余.也就是說座位相差是6+2=8（個），兩次每條船上人數相差多少呢？10-8=2（個），知道了相差的座位總數，又知道每條船的相差座位，這樣就可以算出總共有多少條船，8÷2=4（條）.知道了船的數量，我們按照兩次的乘船方式，就能求出總人數.第一步，算出有多少條船：（6+2）÷（10-8）=8÷2= 4（條），第二步求出人數：8×4+6=38（人）或10×4-2=38（人），所以去劃船的同學共有38人.

解題技巧：對于盈虧問題，主要的解題方法就是求出2次分配中分配者每份所分數量的差值，進而求出2次分配中各次共分物品的差，也就是總差額，然后用前一個差除以后一個差，就能得到分配者的數量，再根據倍數和余數關系即可求得物品數.

二、應用題解題技能拓展

（一）審題能力

審題是做題的第一步，也是最關鍵的一步，學生要從題目中了解問題情境是什么、條件是哪些、提了什么問題.教師要培養學生劃重點、提主干的審題能力，讓學生在審題時能夠獲得有效信息并且不會被干擾信息所迷惑，還要培養學生的專注力.

（二）分析能力

在審題之后，學生要對題目進行分析，找到切入點，聯系自己所學的知識，靈活地將已學知識運用到實際問題當中.這就要求學生要對所學知識有透徹的理解和舉一反三的能力.

（三）檢查能力

在做完一道應用題之后，學生要進行檢驗，看看自己得出的結果是否符合題目要求，而且很多時候應用題都源于實際，所得結果也不會與實際相差太多，比如最后若求出小明步行的速度為30千米/時，則這種結果顯然是不正確的.

（四）整理能力

每名學生都會遇到不會的、不熟練的題目，所以教師要培養學生整理錯題、難題的習慣，這樣能夠有效幫助學生找到自身的不足，有利于學生熟練地掌握重難點題型.

結 語

小學數學應用題題型很多，解題方法也不盡相同，學生要想掌握好應用題的解題方法，就要善于總結歸納，找到不同例題的相似之處和類似例題的不同之處，分析出每種類型應用題的解題技巧，經過多次訓練，才能有效提高解題效率和解題質量.

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